مدرستي
Sciences physiques🎓 objectif bac

تطور جملة ميكانيكية

السقوط الشاقولي في الهواء: الاحتكاك، دافعة أرخميدس و المعادلة التفاضلية

🔊 La maîtresse lit pour toi
نترك ورقة وكرية تسقطان من الارتفاع نفسه وفي اللحظة نفسها، فتصل الكرية أوّلا بفارق كبير، مع أنّ الجاذبية واحدة عليهما. ما هي القوى التي يضيفها الهواء إلى الثقل، وكيف تجعل السرعة تتوقّف عن التزايد ؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • أن تُبرز قوّة احتكاك الهواء وتذكر خصائصها ونموذجيها
  • أن تعرّف دافعة أرخميدس وتحسب شدّتها وتقارنها بالثقل
  • أن تكتب المعادلة التفاضلية لحركة السقوط الشاقولي في الهواء
  • أن تستنتج عبارة السرعة الحدية وتفسّر النظامين الانتقالي والدائم
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • القانون الثاني لنيوتن والإسقاط على محور موجّه
  • الثقل وعلاقته بالكتلة، والكتلة الحجمية وعلاقتها بالحجم
  • حلّ معادلة تفاضلية من الشكل الأوّل ومعنى الثابت الزمني

❓إشكالية: لو لم يكن غير الثقل لكانت كلّ الأجسام تسقط بالطريقة نفسها وبتسارع ثابت. لكنّ الواقع غير ذلك، ولا بدّ إذن من قوى أخرى يضيفها الهواء. هذا الدرس يُبرز هذه القوى، ثمّ ينمذجها، ثمّ يكتب المعادلة التي تحكم الحركة كلّها.

1. إظهار قوى احتكاك الهواء

نشاط 1: هل تخضع الورقة لثقلها وحده ؟

📌التجربة:

  1. نمسك ورقة مبسوطة وكرية صغيرة على الارتفاع نفسه، وسرعتهما الابتدائية معدومة.
  2. نتركهما يسقطان في اللحظة نفسها، ونتابع بالعين مسار كلّ منهما.
  3. نعيد التجربة بعد أن نكوّر الورقة نفسها دون أن ننقص منها شيئا.
  4. نقارن في كلّ مرّة شكل المسار ومدّة السقوط.

🔍الملاحظة: حركة الورقة المبسوطة معقّدة: مسار مركز عطالتها ليس مستقيما، وهي تدور حول نفسها ويتشوّه شكلها، وسقوطها بطيء؛ أمّا الكرية فتسقط شاقوليّا وبسرعة أكبر. وحين نكوّر الورقة نفسها يصير سقوطها شاقوليّا هو أيضا وأسرع بكثير، مع أنّ كتلتها لم تتغيّر.

الكتلة لم تتغيّر بين اللوحتين: ما تغيّر هو الشكل، فتغيّر أثر الهواء
لو خضعت الورقة لثقلها وحده لكانت حركتها شاقولية مثل حركة الكرية. إذن يؤثّر عليها الهواء بقوى أخرى، وهي تعرقل الحركة لأنّها أنقصت من سرعتها. نسمّيها قوى مقاومة الهواء أو قوى احتكاك الهواء.

نشاط 2: كيف تتعلّق قوّة الاحتكاك بالسرعة ؟

📌التجربة:

  1. نستعمل أجساما ثقيلة نسبيّا وذات حجم كبير حتى نضمن أن يكون السقوط شاقوليّا، فتسهل نمذجة قوى احتكاك الهواء: لا يمكن تمثيلها بقوّة وحيدة ذات اتجاه ثابت إلّا إذا كانت حركة الجسم انسحابية مستقيمة.
  2. نثبّت بالونا بواسطة خيط ملتصق ببرغي، ونتركه يسقط في الهواء.
  3. نترك في اللحظة نفسها برغيا آخر مماثلا يسقط وحده بالكيفية نفسها.
  4. نصوّر السقوطين، ونرسم بيان تطوّر سرعة الجملة المكوّنة من البرغي والبالون بدلالة الزمن.

