مدرستي
Sciences physiques🎓 objectif bac

دراسة ظواهر كهربائية

ثنائي القطب ⁦RL⁩: الوشيعة، المعادلة التفاضلية و الطاقة المخزنة

🔊 La maîtresse lit pour toi
مصباحان متماثلان في فرعين متفرعين من الدارة نفسها: نغلق القاطعة فيتوهّج الأوّل في الحين، بينما يتأخّر الثاني لحظة قبل أن يبلغ الإنارة نفسها؛ والفرق الوحيد بين الفرعين أنّ الثاني يحمل وشيعة. فما الذي يؤخّر ظهور التيار في هذا الفرع، ولماذا لا ينعدم فجأة عند الفتح ؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • أن تصف بنية الوشيعة وتذكر المقدارين اللذين يميّزانها
  • أن تكتب العلاقة بين التوتر بين طرفي وشيعة وشدّة التيار الذي يعبرها
  • أن تبيّن تجريبيا أنّ الوشيعة تمانع التغيّر المفاجئ في شدّة التيار
  • أن تكتب المعادلة التفاضلية لشدّة التيار عند غلق القاطعة وعند فتحها وتعرف حلّها
  • أن تحسب ثابت الزمن لثنائي القطب RL والطاقة المخزّنة في الوشيعة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • قانون جمع التوترات وقانون أوم في دارة متسلسلة
  • دراسة ثنائي القطب RC وثابت الزمن والنظامان الانتقالي والدائم
  • اشتقاق الدالة الأسية وحلّ معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى

❓إشكالية: في ثنائي القطب RC كانت المكثفة تمانع التغيّر المفاجئ في التوتر. فهل يوجد ثنائي قطب يمانع، بالمقابل، التغيّر المفاجئ في شدّة التيار ؟ وإن وُجد، فبأيّ معادلة نصف تطوّر التيار فيه، وبأيّ مقدار نقيس بطأه ؟

الوشيعة: التعريف والرمز

تتكوّن الوشيعة من سلك ناقل طويل جدا من النحاس، معزول بطبقة من الورنيش وملفوف على شكل حلقات. ويميّزها مقداران: ذاتيتها، وتُقدَّر بالهنري نسبة إلى الفيزيائي جوزيف هنري، ومقاومتها الداخلية، وتُقدَّر بالأوم وتأتي من طول السلك نفسه. والوشيعة الصافية أو الصرفة هي التي نهمل مقاومتها الداخلية.

هذه المكافأة هي ما يسمح بتطبيق قانون أوم على الجزء المقاوم من الوشيعة.
تعريف: الوشيعة ثنائي قطب يتميّز بذاتيته وبمقاومته الداخلية. ويمكن تمثيلها دائما بوشيعة صافية موضوعة على التسلسل مع ناقل أومي مقاومته هي المقاومة الداخلية للوشيعة.
التوتر بين طرفي وشيعة
uL=L × didt + r × i
uLالتوتر بين طرفي الوشيعة(V)Lذاتية الوشيعة(H)rالمقاومة الداخلية للوشيعة(Ω)iشدّة التيار اللحظية(A)
في اصطلاح المستقبل يُرسم سهم التوتر بين طرفي الوشيعة معاكسا لاتجاه التيار، وبهذا الاصطلاح تُكتب العلاقة أعلاه.
حالة تيار ثابت الشدّة
didt = 0 ⟹ uL = r × i
حالة وشيعة صافية
r = 0 ⟹ uL = L × didt
نتيجة: للوشيعة تأثيران. تأثير مقاومي ناتج عن طول السلك المكوّن لها، وتأثير تحريضي راجع إلى تغيّر شدّة التيار المارّ فيها. ولهذا تتصرّف كناقل أومي بسيط كلّما كانت شدّة التيار ثابتة.

نشاط 1: هل يظهر التيار في كلّ فروع الدارة في اللحظة نفسها ؟

🧰الأدوات:

  • مولد قوّته المحرّكة الكهربائية ⁦9 V⁩
  • مصباحان متماثلان
  • ناقل أومي
  • وشيعة ذاتيتها كبيرة
  • قاطعة بسيطة
  • أسلاك توصيل

📌التجربة:

  1. نحقّق دارة فيها فرعان متفرعان: الأوّل يحمل ناقلا أوميا ثمّ المصباح الأوّل، والثاني يحمل وشيعة ذاتيتها كبيرة ثمّ المصباح الثاني.
  2. نختار الناقل الأومي بحيث تكون مقاومته مساوية للمقاومة الداخلية للوشيعة، حتى تكون شدّة التيار في الفرعين واحدة في النظام الدائم.
  3. نغلق القاطعة ونراقب المصباحين في اللحظة نفسها.
  4. نفتح القاطعة ونراقب كيف ينطفئان.

