الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
حل في ℂ معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية
الجواب هو الثاني: في ℂ تقبل كلّ معادلة من الدرجة الثانية حلولا، مهما كانت إشارة المميّز. الجملة التي كنت تكتبها لم تكن خاطئة، بل كانت ناقصة: لم تكن تعني « لا حلول » بل « لا حلول في ℝ ». و ما ينقص لإتمامها هو ما تعلّمته في الدرس السابق: العدد الحقيقي السالب له جذران تربيعيان في ℂ ، و هما تخيليان صرفان. و بهما ينفتح الدستور المعتاد على حالة كنّا نغلقها.
- كتابة الشكل النموذجي لثلاثي حدود من الدرجة الثانية، و استخراج المميّز منه
- تعيين حلّي معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات حقيقية في حالات المميّز الثلاث
- كتابة الحلّين المترافقين حين يكون المميّز سالبا
- استعمال العلاقتين بين المعاملات و الحلول للتحقّق من الجواب
- تعميل ثلاثي حدود بدلالة حلّيه
- حلّ معادلة من درجة أعلى يؤول حلّها إلى الدرجة الثانية
- الشكل الجبري و العمليات في ℂ، خاصّة الجمع و الضرب
- الجذران التربيعيان لعدد مركب، و أنّهما متقابلان (الدرس السابق)
- أنّ مرافق عدد حقيقي هو العدد نفسه، و خواص المرافق
- حلّ معادلة من الدرجة الثانية في ℝ، و حساب المميّز
1. من أين يأتي المميّز؟ الشكل النموذجي
قبل أن نستعمل الدستور، لنر من أين جاء. الفكرة هي إعادة كتابة ثلاثي الحدود على شكل مربّع ناقص شيء، لأنّ معادلة من شكل « مربّع يساوي عددا » نعرف الآن كيف نحلّها.
⚠️ الشرط الوحيد هو أن يكون المعامل الأوّل غير معدوم، و إلا لم تكن المعادلة من الدرجة الثانية. و في هذا الدرس المعاملات الثلاثة أعداد حقيقية.
⭐ نضيف و نطرح مربّع نصف معامل الحدّ الأوسط. العبارة التي ظهرت في البسط، أي مربّع المعامل الأوسط ناقص أربعة أمثال جداء الطرفين، هي التي تقرّر كلّ شيء: نسمّيها المميّز.
بهذا الرمز يصير الشكل النموذجي أخصر، و تصير المعادلة مكافئة لمعادلة من الشكل الذي درسناه: مربّع يساوي عددا معلوما.
⭐ و هذا هو الجسر مع الدرس السابق: حلّ المعادلة صار يعود إلى تعيين الجذرين التربيعيّين للمميّز، لا إلى شيء آخر.
2. المبرهنة العامّة
حلّ مضاعف: المعادلة المكافئة تصير « مربّع يساوي صفرا »، و قد رأينا في الدرس السابق أنّ لها حلاّ واحدا لا اثنين.
و لأنّ المعاملات في درسنا حقيقية، يصير المميّز عددا حقيقيا، فتنحصر الحالات في ثلاث لا رابع لها، حسب إشارته:
| إشارة المميّز | جذرا المميّز | حلاّ المعادلة |
|---|---|---|
| موجب تماما | حقيقيان متقابلان | حلاّن حقيقيان متمايزان |
| معدوم | الصفر وحده | حلّ مضاعف حقيقي |
| سالب تماما | تخيليان صرفان متقابلان | حلاّن مركبان مترافقان |
و يبقى أن نعرف كيف نكتب جذري المميّز في الحالة الثالثة. الجواب في الدرس السابق: جذرا العدد الحقيقي السالب تخيليان صرفان.
⭐ تحقّق بنفسك: مربّع هذا العدد هو i² مضروبا في ناقص المميّز، أي ناقص واحد في ناقص المميّز، أي المميّز. ⚠️ و لاحظ أنّ ما تحت الرمز هو ناقص المميّز، و هو موجب تماما ما دام المميّز سالبا: فالكتابة سليمة.
نعوّض جذري المميّز في الدستور العامّ. و لأنّ المعاملات حقيقية، فالحلاّن لهما الجزء الحقيقي نفسه و جزآن تخيليان متقابلان: هما مترافقان.
هذا هو المثال المرجعي للدرس: معادلة معاملاتها الثلاثة أعداد حقيقية بسيطة، و مميّزها سالب.
🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المجهول المركب.
نقرأ المعاملات الثلاثة، و كلّها أعداد حقيقية.
نحسب المميّز بالدستور.
⭐ المميّز سالب. في ℝ كنّا نتوقّف هنا؛ في ℂ نواصل، لأنّ للعدد ناقص ثلاثة جذرين تربيعيّين.
نكتب جذري المميّز: تخيليان صرفان، تحت الرمز ناقص المميّز أي ثلاثة.
⭐ نختار أحدهما و نقول أيّهما اخترنا: نأخذ الجذر الذي جزؤه التخيلي موجب.
نعوّض في الدستور: الحلّ الأوّل.
ثمّ الحلّ الثاني.
⭐ نتحقّق بالتعويض في المعادلة الأصلية.
هناك تحقّق أسرع من التعويض، و هو الذي يستعمله المصحّحون أنفسهم. نطبّقه على المعادلة السابقة.
🎯المطلوب: تحقّق من الحلّين بحساب مجموعهما و جدائهما و مقارنتهما بالمعاملات.
