مدرستي
Sciences physiques🎓 objectif bac

المتابعة الزمنية لتحول كيميائي تطور كميات المتفاعلات و النواتج خلال تحول كيميائي في محلول مائي

طرق المتابعة الزمنية: المعايرة اللونية، الناقلية، ضغط أو حجم غاز

🔊 La maîtresse lit pour toi
التحوّل البطيء يدوم دقائق أو ساعات، فيمنحنا الوقت لنسأل عنه سؤالا لم يكن ممكنا في التحوّل السريع: أين وصلت الجملة الآن، وبأيّ نسق تتقدّم. كيف نتابع تقدّم تحوّل كيميائي لحظة بلحظة، وكيف نقيس سرعته ؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • أن تختار طريقة المتابعة المناسبة لتحوّل حسب ما ينتجه أو يستهلكه
  • أن تحسب تقدّم تفاعل انطلاقا من حجم مضاف عند التكافؤ في معايرة
  • أن تستغلّ قياس الناقلية النوعية لحساب التقدّم عند كلّ لحظة
  • أن تعرّف زمن نصف التفاعل وتعيّنه من جدول قيم
  • أن تحسب السرعة المتوسّطة للتفاعل وتميّزها عن السرعة الحجمية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • إنشاء جدول تقدّم تفاعل وتحديد المتفاعل المحدّ
  • أنواع التحوّلات: السريع والبطيء والبطيء جدّا

❓إشكالية: كمّية المادة لا تُقاس مباشرة، ولا يوجد جهاز نغمسه في البيشر فيقرأ لنا عدد المولات. ما يُقاس هو مقدار فيزيائي يتغيّر مع التحوّل، ثمّ نربطه بالتقدّم.

مبدأ المتابعة الزمنية

نختار مقدارا فيزيائيّا يتغيّر مع تقدّم التحوّل، ونقيسه عند لحظات متتالية. ثمّ نربط كلّ قيمة مقيسة بالتقدّم، فنحصل على التقدّم بدلالة الزمن. ولكلّ طريقة شرط يجعلها ممكنة أو مستحيلة.

  • قياس الناقلية: يُشترط أن يحتوي الوسط التفاعلي على شوارد.
  • قياس الحجم أو الضغط: يُشترط أن ينتج التفاعل غازا أو يستهلكه.
  • المعايرة: تتمّ معايرة متقطّعة على عيّنات تُؤخذ عند لحظات مختلفة.
  • قياس درجة الحموضة: يُشترط أن يحتوي الوسط على شوارد الهيدرونيوم.

الطريقة 1: المتابعة عن طريق المعايرة

📌التجربة:

  1. نمزج ⁦100 mL⁩ من محلول يود البوتاسيوم مع ⁦100 mL⁩ من محلول بيروكسوديكبريتات البوتاسيوم، ثمّ نرجّ.
  2. حجم المزيج الكلّي ⁦200 mL⁩، ونتابعه بعيّنات نأخذها منه في لحظات مختارة.
  3. عند اللحظة المختارة نأخذ ⁦10 mL⁩ من المزيج ونسكبها في ⁦50 mL⁩ من الماء البارد والجليد.
  4. نضع العيّنة المبرّدة على مجلاط مغنطيسي تحت سحّاحة مملوءة بمحلول تيوكبريتات الصوديوم.
  5. نصبّ التيوكبريتات حتّى يصير اللون أصفر باهتا، ثمّ نضيف قطرات من صمغ النشا فيصير المحلول أزرق.
  6. نواصل الصبّ حتّى يختفي اللون الأزرق: تلك هي لحظة التكافؤ، ونسجّل الحجم المضاف.

🔍الملاحظة: كلّما تأخّرت لحظة أخذ العيّنة كان الحجم المضاف عند التكافؤ أكبر: من الصفر عند البداية إلى ⁦16,4 mL⁩ بعد ستّين دقيقة. إذن كمّية ثنائي اليود في المزيج تتزايد مع الزمن.

