مدرستي
Mathématiques🎓 objectif bac

الأعداد المركبة والتحويلات النقطية

المجموعة ℂ، الشكل الجبري و العمليات الحسابية

🔊 La maîtresse lit pour toi
في القرن السادس عشر وقف الرياضي الإيطالي بومبيلي أمام المعادلة التي مجهولها حقيقي ⁦x³ = 15x + 4⁩ ، و هو يرى بعينه أنّ العدد 4 حلّ لها. لكنّ الطريق الوحيد الذي كان يعرفه للوصول إليه كان يمرّ حتما بجذر تربيعي لعدد سالب، أي بشيء لا وجود له في ℝ. فهل نستطيع أن نضع عددا مربّعه سالب، ثمّ نحسب به كما نحسب بالأعداد الحقيقية، و نعود في الأخير بنتيجة حقيقية سليمة؟

الجواب في جملة واحدة: نعم، و ذلك بإضافة عدد جديد واحد لا غير. نضع عددا نرمز له بـ i و نفرض عليه شرطا واحدا: مربّعه يساوي ناقص واحد. ثمّ نحسب بالقواعد المعتادة نفسها، و كلّما ظهر لنا i² نعوّضه بـ ناقص واحد. هذا العدد الوحيد يكفي لبناء مجموعة أوسع من ℝ نسمّيها مجموعة الأعداد المركبة و نرمز لها بـ ℂ ، و فيها تصبح كلّ معادلة من الدرجة الثانية قابلة للحلّ. و هذا الدرس يبني هذه المجموعة، ثمّ يعلّمك الحساب فيها: الجمع، و الضرب، و القوى، و القسمة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف عدد مركب و التعرّف على مجموعة الأعداد المركبة ℂ
  • تعيين الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي لعدد مركب مكتوب على الشكل الجبري
  • التمييز بين عدد حقيقي و عدد تخيلي صرف، و كتابة شرط انعدام عدد مركب
  • كتابة شرط تساوي عددين مركبين، و استعماله في تعيين مجهولين حقيقيين
  • حساب مجموع عددين مركبين و جدائهما، و ردّ النتيجة إلى الشكل الجبري
  • حساب قوى العدد i مهما كان أسّها، بالاعتماد على باقي قسمة الأسّ على أربعة
  • كتابة مقلوب عدد مركب غير معدوم و حاصل قسمة عددين على الشكل الجبري
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الحساب الحرفي: نشر جداء عبارتين، و جمع الحدود المتشابهة
  • المتطابقات الشهيرة، خاصة نشر مربّع مجموع و مربّع فرق
  • أنّ مربّع كلّ عدد حقيقي موجب أو معدوم، فلا حلّ حقيقيا للمعادلة ⁦x² = −1⁩
  • القسمة الإقليدية على العدد 4: حاصلها و باقيها، و أنّ الباقي أصغر من 4

1. لماذا احتجنا إلى عدد جديد

لم تولد الأعداد المركبة من رغبة في التعقيد، بل من حاجة عملية: معادلات من الدرجة الثالثة لها حلول حقيقية واضحة، و مع ذلك لا يمكن بلوغها إلا بالمرور بجذر تربيعي لعدد سالب. و هذا بالضبط ما واجهه بومبيلي في معادلته.

المعادلة التي فتحت الباب

العدد 4 حلّ لها، و التحقّق مباشر: من جهة 4³ يساوي 64 ، و من جهة أخرى ⁦15 × 4 + 4⁩ يساوي أيضا 64. فالحلّ موجود و حقيقي، و المشكل ليس في الحلّ بل في الطريق المؤدّي إليه.

x³ = 15x + 4

الطريق المعروف آنذاك كان يقود إلى معادلة من الدرجة الثانية مميّزها سالب، أي إلى جذر تربيعي لعدد سالب. و بدل أن يتوقّف، افترض بومبيلي أنّ عددا كهذا يوجد و حسب به، فعاد بالحلّ الحقيقي الصحيح. و الفكرة نفسها هي التي نبني عليها اليوم: نضع العدد، ثمّ نتحقّق من أنّ الحساب به منسجم.