🔍الملاحظة: السقوط شاقوليّ في الحالتين، لكنّ سرعة البرغي وحده أكبر من سرعة البرغي المربوط بالبالون؛ وبيان السرعة يتزايد بسرعة في البداية ثمّ يصير أفقيّا تماما: السرعة تتوقّف عن التزايد وتستقرّ عند قيمة لا تتجاوزها.

الكتلة الزائدة للبالون مهملة، والحجم الزائد ليس مهملا: هنا يظهر أثر الهواء
الجزء الأفقي هو الحدث كلّه: جسم يسقط ولا تتزايد سرعته
قوّة الاحتكاك الناتجة عن سقوط جسم في الهواء قوّة معاكسة للحركة، وتتعلّق بالسرعة: تزداد قيمتها كلّما ازدادت السرعة. ولذلك تتوقّف السرعة عن التزايد عندما تصير هذه القوّة كبيرة بما يكفي.
خصائص قوّة احتكاك الهواء
  • الحامل: الشاقول، أي حامل الحركة نفسه.
  • الجهة: نحو الأعلى، أي معاكسة لجهة الحركة أثناء السقوط.
  • الشدّة: تتعلّق بالسرعة، ولها صيغتان حسب رتبة هذه السرعة.
نموذج السرعات الضعيفة
f = k v
fشدّة قوّة احتكاك الهواء(N)kثابت يتعلّق بطبيعة المائع وبشكل الجسم وأبعاده
نموذج السرعات الكبيرة نسبيّا
f = k v2

والثابت الوارد في النموذجين يتعلّق بطبيعة المائع الذي يتحرّك فيه الجسم، هواء كان أو غازا آخر أو سائلا، وبشكل الجسم وأبعاده. ونختار النموذج الأوّل حين تكون السرعة في حدود السنتمترات في الثانية، والثاني حين تكون أكبر من ذلك بكثير.

2. دافعة أرخميدس

نشاط 3: لماذا لا تغرق الخشبة ؟

📌التجربة:

  1. نضع قطعة خشب فوق سطح الماء بشكل أفقي جيّد، ونتركها.
  2. نضغط عليها بإصبعنا نحو الأسفل ثمّ نرفع الإصبع، ونلاحظ ما يحدث.
  3. نعيد التجربة بقطعة معدنية لها الحجم نفسه تقريبا.

🔍الملاحظة: الخشبة تبقى طافية فوق الماء، وإذا ضغطنا عليها عادت إلى السطح فور رفع الإصبع؛ أمّا القطعة المعدنية ذات الحجم نفسه فتغرق. إذن الحجم وحده لا يكفي لتفسير ما يحدث، ولا الكتلة وحدها.

الشكل غير المنتظم مقصود: الدافعة لا تتعلّق بشكل الجسم، بل بحجم المائع المزاح؛ والجسم هنا متجانس ومغمور كلّيا، فتنطلق الدافعة من مركز عطالته
تخضع الخشبة لثقلها وإلى جانبه قوّة أخرى تدفعها من الأسفل إلى الأعلى، هي دافعة أرخميدس. وهي قوّة تلامسية تظهر في كلّ مائع، والماء والهواء مائعان.
تعريف: دافعة أرخميدس قوّة معاكسة للثقل تدفع من الأسفل إلى الأعلى، وتظهر في المائع. نقطة تأثيرها مركز الجزء المغمور من الجسم (مركز ثقل المائع المزاح)، وهو مركز عطالة الجسم إذا كان متجانسا ومغمورا كلّيا؛ وحاملها الشاقول، وجهتها من الأسفل إلى الأعلى، وشدّتها تساوي ثقل المائع المزاح.
دافعة أرخميدس
Π = ρair V g
Πشدّة دافعة أرخميدس(N)ρairالكتلة الحجمية للمائع، وهو الهواء في هذا الدرس(kg/m³)Vحجم الجزء المغمور من الجسم(m³)
الهواء مائع مثل الماء، ودافعة أرخميدس موجودة فيه دائما. لكنّ كتلته الحجمية صغيرة جدّا، ولذلك تكون دافعته مهملة أمام ثقل جسم كثيف، ولا تُهمل أمام ثقل جسم خفيف كبير الحجم. لا تُهملها قبل أن تحسب النسبة بينها وبين الثقل.