الماء المثلّج جزء من الطريقة: بدونه لا تُقاس حالة الجملة عند اللحظة t.
📌التجربة: الحجم المضاف عند التكافؤ عند إحدى عشرة لحظة
الزّمن ⁦t (min)⁩036912162030405060
الحجم المضاف عند التكافؤ ⁦(mL)⁩0,02,55,17,18,410,611,414,115,616,116,4
المعايرة تعطي كمّية المادة عند لحظة مختارة. وبتكرارها على عيّنات متماثلة عند لحظات مختلفة نتابع تطوّر الجملة بالزمن.
التبريد المفاجئ ليس تفصيلا: الماء المثلّج يوقف التفاعل في العيّنة، فتُعاير حالة الجملة عند اللحظة المختارة لا حالتها وهي تواصل التطوّر أثناء المعايرة نفسها. بدونه تقيس شيئا آخر غير الذي أردت قياسه.

التفاعل المدروس في المزيج هو التفاعل نفسه الذي رأيناه في الدرس السابق بين شوارد اليود وشوارد البيروكسوديكبريتات:

معادلة التفاعل المدروس
2I⁻(aq) + S₂O₈²⁻(aq) = I₂(aq) + 2SO₄²⁻(aq)
📌المعطى: جدول تقدّم التفاعل المدروس
حالة الجملةشوارد اليودشوارد البيروكسوديكبريتاتثنائي اليودشوارد الكبريتات
الحالة الابتدائيةC₁V₁C₂V₂00
الحالة الانتقالية⁦C₁V₁ − 2x⁩⁦C₂V₂ − x⁩x2x
المعاملات هي التي تربط كلّ كمّية بالتقدّم: 2x لشوارد اليود، x لثنائي اليود.

ويظهر من الجدول أنّ كمّية ثنائي اليود المتشكّلة تساوي التقدّم نفسه، لأنّ معامله في المعادلة يساوي 1:

التقدّم عند اللحظة t
x(t) = n(I₂)
مثال 1: من الحجم عند التكافؤ إلى كمّية ثنائي اليود

عند اللحظة 6 دقائق بلغت المعايرة التكافؤ بعد إضافة ⁦5,1 mL⁩ من محلول تيوكبريتات الصوديوم تركيزه المولي ⁦C3 = 0,02⁩ مول لكلّ لتر. ونرمز للحجم المضاف عند التكافؤ بالرمز VE.

🎯المطلوب: احسب كمّية مادة ثنائي اليود المتشكّلة في المزيج كلّه عند هذه اللحظة

🔹الخطوة 1: معادلة تفاعل المعايرة

لأنّ المعايرة تفاعل تامّ بين ثنائي اليود وشوارد التيوكبريتات: كتابة معادلته هي التي تعطي النسب بين الفردين

I₂(aq) + 2S₂O₃²⁻(aq) = 2I⁻(aq) + S₄O₆²⁻(aq)
🔹الخطوة 2: العلاقة عند التكافؤ في العيّنة

لأنّ المتفاعلين يُستهلكان معا وبالنسب الستوكيومترية عند التكافؤ: شاردتا تيوكبريتات لكلّ جزيئة ثنائي يود، فكمّية اليود نصف كمّية التيوكبريتات المضافة

n₀(I₂) = C3 × VE2
🔹الخطوة 3: من العيّنة إلى المزيج كلّه

لأنّ ما حسبناه يخصّ عيّنة حجمها ⁦10 mL⁩، والمزيج ⁦200 mL⁩ أي عشرون مرّة حجم العيّنة: نضرب في 20، فيصير المعامل 10 بدل النصف

n(I₂)=20 × n₀(I₂)=10 × C3 × VE
🔹الخطوة 4: التعويض العددي

لأنّ التركيز بالمول لكلّ لتر والحجم بالميلي لتر: جداؤهما يعطي الكمّية بالميلي مول مباشرة، دون تحويل

n(I₂) = 10 × 0,02 × 5,1
✅النّتيجة

وهي كمّية ثنائي اليود في المزيج كلّه عند اللحظة 6 دقائق، أي التقدّم نفسه

n(I₂) = 1,02 mmol
لا تخلط بين العيّنة والمزيج: المعايرة تعطيك ما في ⁦10 mL⁩، والسؤال يخصّ غالبا ⁦200 mL⁩. اِضرب في نسبة الحجمين قبل أن تكتب النتيجة.
عند التكافؤ ينعدم المتفاعلان معا، ثنائي اليود وشوارد التيوكبريتات، ومن هذين الانعدامين تخرج العلاقة بين كمّية اليود والحجم المضاف.
✅النّتيجة: التقدّم محسوبا عند كلّ لحظة
الزّمن ⁦t (min)⁩036912162030405060
التقدّم ⁦x (mmol)⁩0,000,501,021,421,682,122,282,823,123,223,28
القيم كلّها محسوبة بالعلاقة نفسها، تطبيقا للمثال السابق على كلّ حجم.
ميل المنحنى يتناقص: التفاعل يتباطأ كلّما تقدّم.
مثال 2: هل انتهى التحوّل بعد ساعة ؟