الشرط الوحيد المفروض على العدد الجديد

⭐ هذا هو كلّ ما نطلبه من العدد i ، و لا شيء غيره. كلّ ما سيأتي في هذا الدرس مستخرج من هذا السطر الواحد و من قواعد الحساب التي تعرفها منذ سنوات.

i² = −1
⛔ العدد i ليس عددا حقيقيا، و لا يمكن أن يكون. لو كان حقيقيا لكان مربّعه موجبا أو معدوما، بينما مربّعه يساوي ناقص واحد. فلا تبحث له عن موضع على محور الأعداد الحقيقية: هو عدد من نوع جديد، و مجموعة الأعداد الحقيقية أضيق من أن تسعه.
مثال 1: الحساب بالعدد i يعيدنا إلى عدد حقيقي

نريد أن نرى بأعيننا كيف يمكن لحساب يمرّ بالعدد i أن ينتهي إلى عدد حقيقي. نحسب مكعّب العدد ⁦2 + i⁩ ، خطوة خطوة، دون أن نقفز سطرا واحدا.

🎯المطلوب: احسب مكعّب العدد ⁦2 + i⁩ و اكتب النتيجة على الشكل الجبري.

📌المعطى
z = 2 + i
🔹الخطوة 1: نشر المربّع

نبدأ بالمربّع، لأنّ المكعّب هو المربّع مضروبا في العدد نفسه. ننشر كما ننشر مربّع مجموع تماما: مربّع الأوّل، زائد ضعف الجداء، زائد مربّع الثاني.

(2 + i)² = 4 + 4i + i²
🔹الخطوة 2: تعويض i² بـ ناقص واحد

⭐ هنا و هنا فقط يتدخّل الشرط الجديد: نعوّض i² بـ ناقص واحد. هذه هي الخطوة التي ينساها أغلب التلاميذ، و هي الخطوة التي تجعل الجواب صحيحا.

(2 + i)² = 4 + 4i − 1
🔹الخطوة 3: جمع الحدّين الحقيقيّين

نجمع الحدّين الحقيقيّين 4 و ناقص واحد، و نترك الحدّ التخيلي كما هو.

(2 + i)² = 3 + 4i
🔹الخطوة 4: الضرب في العدد نفسه

نضرب المربّع في العدد نفسه للحصول على المكعّب.

(2 + i)³ = (3 + 4i)(2 + i)
🔹الخطوة 5: نشر الجداء

ننشر الجداء حدّا حدّا، أربعة جداءات، و نبقي i² كما هو في هذا السطر.

(3 + 4i)(2 + i)=6 + 3i + 8i + 4i²
🔹الخطوة 6: تعويض 4i² بـ ناقص أربعة

نعوّض من جديد: 4i² يساوي ⁦4 × (−1)⁩ أي ناقص أربعة.

(3 + 4i)(2 + i)=6 + 3i + 8i − 4
🔹الخطوة 7: تجميع الحدّين

نجمع الحقيقي مع الحقيقي و التخيلي مع التخيلي.

(3 + 4i)(2 + i) = 2 + 11i
✅النّتيجة
(2 + i)³ = 2 + 11i
⭐ بالحساب نفسه تماما نجد مكعّب العدد ⁦2 − i⁩ مساويا لـ ⁦2 − 11i⁩، و يكفي تغيير إشارة كلّ حدّ يحمل i. و انظر ما يحدث حين نجمع العددين ⁦2 + i⁩ و ⁦2 − i⁩ : يزول الحدّ التخيلي و يبقى 4 ، و هو بالضبط الحلّ الحقيقي لمعادلة بومبيلي. ⛔ هذا هو الدرس كلّه في مثال واحد: العدد i يمرّ في وسط الحساب، ثمّ يختفي من النتيجة.

2. العدد المركب و الشكل الجبري

متى وضعنا العدد i و سمحنا لأنفسنا بجمعه و ضربه في الأعداد الحقيقية، ظهرت لنا أعداد من الشكل: عدد حقيقي، زائد عدد حقيقي مضروب في i. هذه هي الأعداد المركبة.