🔍الملاحظة: عند غلق القاطعة يتوهّج المصباح الأوّل مباشرة، أمّا الثاني فيتوهّج متأخّرا عنه، ثمّ تصير إنارة المصباحين متماثلة بعد ثوان. وعند فتح القاطعة ينطفئ المصباحان معا، لكن تدريجيا لا فجأة.

الفرعان متطابقان إلا في شيء واحد: الوشيعة. فكلّ فرق في السلوك يعود إليها وحدها.
الاستنتاج: تمانع الوشيعة التغيّر المفاجئ في شدّة التيار. فهي تتحرّض ذاتيا وينشأ فيها تيار متحرّض معاكس لتيار المولد عند الغلق، فيتأخّر بلوغ الشدّة العظمى؛ وهي تخزّن طاقة تعيدها عند الفتح، فيتأخّر انطفاء المصباحين.

نشاط 2: كيف يتطوّر التيار عند غلق القاطعة وعند فتحها ؟

📌التجربة:

  1. نحقّق دارة على التسلسل: مولد، وقاطعة، وناقل أومي، ووشيعة.
  2. نصل راسم اهتزاز مهبطيا مزوّدا بذاكرة بين الوشيعة والناقل الأومي، لأنّ الظاهرة أسرع من أن تتابعها العين المجرّدة.
  3. نضيف على فرع العودة مركّبا لا يمرّر التيار إلا في اتجاه واحد، ليجد التيار مسلكا يمرّ فيه عند فتح القاطعة فلا يتلف التركيب.
  4. نسجّل المنحنى عند غلق القاطعة، ثمّ نسجّله عند فتحها.

🔍الملاحظة: عند الغلق تتزايد شدّة التيار ببطء حتى تثبت عند قيمة عظمى. وعند الفتح تتناقص ببطء حتى تنعدم. وفي الحالتين تمرّ الدارة بنظام انتقالي قبل أن تستقرّ في نظام دائم.

المركّب الذي لا يمرّر التيار إلّا في اتجاه واحد يمنح التيار مسلكا لحظة فتح القاطعة، فيحمي التركيب.
المنحنيان مرآة أحدهما للآخر، ولهما ثابت الزمن نفسه.
الاستنتاج: التيار في ثنائي القطب RL لا يظهر ولا يختفي فجأة. له نظام انتقالي شكله أسّي، ثمّ نظام دائم تتصرّف فيه الوشيعة كناقل أومي مقاومته هي مقاومتها الداخلية وحدها.

ثابت الزمن لثنائي القطب RL

تعريف: ثابت الزمن لثنائي القطب RL هو الزمن اللازم لكي تبلغ شدّة التيار ثلاثة وستّين بالمائة من شدّتها العظمى عند غلق القاطعة. وهو نسبة ذاتية الوشيعة إلى المقاومة الكلّية للدارة.
المقاومة الكلّية للدارة
RT = R1 + r
ثابت الزمن
τ = LRT

والتحليل البعدي يؤكّد أنّ هذه النسبة زمن. ننطلق من عبارة التوتر بين طرفي وشيعة صافية، ومن قانون أوم بين طرفي ناقل أومي.

بعد التوتر بين طرفي وشيعة صافية
[u] × [t] = [L] × [i]
بعد التوتر انطلاقا من قانون أوم
[u] = [R] × [i]

وبتعويض بعد التوتر في العلاقة الأولى يزول بعد الشدّة من الطرفين، فتصير الذاتية جداء مقاومة في زمن، أي إنّ نسبة الذاتية إلى المقاومة زمن:

✅نتيجة التحليل البعدي
[L] = [R] × [t]
✅النّتيجة: القيم المميّزة لشدّة التيار عند غلق القاطعة
t0τ5τ∞
⁦i (A)⁩0⁦0,63 I₀⁩⁦0,99 I₀⁩I₀
بعد خمسة أضعاف ثابت الزمن يُعتبر التيار قد تأسّس: بلغ تسعة وتسعين بالمائة من شدّته العظمى.
قارن مباشرة بين الثنائيين: في RC كان ثابت الزمن جداء المقاومة في السعة، وفي RL هو نسبة الذاتية إلى المقاومة. فكبر المقاومة يبطّئ الشحن في الأوّل ويسرّع تأسّس التيار في الثاني — وهذا هو الفرق الوحيد الذي يجب أن تحفظه.
كلّما كبرت الذاتية كان تأسّس التيار أبطأ؛ وكلّما كبرت المقاومة كان أسرع: ثابت الزمن نسبة، لا جداء.

الدراسة النظرية لتطوّر شدّة التيار

نطبّق قانون جمع التوترات على الدارة عند غلق القاطعة، ونعوّض التوتر بين طرفي الوشيعة بعبارته، ثمّ نجمع الحدّين المقاومين في مقاومة كلّية واحدة.