نستعمل معطيات التحضير: ⁦100 mL⁩ من محلول يود البوتاسيوم تركيزه 0,40 مول لكلّ لتر، و⁦100 mL⁩ من محلول بيروكسوديكبريتات البوتاسيوم تركيزه 0,036 مول لكلّ لتر.

🎯المطلوب: بيّن هل انتهى التحوّل بعد ستّين دقيقة

🔹الخطوة 1: كمّية شوارد اليود الابتدائية

لأنّ التركيز بالمول لكلّ لتر والحجم بالميلي لتر: الجداء يعطي الكمّية بالميلي مول

n(I⁻)=0,40 × 100=40 mmol
🔹الخطوة 2: كمّية شوارد البيروكسوديكبريتات الابتدائية

نحسب كمّية المتفاعل الثاني بالطريقة نفسها، لأنّنا لا نعرف بعد أيّهما يوقف التفاعل

n(S₂O₈²⁻)=0,036 × 100=3,6 mmol
🔹الخطوة 3: التقدّم الأعظمي

لأنّ شوارد اليود تُستهلك بمعامل 2 فتسمح بتقدّم قدره 20 مليمول، وشوارد البيروكسوديكبريتات بمعامل 1 فلا تسمح إلّا بـ 3,6 مليمول: أصغرهما هو الذي يوقف التفاعل، فهو المتفاعل المحدّ

xmax = 3,6 mmol
✅النّتيجة

لأنّ التقدّم المقيس بعد ستّين دقيقة ما يزال أصغر من التقدّم الأعظمي: التحوّل لم ينته بعد، مع أنّه تجاوز نصف تقدّمه الأعظمي ⁦1,80 mmol⁩ بين الدقيقة 12 والدقيقة 16

x(60 min)=3,28 mmol < xmax=3,6 mmol
التقدّم الأعظمي لا يُقرأ على البيان: يُحسب من جدول التقدّم ومن المتفاعل المحدّ. البيان يعطيك ما بلغته الجملة فعلا، لا ما تستطيع بلوغه.
المعايرة إذن طريقة غير مباشرة: نقيس حجما، ونستنتج منه كمّية مادة، ومنها التقدّم. وهي تصلح لكلّ تحوّل نستطيع إيقافه في عيّنة ومعايرة أحد أفراده.

الطريقة 2: المتابعة عن طريق قياس الناقلية

📌التجربة:

  1. نسكب في بيشر حجما من محلول 2-كلورو-2-ميثيل بروبان.
  2. عند اللحظة صفر نضيف إليه مذيبا مكوّنا من ⁦95 %⁩ ماء و ⁦5 %⁩ أسيتون.
  3. نغمس خليّة قياس الناقلية في المزيج ونشغّل الجهاز الموصول بالحاسوب.
  4. يسجّل الحاسوب التوتر ثمّ يحوّله بالحساب إلى ناقلية نوعية، ويعطي قيمة عند كلّ لحظة.

🔍الملاحظة: تنطلق الناقلية النوعية من الصفر وتتزايد بسرعة في البداية ثمّ ببطء، حتّى تستقرّ عند ⁦298,1 µS/cm⁩ ابتداء من اللحظة ⁦365 s⁩ فلا تتغيّر بعدها.

الجهاز يقيس، والحاسوب يسجّل: لا نوقف التفاعل ولا نأخذ منه عيّنة.
📌التجربة: الناقلية النوعية عند لحظات مختلفة
الزّمن ⁦t (s)⁩0103060100160240365450
الناقلية النوعية ⁦(µS/cm)⁩052,7999,38161,5214,3260,9285,7298,1298,1
تسع لحظات من أصل أربع وعشرين لحظة مسجّلة؛ القيمة الأخيرة تتكرّر: هناك يتوقّف التطوّر.
الناقلية النوعية تتزايد مع التقدّم، وتتوقّف عن التزايد حين يتوقّف التفاعل. فهي مقدار فيزيائي يصلح لمتابعة التحوّل دون إيقافه.