الشكل الجبري لعدد مركب

⚠️ انتبه جيّدا: الجزء التخيلي هو العدد الحقيقي y وحده، و ليس الحدّ الذي يحمله. فالجزء التخيلي للعدد ⁦3 − 11i⁩ هو ناقص أحد عشر، و ليس ناقص أحد عشر i.

z = x + i y
zالعدد المركبxالجزء الحقيقي للعدد المركبyالجزء التخيلي للعدد المركب

نسمّي عددا مركبا كلّ عدد يكتب على هذا الشكل حيث x و y عددان حقيقيان و مربّع i يساوي ناقص واحد. و نرمز إلى مجموعة الأعداد المركبة بـ ℂ . و تسمّى هذه الكتابة الشكل الجبري للعدد المركب.

الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي

نقرأ: الجزء الحقيقي للعدد z.

Re(z) = x
الجزء التخيلي

نقرأ: الجزء التخيلي للعدد z. و هو عدد حقيقي، رغم اسمه.

Im(z) = y

و من هذه الكتابة تخرج ثلاث حالات خاصّة، هي التي تربط المجموعة الجديدة بما تعرفه:

شرط أن يكون العدد حقيقيا

إذا انعدم الجزء التخيلي بقي ⁦z = x⁩ ، أي عدد حقيقي. ⭐ و هذا يعني أنّ كلّ عدد حقيقي هو عدد مركب جزؤه التخيلي معدوم: مجموعة الأعداد الحقيقية محتواة في ℂ ، و لم نفقد شيئا ممّا كنّا نعرفه.

Im(z) = 0
شرط أن يكون العدد تخيليا صرفا

إذا انعدم الجزء الحقيقي بقي ⁦z = i y⁩ ، و نقول عندئذ إنّ العدد تخيلي صرف (أو تخيلي محض). مثاله العدد 4i.

Re(z) = 0
شرط انعدام عدد مركب

⭐ الفاصلة المنقوطة تقرأ « و »: يجب أن ينعدم الجزآن معا. و هذه القاعدة هي الأكثر استعمالا في التمارين: كلّما وصلت إلى مساواة عدد مركب بالصفر، حصلت في الحقيقة على معادلتين حقيقيّتين لا على واحدة.

z = 0 ⟺ x = 0 ; y = 0

3. متى يتساوى عددان مركبان؟

الجواب طبيعي: يتساويان إذا كان لهما الجزء الحقيقي نفسه و الجزء التخيلي نفسه. و هذه الخاصّية أهمّ ممّا تبدو عليه، لأنّها هي التي تحوّل معادلة مركبة واحدة إلى جملة معادلتين حقيقيّتين.

تساوي عددين مركبين

نضع ⁦z = x + i y⁩ و ⁦z' = x' + i y'⁩. المساواة بين عددين مركبين تكافئ مساواتين بين أعداد حقيقية، لا مساواة واحدة.

z = z' ⟺ x = x' ; y = y'
⭐ الشكل الجبري وحيد. بفضل خاصّية التساوي هذه، لا يمكن لعدد مركب واحد أن يكتب على شكلين جبريّين مختلفين: لو كتب مرّتين، لتساوى الجزآن الحقيقيّان و الجزآن التخيليّان، أي لكانت الكتابتان واحدة. و لهذا نقول الشكل الجبري، بأداة التعريف، لا شكل جبري.

4. الجمع و الضرب في ℂ

القاعدة الذهبية في هذا الباب كلّه: قواعد الحساب المعروفة في ℝ تبقى صحيحة في ℂ. تنشر، و تجمّع، و تستعمل المتطابقات الشهيرة كما تعوّدت؛ الشيء الوحيد الذي يضاف هو تعويض i² بـ ناقص واحد كلّما ظهر.