نجمع الحلّين: الجزآن التخيليان متقابلان فيزولان.
و المجموع يجب أن يساوي مقابل المعامل الأوسط على المعامل الأوّل.
نضرب الحلّين: جداء مجموع في فرق، أي فرق مربّعين.
نعوّض i² بـ ناقص واحد: واحد زائد ثلاثة يساوي أربعة.
و الجداء يجب أن يساوي الحدّ الثابت على المعامل الأوّل.
و من هاتين العلاقتين يخرج تعميل ثلاثي الحدود، و هو أداة تستعملها في دراسة الدوال و في المعادلات من الدرجات العليا:
ننشر الطرف الأيمن: المعامل الأوّل يبقى، و معامل الحدّ الأوسط هو مقابل مجموع الحلّين مضروبا في المعامل الأوّل، و الحدّ الثابت هو جداء الحلّين مضروبا فيه. و العلاقتان اللتان أثبتناها تعطيان المعاملات الأصلية بالضبط.
لكي ترى أنّ الدستور واحد و أنّ شيئا لم يتغيّر في الحالتين الأخريين، نأخذ معادلة مميّزها موجب. و هي المعادلة التي تظهر عند حلّ معادلة بومبيلي من الدرجة الثالثة التي فتحت هذا الباب.
🎯المطلوب: حلّ المعادلة ذات المعاملات الحقيقية المعطاة.
نقرأ المعاملات.
نحسب المميّز.
المميّز موجب تماما، فجذراه حقيقيان.
نبسّط الجذر: اثنا عشر هو أربعة في ثلاثة، و جذر أربعة هو اثنان.
نعوّض في الدستور: الحلّ الأوّل.
ثمّ الحلّ الثاني.
نتحقّق بالمجموع: يجب أن يساوي مقابل المعامل الأوسط.
و بالجداء: فرق مربّعين، أربعة ناقص ثلاثة.
3. المعاملات الحقيقية تعطي جذورا مترافقة
لاحظنا في المثال الأوّل أنّ الحلّين مترافقان. و هذه ليست خاصّية للمعادلات من الدرجة الثانية وحدها: هي خاصّية لكلّ كثير حدود معاملاته حقيقية، مهما كانت درجته. و برهانها يعتمد كلّيا على خواص المرافق.
نفترض أنّنا وجدنا جذرا، و نريد أن نستنتج منه جذرا آخر بلا حساب.
نأخذ مرافق طرفي الفرضية. و مرافق الصفر هو الصفر نفسه، لأنّ الصفر عدد حقيقي.
⭐ هنا يتدخّل الشرط الحاسم: المرافق يمرّ عبر المجموع و الجداء و القوّة كما رأينا، و يترك المعاملات كما هي لأنّها حقيقية. فمرافق صورة العدد هو صورة مرافقه. ⛔ لو كان معامل واحد غير حقيقي لتغيّر عند أخذ المرافق، و سقطت الخاصّية كلّها.
نجمع السطرين: صورة المرافق تساوي مرافق الصفر، و مرافق الصفر يساوي الصفر.
4. معادلات يؤول حلّها إلى الدرجة الثانية
آخر ما يفتحه هذا الدرس: معادلة من درجة أعلى من الثانية. الطريقة واحدة و تتكرّر: نجد جذرا واحدا، نعمّل به، فتنخفض الدرجة، حتّى نصل إلى الدرجة الثانية التي نعرف حلّها.
كثير حدود من الدرجة الثالثة، معاملاته حقيقية. نبحث أوّلا عن جذر بديهي، ثمّ نعمّل، ثمّ نحلّ الدرجة الثانية الباقية.
🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة من الدرجة الثالثة المعطاة.
⭐ نبدأ دائما بتجريب الأعداد الصغيرة بحثا عن جذر بديهي: واحد زائد واحد ناقص اثنين يساوي صفرا.
إذن العدد واحد جذر، فكثير الحدود يقبل القسمة على العامل الموافق له.
نجري القسمة، فنجد ثلاثي حدود من الدرجة الثانية.
⭐ نتحقّق من التعميل بنشر الجداء قبل أن نواصل.
نجمّع الحدود المتشابهة: يزول حدّا الدرجة الأولى، و يبقى ما بدأنا منه.
نمرّ إلى العامل الثاني: نحسب مميّزه.
المميّز سالب، فجذراه تخيليان صرفان: تحت الرمز ناقص المميّز أي أربعة.
نعوّض في الدستور: الحلّ الأوّل.
ثمّ الحلّ الثاني.
نعود إلى المعادلة التي وقف عندها بومبيلي في مطلع هذا الباب. مميّزها سالب، و جذره التربيعي عدد صحيح — و هذا ليس صدفة، بل تمرين مضبوط بعناية.
🎯المطلوب: حلّ في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة ذات المعاملات الحقيقية المعطاة.
نقرأ المعاملات الثلاثة.
نحسب المميّز.
المميّز سالب، فلا حلول في ℝ ، و لكن في ℂ نواصل.
⭐ ناقص المميّز هو 484 ، و جذره التربيعي عدد صحيح: اثنان و عشرون، لأنّ مربّع اثنين و عشرين يساوي 484.
فجذرا المميّز تخيليان صرفان.
نعوّض في الدستور و نبسّط بالعدد 2: الحلّ الأوّل.
ثمّ الحلّ الثاني.
نتحقّق بالمجموع.
و بالجداء: فرق مربّعين، أربعة زائد مئة و واحد و عشرين.
Page 1/9
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net