الأعداد المركبة والتحويلات النقطية
التحليل القانوني لتشابه مباشر و توظيفه
الجواب نعم، و في حالة واحدة فقط لا: لمّا يكون معامل التشابه يساوي الواحد، إذ يصير التحويل انسحابا و لا مركز له أصلا. في كل الحالات الأخرى يوجد مركز وحيد، و التشابه يتفكّك عنده إلى دوران يليه تحاك، أو تحاك يليه دوران، و الترتيبان يعطيان النتيجة نفسها.
- تعيين مركز تشابه مباشر انطلاقا من كتابته المركّبة
- كتابة التحليل القانوني لتشابه مباشر: تحاك و دوران لهما المركز نفسه
- تعيين التشابه المباشر الوحيد الذي يحوّل نقطتين معلومتين إلى نقطتين معلومتين
- توظيف النسبة و الزاوية لتعيين صور المستقيمات و الدوائر و المساحات
- الكتابة المركّبة لتشابه مباشر و قراءة نسبته و زاويته
- حل معادلة من الدرجة الأولى في مجموعة الأعداد المركبة
- تركيب تشابهين مباشرين
المركز: نقطة صامدة وحيدة
نبدأ بالسؤال الذي يفصل كل شيء: هل للتحويل نقطة لا تتحرّك؟ نكتب أن اللاحقة تساوي صورتها، و نحل المعادلة الناتجة. إنها معادلة من الدرجة الأولى، و كل شيء يتوقّف على معامل المجهول.
إذا كان المعامل يساوي الواحد، فالطرف الأيسر معدوم مهما كانت اللاحقة: لا حل إن كان الحد الثابت غير معدوم، و التحويل عندئذ انسحاب. و إن كان المعامل يخالف الواحد فالقسمة ممكنة، و الحل وحيد: هو مركز التشابه.
نأخذ التحويل الذي معامله الوحدة التخيلية، و طويلة هذا المعامل تساوي الواحد.
🎯المطلوب: عيّن النقط الصامدة بهذا التحويل، ثم استنتج.
نكتب معادلة النقطة الصامدة.
نجمع حدّي المجهول في طرف واحد.
المعامل يخالف الصفر فنقسم عليه.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام.
المقام صار مجموع مربّعين.
🔍التحليل القانوني: دوران ثم تحاك، عند المركز نفسه
بعد أن عيّنا المركز، نطرح معادلة المركز من معادلة النقطة العامة. الحدّان الثابتان يتلاشيان، و تظهر كتابة تقول كل شيء: شعاع المركز نحو الصورة هو شعاع المركز نحو النقطة مضروبا في المعامل.
نطرح المساواتين طرفا من طرف: الحد الثابت يظهر في الاثنتين، فيختفي.
و بكتابة المعامل بشكله المثلثي، أي نسبته مضروبة في عدد طويلته الواحد، ينقسم أثر التحويل إلى أثرين مستقلّين: العدد ذو الطويلة الواحدة يدير، و النسبة تمدّد أو تقلّص.
التحاكي و الدوران المقصودان مركزهما هو مركز التشابه نفسه، و كتابتاهما تُستخرجان من الكتابة المركزية بالطريقة نفسها. لاحظ أن الحدّ الثابت لكل منهما ليس الحد الثابت للتشابه: لكل تحويل حدّه الخاص، و هو الذي يحمل المركز.
و التركيب يعطي التشابه في الاتجاهين: إن أدرنا النقطة حول المركز ثم مدّدنا من المركز نفسه، أو مدّدنا أولا ثم أدرنا، نصل إلى النقطة نفسها. و السبب هو ما رأيناه في درس التركيب: تشابهان لهما المركز نفسه يتبادلان.
قراءة صورة نقطة انطلاقا من المركز
ما إن نعرف المركز و النسبة و الزاوية حتى نستغني عن الكتابة المركّبة تماما: صورة أي نقطة تُعيّن بمعطيين هندسيين فقط.
و المركز نفسه صامد، لأن المسافة منه إلى نفسه معدومة، فيبقى معدوما مهما ضربناه في النسبة. هذان السطران هما ما يجعل بناء الصورة ممكنا بالمسطرة و المدوّر.
تعيين تشابه مباشر بنقطتين و صورتيهما
المسألة العملية الأكثر ورودا هي العكس: تُعطى نقطتان مختلفتان و صورتاهما المختلفتان، و يُطلب التشابه. الجواب: يوجد تشابه مباشر وحيد يحقّق ذلك، و نجده بحل جملة من معادلتين مجهولاها المعامل و الحد الثابت.
نطرح المعادلتين طرفا من طرف: الحد الثابت يختفي، و يبقى المعامل وحده. ثم نعوّض في إحدى المعادلتين لاستخراج الحد الثابت.