3. المعادلة التفاضلية لحركة السقوط الشاقولي في الهواء

ندرس حركة جسم صلب يسقط في الهواء بسرعة ابتدائية معدومة، بجوار الأرض حيث نعتبر شعاع الجاذبية ثابتا. الجملة المدروسة هي الجسم، والمرجع سطحيّ أرضيّ نعتبره عطاليّا، والمحور شاقوليّ موجّه نحو الأسفل. والقوى الخارجية المطبّقة ثلاث: الثقل، ودافعة أرخميدس، وقوّة احتكاك الهواء.

اتجاه المحور نحو الأسفل ليس تفصيلا: هو الذي يحدّد إشارات الإسقاط كلّها
القانون الثاني لنيوتن
P + Π + f = m a
الإسقاط على المحور الشاقولي الموجّه نحو الأسفل
P − Π − f = m a
المعادلة التفاضلية للحركة
m (dv/dt) = m g − ρair V g − f
المعادلة التفاضلية في نموذج الاحتكاك الخطّي
dvdt=g − (ρair V g)/m − (k/m) v
هذه معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى بثوابت، من الشكل الذي تدرسه في الرياضيات: مشتق الدالّة مضافا إليه جداء الدالّة في ثابت يساوي ثابتا آخر. وحلّها دالّة أسّية تقترب من قيمة حدّية دون أن تتجاوزها.
حلّ المعادلة التفاضلية
v(t)=vlim (1 − e−tτ)
vlimالسرعة الحدية التي تبلغها الحركة في النظام الدائم(m/s)
الزمن المميّز
τ = mk
τالزمن المميّز(s)
السرعة عند الزمن المميّز
v(τ) = 0,63 vlim
مماسّ المبدأ يقطع المستوى الأفقي عند الزمن المميّز: هذه أسرع طريقة لقراءته
🔍التحليل
  1. عند اللحظة الابتدائية تكون السرعة معدومة، فتنعدم قوّة الاحتكاك، ويكون التسارع أعظميّا.
  2. قبل خمسة أمثال الزمن المميّز تتزايد السرعة تزايدا أسّيّا، وهذا هو النظام الانتقالي.
  3. بعد خمسة أمثال الزمن المميّز تصير السرعة ثابتة عند قيمتها الحدية وينعدم التسارع، وهذا هو النظام الدائم.
التسارع ينعدم في اللحظة نفسها التي تبلغ فيها السرعة قيمتها الحدية: هذا هو النظام الدائم مقروءا على القياس.
الثقل والدافعة لا يتغيّران، والاحتكاك وحده ينمو: حتى يتعادل الطرفان وينعدم التسارع
عند اللحظة الابتدائية لا يكون التسارع مساويا لتسارع الجاذبية إلّا إذا أُهملت دافعة أرخميدس. فإن لم تُهمل، كان التسارع الابتدائي أصغر منه، لأنّ الدافعة تعمل ضدّ الثقل منذ اللحظة الأولى وقبل أن توجد أيّ سرعة.
السرعة الحدية في نموذج الاحتكاك الخطّي
vlim = (g/k) (ρ − ρair) V
ρالكتلة الحجمية للجسم الساقط(kg/m³)
السرعة الحدية في نموذج الاحتكاك بمربّع السرعة
vlim = √((g/k) (ρ − ρair) V)
📌المعطى: معطيات تجربة سقوط كرية في الهواء
المقدارالرمزالقيمة
كتلة الكريةm⁦2,3 g⁩
نصف قطر الكريةr⁦1,9 cm⁩
الكتلة الحجمية للهواءρair⁦1,3 kgm³⁩
تسارع الجاذبية الأرضيةg⁦9,8 ms²⁩
كرية خفيفة وكبيرة الحجم: الحالة التي لا يجوز فيها إهمال دافعة أرخميدس بلا حساب
مثال 1: هل تُهمل دافعة أرخميدس في الهواء ؟

نستعمل معطيات التجربة المدوّنة في الجدول أعلاه. الكرية كروية تماما، وتسقط في الهواء بسرعة ابتدائية معدومة.