مجموع عددين مركبين

نجمع الأجزاء الحقيقية فيما بينها، و الأجزاء التخيلية فيما بينها. لا شيء آخر.

z + z'=(x + x') + i(y + y')
جداء عددين مركبين

⚠️ لا تحفظ هذا الدستور. أنشر الجداء كما تنشر أيّ جداء عبارتين، ثمّ عوّض i² بـ ناقص واحد: تجد هذا الدستور بنفسك في كلّ مرّة. الحفظ هنا يضيّع، و النشر يربح.

z z'=(x x' − y y') + i(x y' + x' y)
⭐ علامة ناقص في الجزء الحقيقي للجداء ليست خطأ مطبعيا. انظر من أين تأتي: عند نشر الجداء يظهر الحدّ الذي يحمل i² ، و تعويض i² بـ ناقص واحد هو الذي يقلب إشارته. فالناقص في هذا الدستور هو أثر الشرط الوحيد الذي وضعناه على i ، لا أكثر.
مثال 2: مجموع عددين مركبين

🎯المطلوب: احسب مجموع العددين و اكتب النتيجة على الشكل الجبري.

📌المعطى
z = 2 − i ; z' = −7 + 4i
🔹الخطوة 1: فصل الحقيقي عن التخيلي

نجمع الجزأين الحقيقيّين معا، و الجزأين التخيليّين معا.

z + z'=(2 − 7) + i(−1 + 4)
🔹الخطوة 2: إتمام الحسابين

نتمّ الحسابين العدديّين البسيطين داخل القوسين.

z + z' = −5 + 3i
✅النّتيجة
z + z' = −5 + 3i
الجمع هو أسهل عملية في هذا الباب: لا يظهر فيه i² أبدا، فلا يوجد ما تعوّضه.
مثال 3: جداء عددين مركبين

هذا هو المثال الذي يجب أن تتقنه قبل كلّ شيء آخر، لأنّ الضرب هو موضع الخطأ الأوّل عند التلاميذ.

🎯المطلوب: احسب جداء العددين و اكتب النتيجة على الشكل الجبري.

📌المعطى
z = 3 − 2i ; z' = −4 − 7i
🔹الخطوة 1: نشر الجداء

ننشر الجداء حدّا حدّا: أربعة جداءات، بالضبط كما في الحساب الحرفي. نترك i² كما هو في هذا السطر، و لا نلمسه بعد.

z z'=−12 − 21i + 8i + 14i²
🔹الخطوة 2: تعويض 14i² بـ ناقص أربعة عشر

⭐ السطر الحاسم: العدد 14i² يساوي 14 مضروبا في ناقص واحد، أي ناقص أربعة عشر. ⛔ إن نسيت هذا السطر، بقي جوابك حاملا لـ i² و لم يعد مكتوبا على الشكل الجبري.

14i² = −14
🔹الخطوة 3: إعادة الكتابة بعد التعويض

نعيد كتابة السطر كاملا بعد التعويض.

z z'=−12 − 21i + 8i − 14
🔹الخطوة 4: تجميع الحدّين

نجمع الحقيقي مع الحقيقي، و التخيلي مع التخيلي.

z z'=(−12 − 14) + i(−21 + 8)
✅النّتيجة
z z' = −26 − 13i
⛔ الخطأ الأكثر تكرارا في الفروض هو ترك i² في الجواب النهائي. اجعلها عادة: بعد كلّ نشر، ابحث بعينك عن i² قبل أن تجمع أيّ شيء. جواب يحمل i² جواب غير منته، مهما كان الحساب الذي قبله صحيحا.

5. قوى العدد i

بما أنّ الضرب معرّف في ℂ ، صار بإمكاننا حساب قوى العدد i. و المفاجأة أنّ هذه القوى لا تنتج قيما جديدة إلى ما لا نهاية: هي تدور في حلقة من أربع قيم لا غير.