قانون جمع التوترات عند الغلق
E=L × didt + r × i + R1 × i
الشكل المختصر بالمقاومة الكلّية
E=L × didt + RT × i
المعادلة التفاضلية لشدّة التيار عند الغلق
didt + iτ=EL
حلّ المعادلة عند الغلق
i(t)=I0 × (1 - e-tτ)
الشدّة العظمى في النظام الدائم
I0 = ERT

وعند فتح القاطعة يخرج المولد من الدارة، فيصير الطرف الأيمن معدوما وتبقى المعادلة نفسها بلا طرف ثابت.

المعادلة التفاضلية لشدّة التيار عند الفتح
didt + iτ=0
حلّ المعادلة عند الفتح
i(t)=I0 × e-tτ

ومن عبارة شدّة التيار نستنتج التوتر بين طرفي الوشيعة. وفي حالة وشيعة صافية تأخذ العبارة شكلا بسيطا، لكنّها تغيّر إشارتها بين الغلق والفتح.

التوتر بين طرفي وشيعة صافية عند الغلق
uL=E × e-tτ
التوتر بين طرفي وشيعة صافية عند الفتح
uL=-E × e-tτ
الإشارة السالبة عند الفتح ليست خطأ في الحساب: هي فرق كمون معاكس تولّده الوشيعة وهي تقاوم انعدام التيار. ولهذا يوضع في التركيب مركّب لا يمرّر التيار إلا في اتجاه واحد، يمنح التيار مسلكا يمرّ فيه لحظة الفتح ويحمي بقيّة العناصر.
عدم النزول إلى الصفر هو بصمة الوشيعة الحقيقية: ما يبقى هو أثر مقاومتها الداخلية.
مثال 1: حساب ثابت الزمن وشدّة التيار عند اللحظة τ

ثنائي قطب RL مكوّن من ناقل أومي مقاومته ⁦90 Ω⁩ ووشيعة ذاتيتها ⁦0,50 H⁩ ومقاومتها الداخلية ⁦10 Ω⁩، موصول بمولد قوّته المحرّكة الكهربائية ⁦6,0 V⁩.

🎯المطلوب: احسب ثابت الزمن لهذه الدارة، ثمّ استنتج شدّة التيار عند اللحظة τ

🔹الخطوة 1: المقاومة الكلّية للدارة

لأنّ المقاومة الداخلية للوشيعة على التسلسل مع الناقل الأومي: التياران المارّان فيهما هما التيار نفسه، فتُجمع المقاومتان

RT=R1 + r=90 + 10
🔹الخطوة 2: ثابت الزمن

لأنّ ثابت الزمن نسبة الذاتية إلى المقاومة الكلّية، لا إلى مقاومة الناقل الأومي وحدها

τ=LRT=0,50100
🔹الخطوة 3: الشدّة العظمى

لأنّ الشدّة العظمى هي التي تبلغها الدارة في النظام الدائم، حيث تتصرّف الوشيعة كناقل أومي فيسري قانون أوم على المقاومة الكلّية

I0=ERT=6,0100
🔹الخطوة 4: تطبيق الحلّ عند اللحظة τ

لأنّ الأسّ عند اللحظة τ يساوي ناقص واحد، فيصير المعامل 0,632 تقريبا، وهو معنى ثابت الزمن نفسه

i(τ)=I0 × (1 - e-1)=0,060 × 0,632
✅النّتيجة

لأنّ هذه الشدّة هي ثلاثة وستّون بالمائة من الشدّة العظمى؛ أمّا الشدّة العظمى نفسها فلا تُعتبر مبلوغة إلا بعد خمسة أضعاف ثابت الزمن، أي بعد ⁦25 ms⁩

i(τ)=3,8 × 10-2 A=38 mA
لا تنسَ المقاومة الداخلية للوشيعة في المقاومة الكلّية: إهمالها هنا يغيّر ثابت الزمن بنحو عشرة بالمائة، والخطأ ينتقل بعد ذلك إلى كلّ سؤال يعتمد عليه.
مثال 2: التوتر بين طرفي الوشيعة في النظام الدائم

نبقى في الدارة نفسها: المقاومة الداخلية للوشيعة ⁦10 Ω⁩ وشدّة التيار في النظام الدائم ⁦0,060 A⁩.