الوسط في البداية خال من الشوارد، ولا يظهر فيه إلّا نوعان منها: شوارد الهيدروجين وشوارد الكلور، وهما وحدهما المسؤولان عن الناقلية. ولذلك تنطلق الناقلية من الصفر.

معادلة تفاعل الإماهة
(CH₃)₃CCl(aq) + H₂O(l) = (CH₃)₃COH(aq) + H⁺(aq) + Cl⁻(aq)

الماء هنا هو المذيب، وهو بوفرة كبيرة: عموده في جدول التقدّم يحمل كلمة «بوفرة» في الأسطر الثلاثة ولا يُحسب. والمتفاعل المحدّ هو 2-كلورو-2-ميثيل بروبان: كمّيته ⁦8,6 × 10−5 mol⁩ في الحالة الابتدائية، ثمّ ⁦8,6 × 10−5 − x⁩ في الحالة الانتقالية، ثمّ ⁦8,6 × 10−5 − xf⁩ في الحالة النهائية؛ وكلّ ناتج من النواتج الثلاثة كمّيته 0 ثمّ ⁦x⁩ ثمّ ⁦xf⁩.

المتفاعل الموجود بوفرة لا يُحسب في جدول التقدّم: المتفاعل المحدّ وحده هو الذي يقرّر التقدّم.
الناقلية النوعية بدلالة التقدّم
σ(t)=(λH + λCl) × x(t)V
σالناقلية النوعية للوسط التفاعلي(S/m)λHالناقلية النوعية المولية الشاردية لشوارد الهيدروجينλClالناقلية النوعية المولية الشاردية لشوارد الكلورVحجم الوسط التفاعلي(L)
مثال 3: حساب التقدّم انطلاقا من الناقلية

نأخذ من الجدول الناقلية عند اللحظة ⁦10 s⁩، والناقلية النهائية التي استقرّت عندها الجملة. والتقدّم الأعظمي في هذه التجربة معطى: 86,0 ميكرومول.

🎯المطلوب: احسب تقدّم التفاعل عند اللحظة ⁦10 s⁩ انطلاقا من الناقلية النوعية

📌المعطى
σ(10 s) = 52,79 µS/cm ; σf = 298,1 µS/cm ; xmax = 86,0 µmol
🔹الخطوة 1: الناقلية عند لحظة كيفية

لأنّ الشاردتين الوحيدتين في الوسط تتشكّلان بكمّية تساوي التقدّم: الناقلية تتناسب معه، والمعامل ثابت لا يتغيّر مع الزمن

σ(t)=(λH + λCl) × x(t)V
🔹الخطوة 2: الناقلية في نهاية التفاعل

لأنّ العلاقة نفسها تصلح في نهاية التفاعل، حيث يبلغ التقدّم قيمته العظمى وتستقرّ الناقلية

σf=(λH + λCl) × xmaxV
🔹الخطوة 3: قسمة العلاقتين

لأنّ قسمة العلاقتين تحذف الناقليتين الموليتين والحجم معا: لا نحتاج إلى معرفة أيّ منها، وهذا ما يجعل الطريقة عملية

x(t) = (σ(t)σf) × xmax
🔹الخطوة 4: التعويض العددي

نعوّض بقيم الجدول عند اللحظة المطلوبة

x(10 s) = (52,79298,1) × 86,0
✅النّتيجة

وهو تقدّم التفاعل بعد عشر ثوان فقط من بدايته

x(10 s) = 15,2 µmol
نسبة الناقلية عند اللحظة إلى الناقلية النهائية عدد بلا وحدة: احسبها أوّلا، ثمّ اضربها في التقدّم الأعظمي. هكذا لا تحتاج إلى الناقليات المولية ولا إلى حجم الوسط، وهما مجهولان في أغلب التمارين.
القيمة الأخيرة تتكرّر: التقدّم استقرّ عند قيمته العظمى، ومنها يُحسب زمن نصف التفاعل.