🎯المطلوب: احسب حجم الكرية وكتلتها الحجمية، ثمّ قارن دافعة أرخميدس بثقلها

📌المعطى
m = 2,3 × 10−3 kg ; r = 1,9 × 10−2 m
🔹الخطوة 1: حجم الكرية

لأنّ الدافعة تتعلّق بالحجم لا بالكتلة، فلا بدّ من حساب الحجم أوّلا، والكرية كروية

V=(43) π r3=(43) × π × (1,9 × 10−2)3=2,87 × 10−5 m3
🔹الخطوة 2: الكتلة الحجمية للكرية

لأنّ مقارنة الكرية بالهواء لا تصحّ إلّا بين كتلتين حجميّتين، لا بين كتلة وكتلة حجمية

ρ=mV=2,3 × 10−32,87 × 10−5=80 kgm3
🔹الخطوة 3: شدّة دافعة أرخميدس

لأنّ شدّة الدافعة هي ثقل الهواء المزاح، أي جداء كتلته الحجمية في الحجم في تسارع الجاذبية

Π=1,3 × 2,87 × 10−5 × 9,8=3,66 × 10−4 N
🔹الخطوة 4: شدّة الثقل

لأنّ المرجع الذي نقارن به هو الثقل، وهو جداء الكتلة في تسارع الجاذبية

P=m g=2,3 × 10−3 × 9,8=2,25 × 10−2 N
✅النّتيجة

لأنّ النسبة وحدها هي التي تقرّر: نسبة من رتبة اثنين في المئة ليست صفرا، وإهمالها يغيّر التسارع الابتدائي بالقدر نفسه

ΠP=3,66 × 10−42,25 × 10−2=1,6 × 10−2
النسبة بين الدافعة والثقل تساوي بالضبط النسبة بين الكتلة الحجمية للهواء والكتلة الحجمية للجسم. احفظ هذا الاختصار: يوفّر عليك حساب الحجم مرّتين، ويقول لك فورا متى تُهمل الدافعة ومتى لا تُهمل.
مثال 2: استنتاج عبارة السرعة الحدية من المعادلة التفاضلية

نعود إلى المعادلة التفاضلية في نموذج الاحتكاك الخطّي، ونبحث عن قيمة السرعة في النظام الدائم.

🎯المطلوب: أوجد عبارة السرعة الحدية انطلاقا من المعادلة التفاضلية

📌المعطى
dvdt=g − (ρair V g)/m − (k/m) v
🔹الخطوة 1: ترجمة النظام الدائم

لأنّ النظام الدائم يعني بالضبط أنّ السرعة لم تعد تتغيّر، ومشتق مقدار ثابت معدوم

dvdt = 0
🔹الخطوة 2: المعادلة في النظام الدائم

لأنّ تعويض المشتق بالصفر يحوّل المعادلة التفاضلية إلى معادلة عادية مجهولها السرعة الحدية

(k/m) vlim = g − (ρair V g)/m
🔹الخطوة 3: عزل السرعة الحدية

لأنّ ضرب الطرفين في الكتلة والقسمة على الثابت يعزلان السرعة الحدية

vlim = (g/k) (m − ρair V)
✅النّتيجة

لأنّ كتلة الجسم تساوي جداء كتلته الحجمية في حجمه، فيظهر الحجم عاملا مشتركا وتظهر الكتلتان الحجميّتان جنبا إلى جنب

vlim = (g/k) (ρ − ρair) V
العبارة الأخيرة تقول أكثر من رقم: إذا تساوت الكتلتان الحجميّتان انعدمت السرعة الحدية، وإذا كانت كتلة الجسم الحجمية أصغر صار المقدار سالبا، أي أنّ الجسم يصعد بدل أن ينزل. هكذا يطير بالون الهيليوم.
مثال 3: السرعة الحدية للكرية في نموذج مربّع السرعة

نبقى مع الكرية نفسها ومعطياتها، ونأخذ نموذج الاحتكاك المتناسب مع مربّع السرعة لأنّ السرعة المنتظرة أكبر بكثير من السنتمترات في الثانية. ثابت الاحتكاك مُقدّر من التجربة.