🎯المطلوب: احسب التوتر بين طرفي الوشيعة في النظام الدائم

🔹الخطوة 1: تبسيط عبارة التوتر

لأنّ شدّة التيار في النظام الدائم ثابتة، فمشتقّها معدوم، فيسقط الحدّ التحريضي من عبارة التوتر ولا يبقى إلا الحدّ المقاومي

didt = 0 ⟹ uL = r × i
🔹الخطوة 2: التعويض العددي

لأنّ شدّة التيار في النظام الدائم هي الشدّة العظمى المحسوبة في المثال الأول

uL = 10 × 0,060
✅النّتيجة

لأنّ باقي التوتر، أي ⁦5,4 V⁩، يقع على الناقل الأومي: ومجموع التوترين يساوي القوّة المحرّكة الكهربائية ⁦6,0 V⁩

uL = 0,60 V
هذه القيمة الصغيرة غير المعدومة هي ما يميّز الوشيعة الحقيقية عن الصافية: لو كانت الوشيعة صافية لانعدم التوتر بين طرفيها في النظام الدائم تماما.
توتر الناقل الأومي يتبع شكل التيار نفسه ويستقرّ دون القوّة المحرّكة الكهربائية: الفارق هو ما يبقى بين طرفي الوشيعة الحقيقية.

الطاقة المخزّنة في الوشيعة

تخزّن الوشيعة بفعل ذاتيتها طاقة كهرومغناطيسية عند مرور التيار فيها، وهي الطاقة التي تعيدها إلى الدارة عند فتح القاطعة فتؤخّر انطفاء المصباح.

الطاقة المخزّنة في الوشيعة
EL=(12) × L × i2
ELالطاقة المخزّنة في الوشيعة(J)
زمن تناقص طاقة الوشيعة إلى النصف
t12 = τ × ln22
مثال 3: الطاقة المخزّنة في الوشيعة في النظام الدائم

نعود إلى الدارة نفسها: ذاتية الوشيعة ⁦0,50 H⁩ وشدّة التيار في النظام الدائم ⁦0,060 A⁩.

🎯المطلوب: احسب الطاقة المخزّنة في الوشيعة في النظام الدائم

🔹الخطوة 1: شدّة التيار المستعملة

لأنّ الطاقة المخزّنة تتعلّق بشدّة التيار وحدها، وهي في النظام الدائم تساوي الشدّة العظمى المحسوبة في المثال الأول

i=I0=0,060 A
🔹الخطوة 2: التعويض العددي

لأنّ الذاتية معطاة بالهنري وشدّة التيار بالأمبير، فالنتيجة تكون بالجول مباشرة دون أيّ تحويل

EL = 0,5 × 0,50 × 0,0602
✅النّتيجة

لأنّ الطاقة تتعلّق بمربّع شدّة التيار: لو ضاعفنا الشدّة لتضاعفت الطاقة أربع مرّات، تماما كما تتعلّق طاقة المكثفة بمربّع التوتر

EL=9,0 × 10-4 J=0,90 mJ
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في تمرين الدارة RL: «اكتب المعادلة التفاضلية لشدّة التيار»، ثمّ «تحقّق من حلّها وعبّر عن τ و I0»، ثمّ «عيّن τ بيانيّا واستنتج L أو r»، ثمّ «احسب الطاقة المخزّنة». جهّز ثلاثة عناصر: ① التوتر بين طرفي الوشيعة: ⁦uL = L × di/dt + r × i⁩، وفي النظام الدائم ⁦di/dt = 0⁩ فيبقى ⁦uL = r × i⁩ ؛ ② المعادلة وثابت الزمن: ⁦E = L × di/dt + RT × i⁩ مع ⁦RT = R1 + r⁩، وحلّها ⁦i(t) = I0 × (1 − e−t/τ)⁩ حيث ⁦I0 = E/RT⁩ و ⁦τ = L/RT⁩، وعند τ تبلغ الشدّة ⁦63 %⁩ من قيمتها العظمى ؛ ③ الطاقة: ⁦EL = ½ × L × i²⁩، والوشيعة تعيدها عند فتح القاطعة. ⚠️ الخطأ الشائع: القول إنّ التوتر بين طرفي الوشيعة ينعدم في النظام الدائم ؛ تتصرّف عندئذ كناقل أومي مقاومته r، فيبقى بين طرفيها ⁦r × i⁩. ⚠️ وخطأ ثانٍ: عدّ الإشارة السالبة عند الفتح خطأ في الحساب ؛ هي فرق كمون معاكس تولّده الوشيعة وهي تقاوم انعدام التيار.
خلاصة: الوشيعة ثنائي قطب يمانع التغيّر المفاجئ في شدّة التيار، لها ذاتية ومقاومة داخلية. في ثنائي القطب RL تخضع شدّة التيار لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى، حلّها دالة أسّية تبلغ ⁦63 %⁩ من شدّتها العظمى عند اللحظة τ، وثابت الزمن هو نسبة الذاتية إلى المقاومة الكلّية. وفي النظام الدائم تتصرّف الوشيعة كناقل أومي مقاومته مقاومتها الداخلية، فلا ينعدم التوتر بين طرفيها. وهي تخزّن طاقة تتعلّق بمربّع شدّة التيار وتعيدها عند فتح القاطعة.

Page 1/10

© Madrassati — leçon rédigée par Madrassati · madrassati.net