مربّع العدد i

هو الشرط نفسه الذي وضعناه في البداية.

i² = −1
مكعّب العدد i

نفصل i³ إلى i² مضروبا في i ، ثمّ نعوّض i² بـ ناقص واحد.

i³=i² × i=−i
القوّة الرابعة

⭐ هذا هو السطر الذي يغلق الحلقة: القوّة الرابعة ترجع بنا إلى الواحد، فيبدأ كلّ شيء من جديد.

i⁴=i² × i²=(−1)(−1)=1
القوّة الخامسة

بما أنّ i⁴ يساوي 1 ، بقي i وحده.

i⁵=i⁴ × i=i

و بالمواصلة نجد أنّ القوّة السادسة تساوي ناقص واحد، و السابعة تساوي ناقص i ، و الثامنة تساوي واحدا: القيم نفسها في الترتيب نفسه. فالحلقة طولها أربعة، و لهذا يكفي أن نعرف باقي قسمة الأسّ على أربعة لنعرف القيمة.

ما يجب أن تحتفظ به: الأسّ نفسه لا يهمّ، المهمّ هو باقي قسمته على أربعة.
📌المعطى: قيم قوى العدد i حسب باقي قسمة الأسّ على 4
باقي قسمة الأسّ على 4شكل الأسّقيمة القوّة
04k1
1⁦4k + 1⁩i
2⁦4k + 2⁩⁦−1⁩
3⁦4k + 3⁩⁦−i⁩
العدد k عدد طبيعي، و القيمة صفر مقبولة له: هي التي تعطي الأسّ 0 ، 1 ، 2 و 3. و كلّ عدد طبيعي يكتب على واحد من هذه الأشكال الأربعة، و على واحد فقط.
⛔ انتبه إلى العدد k: يجب أن نسمح له بأن يكون معدوما. فلو منعنا عليه الصفر لخرجت الأسس 1 و 2 و 3 من المناقشة كلّها، و هي أوّل ما يُسأل عنه. الشرط الصحيح: k عدد طبيعي، صفرا كان أو غير صفر.
مثال 4: حساب قوّة كبيرة للعدد i

نريد قاعدة تشتغل مهما كبر الأسّ، دون أن نضرب في i مرّة بعد مرّة.

🎯المطلوب: احسب القوّة الثالثة و الأربعين للعدد i.

📌المعطى
z = i43
🔹الخطوة 1: القسمة الإقليدية للأسّ على 4

نجري القسمة الإقليدية للأسّ على 4 ، لأنّ الحلقة طولها أربعة.

43 = 4 × 10 + 3
🔹الخطوة 2: فصل القوّة

نفصل القوّة إلى جزأين حسب هذه الكتابة، مستعملين قاعدة جداء القوى.

i43 = i4×10 × i³
🔹الخطوة 3: حساب الجزء الأوّل

⭐ العدد i بالقوّة أربعين هو مربّع مربّع... أي القوّة الرابعة عشر مرّات، و القوّة الرابعة تساوي واحدا، فالجداء كلّه يساوي واحدا.

i4×10=(i⁴)10=1
🔹الخطوة 4: قيمة الجزء الثاني

بقي الجزء الثاني وحده، و قد حسبناه أعلاه.

i³ = −i
✅النّتيجة
i43 = −i
⭐ الباقي هو الجواب: باقي قسمة 43 على 4 هو 3 ، و القيمة الموافقة للباقي 3 هي ناقص i. لا تحتاج إلى أكثر من قسمة إقليدية واحدة، مهما بلغ الأسّ.
مثال 5: قوّة رابعة، بالمرور بالمربّع

حين يكون الأسّ زوجيا، أقصر طريق هو حساب المربّع أوّلا ثمّ تربيعه.

🎯المطلوب: اكتب العدد على الشكل الجبري: القوّة الرابعة للعدد ⁦1 − i⁩.

📌المعطى
z = (1 − i)⁴
🔹الخطوة 1: تفكيك القوّة الرابعة

نكتب القوّة الرابعة على شكل جداء مربّعين: هذا يجنّبنا نشر أربع عبارات.

(1 − i)⁴=(1 − i)² × (1 − i)²
🔹الخطوة 2: نشر المربّع

ننشر مربّع الفرق: مربّع الأوّل، ناقص ضعف الجداء، زائد مربّع الثاني.

(1 − i)² = 1 − 2i + i²
🔹الخطوة 3: تعويض i² بـ ناقص واحد

نعوّض i² بـ ناقص واحد، فيزول الحدّ الحقيقي كلّيا.