الطريقة 3: قياس ضغط غاز أو حجمه

إذا كان التحوّل ينتج غازا أو يستهلكه، فإنّ كمّية هذا الغاز تتغيّر مع التقدّم. يكفي عندئذ أن نقيس حجم الغاز المنطلق عند ضغط ثابت، أو ضغطه في حجم ثابت، لنعرف أين وصل التفاعل. ويعطي جدول التقدّم العلاقة بين الكمّيتين:

كمّية مادة الغاز المتشكّل
nG = a × x
nGكمّية مادة الغاز المتشكّل(mol)aمعامل الغاز في معادلة التفاعل
شرط هذه الطريقة أن يظهر غاز في المعادلة أو يختفي. وهي كسابقتيها متابعة غير مباشرة: نقيس مقدارا فيزيائيّا، ونستنتج منه التقدّم.

زمن نصف التفاعل

لكلّ تحوّل زمن يميّزه، هو الزمن اللازم لكي يبلغ التفاعل نصف تقدّمه الأعظمي. ورأينا في المثال 2 أنّ التفاعل المتابَع بالمعايرة تجاوز نصف تقدّمه الأعظمي بين الدقيقة 12 والدقيقة 16: زمن نصف التفاعل هناك دقائق، بينما هو ثوان معدودة في تجربة الناقلية.

تعريف زمن نصف التفاعل
x(t½) = xmax2
التعريف يُقرأ في اتّجاهين: من التراتيب إلى المنحنى، ثمّ من المنحنى إلى الزمن.
مثال 4: تعيين زمن نصف التفاعل من جدول القيم

نعود إلى تجربة الناقلية: التقدّم الأعظمي 86,0 ميكرومول، والحساب السابق مطبّقا على كلّ القيم يعطي التقدّم 41,2 ميكرومول عند ⁦50 s⁩ و 46,6 ميكرومول عند ⁦60 s⁩.

🎯المطلوب: عيّن زمن نصف التفاعل في هذه التجربة انطلاقا من جدول القيم

🔹الخطوة 1: نصف التقدّم الأعظمي

لأنّ زمن نصف التفاعل هو اللحظة التي يبلغ فيها التقدّم نصف قيمته العظمى: نحسب هذا النصف أوّلا لنعرف ما نبحث عنه

x(t½)=86,02=43,0 µmol
🔹الخطوة 2: حصر القيمة بين قياسين

لأنّ القيمة 43,0 لا توجد في الجدول: نبحث عن اللحظتين المتتاليتين اللتين تحصرانها

41,2 < 43,0 < 46,6
🔹الخطوة 3: الحساب بين القياسين

لأنّ التقدّم يكاد يتغيّر تغيّرا خطّيّا في مجال قصير كهذا: ننسب الزيادة المطلوبة إلى الزيادة الكلّية بين اللحظتين، ونضيف الجزء الموافق إلى 50

t½=50 + 10 × 43,0 - 41,246,6 - 41,2
✅النّتيجة

وهو زمن نصف التفاعل في هذه التجربة، ويوافق ما يُقرأ على البيان حين نرسم الخطّين المتقطّعين انطلاقا من القيمة 43,0

t½ ≈ 53 s
إن لم تجد نصف التقدّم الأعظمي مكتوبا في الجدول، لا تأخذ أقرب قيمة: اِحصرها بين قياسين واحسب بينهما. الفرق بين خمسين وستّين ثانية ليس صغيرا في تفاعل مدّته دقائق.
نصف التقدّم الأعظمي يُحمَل أفقيّا إلى المنحنى ثمّ يُنزَل إلى محور الزمن: هناك يُقرأ زمن نصف التفاعل.

ولزمن نصف التفاعل فائدة عمليّة: به نقدّر متى تتوقّف الجملة عن التطوّر. تبيّن التجارب أنّ الجملة تبلغ حالتها النهائية في المجال:

مجال انتهاء التحوّل

وهذا ما نلاحظه في تجربتنا: أربعة أمثال زمن نصف التفاعل تعطي ⁦213 s⁩ وسبعة أمثاله تعطي ⁦373 s⁩، والناقلية استقرّت فعلا ابتداء من ⁦365 s⁩

4 × t½ ≤ t ≤ 7 × t½

سرعة التفاعل

التقدّم يقول أين وصلت الجملة، والسرعة تقول بأيّ نسق تتقدّم. ونعرّف السرعة المتوسّطة بين لحظتين بأنّها تغيّر كمّية المادة على المدّة الموافقة:

السرعة المتوسّطة للتفاعل
vmoy = Δn / Δt
Δnتغيّر كمّية مادة الفرد المدروس(mol)Δtالمدّة الفاصلة بين اللحظتين(s)
السرعة المتوسّطة الحجمية
vvol = Δn / (V × Δt)
المقداران مختلفان ولا يُخلط بينهما: سرعة التفاعل تُقاس بالمول في الثانية، والسرعة الحجمية تُقاس بالمول في اللتر في الثانية. اُنظر دائما إلى الوحدة المطلوبة قبل أن تقسّم على الحجم أو لا تقسّم.