🎯المطلوب: احسب السرعة الحدية للكرية في نموذج الاحتكاك بمربّع السرعة

📌المعطى
k = 2,7 × 10−4 kgm ; P = 2,25 × 10−2 N ; Π = 3,66 × 10−4 N
🔹الخطوة 1: شرط النظام الدائم

لأنّ التسارع ينعدم في النظام الدائم، فتتعادل حصيلة القوى الثلاث تعادلا تامّا

P − Π − k vlim2 = 0
🔹الخطوة 2: الفرق بين الثقل والدافعة

لأنّ الفرق بين الثقل والدافعة هو ما يجب أن تعوّضه قوّة الاحتكاك وحدها

P − Π=2,25 × 10−2 − 3,66 × 10−4=2,21 × 10−2 N
🔹الخطوة 3: مربّع السرعة الحدية

لأنّ القسمة على ثابت الاحتكاك تعطي مربّع السرعة الحدية لا السرعة نفسها

vlim2=2,21 × 10−22,7 × 10−4=82
✅النّتيجة

لأنّ الجذر التربيعي يعطي السرعة، ورتبة القيمة تُطمئن: عشرة أمتار في الثانية تقريبا، وهي الرتبة المعتادة لكرية خفيفة تسقط في الهواء

vlim=√82=9,1 ms
لا تخلط بين ثابتي النموذجين: في النموذج الخطّي تكون السرعة الحدية متناسبة طردا مع فرق القوى، وفي نموذج المربّع تكون متناسبة مع جذر هذا الفرق. مضاعفة الفرق تضاعف السرعة في الأوّل ولا تضاعفها في الثاني.
البيان الذي رأيته هنا هو نفسه بيان شحن مكثفة وبيان تأسيس التيار في وشيعة: مماسّ عند المبدأ، وزمن مميّز، ونظام انتقالي ثمّ نظام دائم ينتهي عند خمسة أمثال هذا الزمن. ثلاثة فصول مختلفة، ونفس المعادلة التفاضلية ونفس القراءة.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في تمرين السقوط في الهواء: «مثّل القوى المطبّقة على الجسم»، و«أثبت المعادلة التفاضلية للسرعة»، و«استنتج عبارة السرعة الحدّية»، و«عيّن τ من البيان». جهّز ثلاثة عناصر: ① القوى الثلاث: الثقل، ودافعة أرخميدس ⁦Π = ρair × V × g⁩ نحو الأعلى، وقوّة الاحتكاك المعاكسة للحركة ⁦f = k × v⁩ أو ⁦f = k × v²⁩ ؛ ② المعادلة: بالإسقاط على محور موجّه نحو الأسفل ⁦m × dv/dt = m × g − ρair × V × g − f⁩ ؛ وفي النظام الدائم ينعدم التسارع، ومنه عبارة السرعة الحدّية ؛ ③ القراءة البيانية: حين يتناسب الاحتكاك مع v يكون ⁦τ = m/k⁩ و ⁦v(τ) = 0,63 × vlim⁩. ⚠️ الخطأ الشائع: إهمال دافعة أرخميدس دون حساب ؛ هي مهملة أمام ثقل جسم كثيف، ولا تُهمل أمام جسم خفيف كبير الحجم، فاحسب النسبة بينها وبين الثقل قبل أن تهملها. ⚠️ وخطأ ثانٍ: القول إنّ التسارع الابتدائي يساوي g والدافعة غير مهملة ؛ هو عندئذ أصغر من g.
خلاصة: يخضع جسم يسقط في الهواء لثلاث قوى: ثقله، ودافعة أرخميدس الموجّهة نحو الأعلى والمساوية لثقل الهواء المزاح، وقوّة احتكاك الهواء المعاكسة للحركة والتي تنمو مع السرعة. وتطبيق القانون الثاني لنيوتن يعطي معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، حلّها دالّة أسّية: تتزايد السرعة في النظام الانتقالي ثمّ تستقرّ عند سرعة حدية في النظام الدائم، حيث ينعدم التسارع ويتعادل الثقل مع الدافعة والاحتكاك.

Page 1/8

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net