الدوال الأصلية
أمثلة لدوال أصلية و الدالة الأصلية التي تأخذ قيمة y₀
كلّ الجدول الذي يأتي مقروء بالمقلوب من جدول المشتقّات. لا تحفظه مرّتين: احفظ المشتقّات، ثمّ اقرأ من اليمين إلى اليسار. و c يمثّل في كلّ سطر عددا حقيقيا كيفيا.
- توظيف جدول الدوال الأصلية للدوال المألوفة
- توظيف خطّية الدالة الأصلية: المجموع و الجداء في عدد
- التعرّف على الصيغ المركّبة و تعيين دالة أصلية لها
- تعيين الدالة الأصلية الوحيدة التي تأخذ قيمة معلومة عند نقطة
- تعريف دالة أصلية لدالة على مجال
- جدول مشتقّات الدوال المألوفة و المركّبة
1. الدوال المألوفة
من أجل a عددا حقيقيا و n عددا طبيعيا غير معدوم، و المجال هو ℝ في الحالات الثلاث. القاعدة واحدة: الأسّ يزيد بواحد، ثمّ نقسم على الأسّ الجديد.
من أجل n أكبر من أو يساوي 2. ⚠️ المجال هنا ]0 ; +∞[ أو ]-∞ ; 0[، لأنّ المقام ينعدم عند الصفر — و لا يمكن الجمع بينهما.
على المجال ]0 ; +∞[ وحده. تحقّق بالاشتقاق: مشتقّة الجذر هي مقلوب ضعف الجذر، فالمعامل 2 يبسّطه.
⛔ العلامة السالبة في الثانية هي أكثر ما يُنسى في الباب كلّه. اكتبها قبل أن تكتب أيّ شيء آخر.
على كلّ مجال من الصيغة ]-π/2 + kπ ; π/2 + kπ[ حيث k عدد صحيح نسبي — أي بين قيمتين متتاليتين ينعدم عندهما cos.
| f(x) | دالة أصلية F(x) | المجال I |
|---|---|---|
| a (عدد حقيقي) | ax + c | ℝ |
| x | x22 + c | ℝ |
| xn (n∈ℕ*) | xn+1n+1 + c | ℝ |
| 1x2 | −1x + c | ]0;+∞[ أو ]−∞;0[ |
| 1xn (n≥2) | −1(n−1)xn−1 + c | ]0;+∞[ أو ]−∞;0[ |
| 1√x | 2√x + c | ]0;+∞[ |
| cos x | sin x + c | ℝ |
| sin x | −cos x + c | ℝ |
| 1 + tan2 x | tan x + c | كلّ مجال لا ينعدم فيه cos x |
2. الخطّية: المجموع و المعامل
خاصيتان تسمحان بتفكيك أيّ عبارة إلى قطع نعرفها، ثمّ تجميع النتيجة:
أي: دالة أصلية للمجموع هي مجموع الدوال الأصلية، و الثابت الضاربُ يمرّ كما هو. ⛔ و لا شيء من هذا القبيل للجداء أو لحاصل القسمة: لا توجد قاعدة لجداء دالتين.
3. الصيغ المركّبة: التعرّف قبل الحساب
حين لا تكون العبارة في الجدول، تكون غالبا من صيغة تحتوي دالة داخلية u و مشتقّتها. و الجدول الثاني هو المفتاح:
نفس القاعدة تماما، مع u مكان x. الشرط الوحيد أن تكون u قابلة للاشتقاق على المجال.
بشرط أن تكون u غير معدومة على المجال كلّه — و هذا الشرط يُكتب، لا يُفترض.
بشرط أن تكون u موجبة تماما على المجال، لا موجبة فحسب: الجذر في المقام.
الأولى لأنّ مشتقّة exp(u) هي u' × exp(u). و الثانية بشرط أن تكون u موجبة تماما، لأنّ ln لا يقبل إلاّ الموجب. هاتان الصيغتان تعودان في كلّ موضوع باكالوريا.
| f | دالة أصلية على I | الشرط على u |
|---|---|---|
| u′u | u22 + c | بدون شرط |
| u′un (n∈ℕ*) | un+1n+1 + c | بدون شرط |
| u′u2 | −1u + c | u(x) ≠ 0 على I |
| u′un (n≥2) | −1(n−1)un−1 + c | u(x) ≠ 0 على I |
| u′√u | 2√u + c | u(x) > 0 على I |
| u′ exp(u) | exp(u) + c | بدون شرط |
| u′u | ln(u) + c | u(x) > 0 على I |
4. الدالة الأصلية التي تمرّ من نقطة
واحدة و واحدة فقط. البرهان في سطرين: نأخذ دالة أصلية G أيّا كانت، فكلّ دالة أصلية تُكتب G(x) + k، و الشرط يعطي k = y₀ - G(x₀)، أي عددا واحدا لا غير.
صيغة تُستعمل مباشرة إن أردت الاختصار. لكنّ الطريق المعتاد أوضح: اكتب G(x) + k، عوّض، استخرج k.
نعتبر الدوال f(x) = x³ - 3x + 5 على ℝ، و g(x) = 2/x² على ]-∞ ; 0[، و h(x) = 3/x³ - 1/√x على ]0 ; +∞[.
🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية على المجال المعطى لكلّ دالة من الدوال الثلاث.
نطبّق قاعدة القوى على كلّ حدّ، مع الاحتفاظ بالمعاملات.
نجمع القطع الثلاث.
للدالة الثانية: المعامل يمرّ، و القاعدة هي قاعدة مقلوب المربّع.
للثالثة نطبّق قاعدة مقلوب القوّة بـ n = 3، ثمّ قاعدة الجذر.
نجمع القطعتين، ثمّ نُعيد الأجوبة الثلاثة معا، كلّ واحد على مجاله.
نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ f(x) = (x + 1)(x² + 2x + 5)².
🎯المطلوب: عيّن دالة أصلية للدالة f على ℝ.
نبحث عن الدالة الداخلية: القوس المرفوع إلى مربّع هو المرشّح.
نشتقّها و نقارنها بالعامل الموجود أمام القوس.
فالعامل x + 1 هو نصف المشتقّة الداخلية: هذا هو المعامل k.
نطبّق قاعدة القوى مع u، فيظهر الأسّ 3 و المقام 3.
نحسب المعامل ثمّ نعوّض بعبارة u.
نعتبر الدالة f المعرّفة على ℝ بـ f(x) = 2x + cos x.
🎯المطلوب: عيّن كلّ الدوال الأصلية للدالة f على ℝ، ثمّ عيّن الدالة الأصلية F التي تحقّق F(π) = -1.
نكتب أوّلا كلّ الدوال الأصلية، بالثابت.
نعوّض بالنقطة المعطاة في العبارة.
و جيب π معدوم، فيبقى المربّع و الثابت.
نساوي بالقيمة المفروضة و نستخرج الثابت.
نُعيد كتابة الدالة الوحيدة المطلوبة.
Page 1/8
© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net