(1 − i)²=1 − 2i − 1=−2i
🔹الخطوة 4: تربيع النتيجة

نضرب النتيجة في نفسها.

(1 − i)⁴=(−2i)(−2i)=4i²
🔹الخطوة 5: تعويض 4i² بـ ناقص أربعة

نعوّض i² مرّة أخيرة.

4i² = −4
✅النّتيجة
(1 − i)⁴ = −4
⭐ لاحظ أنّ مربّع ⁦1 − i⁩ عدد تخيلي صرف: الجزء الحقيقي زال من تلقاء نفسه. و لهذا كان الحساب قصيرا إلى هذا الحدّ. جرّب الطريق الطويل مرّة واحدة لترى الفرق، ثمّ لا تعد إليه.
مثال 6: جداء يحتوي على مربّع

🎯المطلوب: اكتب العدد على الشكل الجبري: جداء العدد ⁦−7 − 2i⁩ في مربّع العدد ⁦6 − 4i⁩.

📌المعطى
z = (−7 − 2i)(6 − 4i)²
🔹الخطوة 1: نشر المربّع

نبدأ دائما بالمربّع، لا بالجداء الكامل: هكذا نعمل على عبارة أبسط.

(6 − 4i)² = 36 − 48i + 16i²
🔹الخطوة 2: تعويض 16i² ثمّ الجمع

نعوّض 16i² بـ ناقص ستّة عشر، ثمّ نجمع مع 36.

(6 − 4i)²=36 − 16 − 48i=20 − 48i
🔹الخطوة 3: تعويض المربّع

نعوّض المربّع بقيمته في الجداء الأصلي.

z = (−7 − 2i)(20 − 48i)
🔹الخطوة 4: نشر الجداء

ننشر الجداء حدّا حدّا: أربعة جداءات.

z=−140 + 336i − 40i + 96i²
🔹الخطوة 5: تعويض 96i²

نعوّض 96i² بـ ناقص ستّة و تسعين.

96i² = −96
🔹الخطوة 6: تجميع الحدّين

نجمع الحقيقي مع الحقيقي و التخيلي مع التخيلي.

z=(−140 − 96) + i(336 − 40)
✅النّتيجة
z = −236 + 296i
⭐ رتّب عملك: مربّع أوّلا، جداء ثانيا، تعويض ثالثا، تجميع أخيرا. الحسابات الطويلة لا تُخطئ لصعوبتها، بل لأنّ صاحبها خلط ترتيب الخطوات.

6. المقلوب و القسمة: كيف نتخلّص من i في المقام

بقيت عملية واحدة: القسمة. و المشكل فيها واضح — كتابة مثل عدد على عدد مركب ليست على الشكل الجبري، لأنّ i فيها في المقام. و الحيلة التي تحلّ المسألة كلّها تعتمد على عدد مرافق للعدد المركب.

مرافق عدد مركب

نبقي الجزء الحقيقي كما هو و نغيّر إشارة الجزء التخيلي. و الخطّ الأفقي فوق الرمز هو ترميز المرافق. ⭐ هذا الدرس يستعمله كأداة فقط؛ خواصّه و تفسيره الهندسي موضوع الدرس الموالي.

z = x − i y
جداء عدد مركب في مرافقه

⭐ هذا هو السطر الذي يفتح القسمة كلّها: ننشر فنجد فرق مربّعين، فيظهر ناقص i²y² أي زائد y². النتيجة عدد حقيقي، و هو موجب تماما ما دام z غير معدوم.

z × z=(x + i y)(x − i y)=x² + y²

و لأنّ العدد z معدوم إذا و فقط إذا انعدم جزآه معا، فإنّ ⁦x² + y²⁩ لا ينعدم إلا إذا انعدم x و y معا. إذن ما دام z غير معدوم كان ⁦x² + y²⁩ عددا حقيقيا غير معدوم، و القسمة عليه مشروعة. و هذا بالضبط ما يجعل لكلّ عدد مركب غير معدوم مقلوبا.