وإذا صغّرنا المجال الزمني حتّى يؤول إلى الصفر، آلت السرعة المتوسّطة إلى السرعة اللحظية عند اللحظة المدروسة:

السرعة اللحظية
v = dndt
القاطع يقيس متوسّطا على مجال، والمماس يقيس سرعة في لحظة.
مثال 5: كيف تتغيّر سرعة التفاعل مع الزمن ؟

نعود إلى جدول تقدّم تجربة المعايرة، ونختار مجالين: الأوّل في بداية التحوّل، والثاني في آخر ما قِيس منه.

🎯المطلوب: قارن السرعة المتوسّطة في بداية التحوّل بسرعته في آخره

🔹الخطوة 1: السرعة المتوسّطة في المجال الأوّل

لأنّ السرعة المتوسّطة هي تغيّر الكمّية على المدّة: نطبّق التعريف على المجال الممتدّ من البداية إلى الدقيقة السادسة

vmoy=1,02 - 06 - 0=0,17 mmol/min
🔹الخطوة 2: السرعة المتوسّطة في المجال الأخير

نطبّق التعريف نفسه على مجال متأخّر، بين الدقيقتين 40 و 60، حتّى تكون المقارنة بين مقدارين محسوبين بالطريقة نفسها

vmoy=3,28 - 3,1260 - 40=0,008 mmol/min
✅النّتيجة

لأنّ السرعة في البداية أكبر بنحو 21 مرّة منها في الآخر: التفاعل يتباطأ كلّما تقدّم، وهذا بالضبط ما يعنيه تناقص ميل المنحنى

0,17 mmol/min > 0,008 mmol/min
السرعة المتوسّطة تعتمد على المجال الذي تختاره: اُذكر دائما اللحظتين اللتين حسبتها بينهما، وإلّا فالعدد وحده لا معنى له.
في البكالوريا يعطيك تمرين المتابعة الزمنية منحنى أو جدولا لتطوّر مقدار مقيس، ويطلب: «عيّن التقدّم الأعظمي xmax»، و«عيّن بيانيّا زمن نصف التفاعل»، و«احسب سرعة التفاعل في لحظة معيّنة». جهّز ثلاثة عناصر: ① ربط المقدار المقيس بالتقدّم: حجم التكافؤ في المعايرة المتقطّعة، أو الناقلية النوعية ⁦σ(t) = ((λH+ + λCl−)/V) × x(t)⁩، أو ضغط الغاز أو حجمه ؛ ② زمن نصف التفاعل: المدّة التي يبلغ عندها التقدّم نصف قيمته القصوى، ⁦x(t½) = xmax/2⁩، فاحسب xmax أوّلا ثمّ اقرأ الفاصلة ؛ ③ السرعة: المتوسّطة ميل القاطع، واللحظية ميل المماس عند اللحظة المطلوبة. ⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين السرعة الحجمية وغير الحجمية ؛ الأولى تُنسب إلى وحدة الحجم والثانية لا، فحدّد المطلوبة قبل الحساب واكتب الوحدة. ⚠️ وخطأ ثانٍ: قراءة t½ عند نصف المدّة الكلّية بدل نصف التقدّم الأعظمي.
خلاصة: لمتابعة تحوّل بطيء نقيس مقدارا فيزيائيّا مرتبطا بالتقدّم — حجما عند التكافؤ في المعايرة، أو ناقلية نوعية، أو حجم غاز وضغطه — ثمّ نستنتج منه التقدّم عند كلّ لحظة. ومن جدول التقدّم أو من بيانه نستخرج زمن نصف التفاعل الذي يميّز الجملة، والسرعة المتوسّطة بين لحظتين، والسرعة اللحظية بميل المماس.

Page 1/12

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net