و المعامل غير معدوم لأن الصورتين مختلفتان، فالبسط لا ينعدم. و هو وحيد لأن الجملة من الدرجة الأولى: من هنا تأتي وحدانية التشابه.
| الحالة | طبيعة التشابه | عناصره |
|---|---|---|
| الشعاع الأول يساوي شعاع الصورتين | انسحاب | شعاعه هو الشعاع الذي طرفاه النقطة الأولى و صورتها |
| الشعاعان مختلفان | تشابه مباشر له مركز | نسبته حاصل قسمة الطولين، و زاويته الزاوية بين الشعاعين |
| النقطة | لاحقتها |
|---|---|
| A | 1 |
| B | −3 - 5i |
| C | -4 + 5i |
| D | −3 |
أربع نقط معطاة بلواحقها، و التشابه المباشر المطلوب يحوّل الأولى إلى الثانية و الثالثة إلى الرابعة.
🎯المطلوب: عيّن معامل التشابه المباشر المطلوب.
النقطة الأولى تذهب إلى الثانية، و الثالثة إلى الرابعة، فنكتب المعادلتين ثم نطرحهما.
نحسب الطرف الأيسر.
نحسب الفرق في المنطلق.
نقسم.
نبسّط بالعامل المشترك 5.
نضرب البسط و المقام في مرافق المقام.
ننشر البسط و نعوّض مربّع الوحدة التخيلية بناقص واحد.
🎯المطلوب: احسب الحد الثابت ثم اكتب العبارة المركّبة للتشابه.
نعوّض في المعادلة التي تخصّ النقطة الأولى و صورتها.
لاحقة النقطة الأولى تساوي الواحد، فالجداء هو المعامل نفسه.
نجمع الأجزاء الحقيقية.
ثم الأجزاء التخيلية.
🎯المطلوب: عيّن لاحقة مركز التشابه المباشر.
نستعمل عبارة لاحقة المركز.
نحسب المقام.
نكتب البسط بمقام موحّد.
المقامان 2 يتبسّطان.
نضرب في مرافق المقام.
ننشر البسط، مع تعويض مربّع الوحدة التخيلية بناقص واحد.
نقسم على 2.
🎯المطلوب: عيّن نسبة التشابه المباشر و زاويته.
نحسب مربّع الطويلة لنتخلّص من الجذر.
النسبة هي الجذر الموجب لهذا المربّع.
نُخرج النسبة عاملا لقراءة العمدة.
الجزءان داخل القوس متساويان في القيمة و مختلفان في الإشارة، و الأول موجب.
التشابه السابق نسبته و زاويته و مركزه معلومة كلها الآن.
🎯المطلوب: اكتب التحليل القانوني للتشابه المباشر السابق.
التحاكي له المركز نفسه و نسبته نسبة التشابه.
و الدوران له المركز نفسه و زاويته زاوية التشابه.
نتحقّق من أن جداء المعاملين يعطي معامل التشابه.
| النقطة | لاحقتها |
|---|---|
| A | i |
| B | -2 + 3i |
| C | -4 + 5i |
ثلاث نقط معطاة بلواحقها، و التشابه المباشر المطلوب مركزه النقطة الأولى و يحوّل الثالثة إلى الثانية.
🎯المطلوب: عيّن التشابه المباشر المطلوب، ثم بيّن طبيعته.
كون المركز هو النقطة الأولى يعني أنها صامدة، فتكون المعادلة الأولى بلاحقتها في الطرفين.
و التحويل يحوّل الثالثة إلى الثانية.
نطرح طرفا من طرف.
نحسب الفرقين.
نقسم، و العاملان المشتركان يتبسّطان.
المعامل عدد حقيقي موجب يخالف الواحد.
توظيف: صور الأشكال
التشابه المباشر يضرب كل المسافات في النسبة نفسها. من هذه الجملة وحدها تخرج صور الأشكال المألوفة: صورة القطعة قطعة، و صورة المستقيم مستقيم، و صورة الدائرة دائرة نصف قطرها مضروب في النسبة، و مركزها صورة المركز.
و المساحة تتبع قانونا آخر، لأنها جداء طولين: كل طول يُضرب في النسبة، فالمساحة تُضرب في مربّع النسبة. هذا الفرق بين النسبة و مربّعها هو أكثر ما يُخلط فيه.
🎯المطلوب: احسب نسبة التشابه المباشر المعرّف بالكتابة أعلاه.
نحسب مربّع طويلة المعامل.
🎯المطلوب: عيّن لاحقة صورة مركز الدائرة بالتشابه السابق.
نعوّض في الكتابة المركّبة.
نوزّع الضرب في ناقص واحد.
نجمع الأجزاء الحقيقية.
ثم الأجزاء التخيلية.
🎯المطلوب: احسب نصف قطر الدائرة الصورة، ثم قارن بين المساحتين.
نصف القطر يُضرب في النسبة.
نتفادى الجذر بالمرور إلى المربّعات.
المساحة تتناسب مع مربّع نصف القطر، فحاصل قسمة المساحتين هو حاصل قسمة المربّعين.
Page 1/16
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net