مقلوب عدد مركب غير معدوم

نضرب البسط و المقام في مرافق المقام: يصير المقام حقيقيا، فنقسم عليه كلّ حدّ على حدة، و نحصل على الشكل الجبري.

1z=xx² + y² + i(−y)x² + y²
⭐ القاعدة العملية، و هي واحدة لكلّ قسمة: اضرب البسط و المقام في مرافق المقام. يصير المقام عددا حقيقيا، و عندئذ تقسم كلّ جزء عليه بسهولة.
مثال 7: قسمة على عدد مركب

🎯المطلوب: اكتب العدد على الشكل الجبري: العدد 5 مقسوما على ⁦1 − 2i⁩.

📌المعطى
z = 51 − 2i
🔹الخطوة 1: الضرب في مرافق المقام

نضرب البسط و المقام في مرافق المقام، أي في ⁦1 + 2i⁩. هذا لا يغيّر قيمة الكسر، لأنّنا ضربنا في واحد مكتوب بطريقة أخرى.

z=5(1 + 2i)(1 − 2i)(1 + 2i)
🔹الخطوة 2: حساب المقام

نحسب المقام وحده: جداء عدد في مرافقه، فهو مجموع مربّعين.

(1 − 2i)(1 + 2i)=1² + 2²=5
🔹الخطوة 3: تعويض المقام

نعوّض المقام بقيمته الحقيقية.

z = 5(1 + 2i)5
🔹الخطوة 4: التبسيط

نبسّط بالعدد 5.

z = 1 + 2i
✅النّتيجة
z = 1 + 2i
⭐ تحقّق دائما: اضرب جوابك في المقام الأصلي، فيجب أن تجد البسط. هنا جداء ⁦1 + 2i⁩ في ⁦1 − 2i⁩ يساوي 5 ، و هو البسط. تحقّق في سطر واحد، و يشتري لك الاطمئنان.
مثال 8: قسمة عددين مركبين

🎯المطلوب: اكتب العدد على الشكل الجبري: العدد ⁦−7 + 4i⁩ مقسوما على ⁦4 − 7i⁩.

📌المعطى
z=−7 + 4i4 − 7i
🔹الخطوة 1: الضرب في مرافق المقام

مرافق المقام هو ⁦4 + 7i⁩. نضرب فيه البسط و المقام.

z=(−7 + 4i)(4 + 7i)(4 − 7i)(4 + 7i)
🔹الخطوة 2: حساب المقام

نحسب المقام: مجموع مربّعي جزأيه.

(4 − 7i)(4 + 7i)=16 + 49=65
🔹الخطوة 3: نشر البسط

ننشر البسط حدّا حدّا، مع إبقاء i² في هذا السطر.

(−7 + 4i)(4 + 7i)=−28 − 49i + 16i + 28i²
🔹الخطوة 4: تعويض 28i²

نعوّض 28i² بـ ناقص ثمانية و عشرين.

28i² = −28
🔹الخطوة 5: تجميع البسط

نجمع حدود البسط.

(−7 + 4i)(4 + 7i)=(−28 − 28) + i(−49 + 16)
🔹الخطوة 6: اختصار البسط

نكتب البسط في شكله المختصر.

(−7 + 4i)(4 + 7i) = −56 − 33i
🔹الخطوة 7: القسمة على المقام

نقسم كلّ حدّ من البسط على المقام الحقيقي.

z=−5665 − (3365) i
✅النّتيجة
z=−5665 − (3365) i
⛔ لا تنس أن تقسم الحدّين معا، لا الحدّ الحقيقي وحده. و لا تحاول اختصار هذا الكسر: القاسم المشترك الأكبر للأعداد 56 و 33 و 65 يساوي واحدا، فهو مختصر إلى أبعد حدّ.
مثال 9: قسمة على جداء

حين يكون المقام جداء عددين مركبين، لا تضرب في مرافق كلّ عامل على حدة: اكتب المقام أوّلا على الشكل الجبري.

🎯المطلوب: اكتب العدد على الشكل الجبري: العدد ⁦3 + 2i⁩ مقسوما على جداء ⁦1 + i⁩ في ⁦−6 − 5i⁩.

📌المعطى
z=3 + 2i(1 + i)(−6 − 5i)
🔹الخطوة 1: نشر المقام

ننشر المقام لنعيده إلى الشكل الجبري: أربعة جداءات.

(1 + i)(−6 − 5i)=−6 − 5i − 6i − 5i²
🔹الخطوة 2: تعويض ⁦−5i²⁩

نعوّض ناقص 5i² بـ زائد خمسة.

−5i² = 5
🔹الخطوة 3: تجميع المقام

نجمع حدود المقام.

(1 + i)(−6 − 5i) = −1 − 11i
🔹الخطوة 4: الضرب في مرافق المقام

الآن فقط نضرب في مرافق هذا المقام، أي في ⁦−1 + 11i⁩.

z=(3 + 2i)(−1 + 11i)(−1 − 11i)(−1 + 11i)
🔹الخطوة 5: حساب المقام

نحسب المقام الجديد: مجموع مربّعي جزأيه.

(−1 − 11i)(−1 + 11i)=1 + 121=122
🔹الخطوة 6: نشر البسط

ننشر البسط.

(3 + 2i)(−1 + 11i)=−3 + 33i − 2i + 22i²
🔹الخطوة 7: تعويض 22i² ثمّ التجميع

نعوّض 22i² بـ ناقص اثنين و عشرين، ثمّ نجمّع.

(3 + 2i)(−1 + 11i)=(−3 − 22) + i(33 − 2)=−25 + 31i
🔹الخطوة 8: القسمة على المقام

نقسم الحدّين على المقام الحقيقي.

z=−25122 + (31122) i
✅النّتيجة
z=−25122 + (31122) i
⭐ الترتيب يوفّر عليك نصف العمل: مقام على الشكل الجبري أوّلا، مرافق ثانيا. لو ضربت في مرافق كلّ عامل لحصلت على الجواب نفسه، لكن بعد ضعف الحسابات و ضعف فرص الخطأ.
⛔ في الباكالوريا يظهر هذا الدرس في السؤال الأوّل من تمرين الأعداد المركبة، و في ثلاث صور تكاد لا تتغيّر: ① « أكتب على الشكل الجبري » — و هي دعوة صريحة إلى ضرب البسط و المقام في مرافق المقام، و العلامة تضيع إن بقي i في المقام أو بقي i² في الجواب ؛ ② « عيّن الجزء الحقيقي و الجزء التخيلي » — و الفخّ أن يجيب التلميذ بالحدّ الذي يحمل i بدل الجزء التخيلي وحده ؛ ③ « عيّن العددين الحقيقيّين حيث ... » — و هنا استعمل تساوي عددين مركبين: تحصل على جملة معادلتين حقيقيّتين، و هي أسهل ممّا تبدو. ⭐ و في الصور الثلاث، اجعل آخر سطر عندك دائما مكتوبا على الشكل الجبري تماما: عدد حقيقي، زائد عدد حقيقي في i.
الخلاصة: بإضافة عدد واحد i مربّعه يساوي ناقص واحد، بنينا مجموعة ℂ التي تحتوي على مجموعة الأعداد الحقيقية و توسّعها. كلّ عدد مركب يكتب بطريقة وحيدة على الشكل الجبري: جزء حقيقي، زائد جزء تخيلي مضروب في i. و الحساب فيها هو حسابك المعتاد، مضافا إليه سطر واحد لا غير: عوّض i² بـ ناقص واحد كلّما ظهرت. الجمع يجمع الأجزاء المتناظرة؛ الضرب ينشر ثمّ يعوّض؛ قوى i تدور في حلقة من أربع قيم يحكمها باقي قسمة الأسّ على أربعة؛ و القسمة تُردّ إلى الضرب بضرب البسط و المقام في مرافق المقام. و علامة أنّ عملك انتهى واحدة: لم يبق i في مقام، و لم تبق i² في أيّ سطر.

Page 1/16

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net