طبيعة البرهان الرياضي

إذا كان موضوع الرياضيات يتحدّد في أنّه جملة من المفاهيم المجرّدة ينشئها الذهن ويجرّدها من كلّ اعتبار حسّي، وأنّه ذو خصائص معيّنة تمتّعه بوجود موضوعي مستقلّ، فإنّ الرياضي بواسطة هذا الموضوع يقوم بكلّ إنشاء وبناء. ولمّا كان كلّ بناء ينهض وفق منهج، وكان هذا المنهج يُستوحى في الغالب من طبيعة الموضوع، وجب أن نتساءل عن المنهجية التي يتّبعها الرياضي في البرهنة على استنتاجاته. والسؤال ليس تقنيا كما قد يُظنّ: فالبرهان هو موضع القوّة في هذه الصناعة، وهو الذي جعلها نموذجا لكلّ فكر صحيح ؛ فإذا فهمنا كيف يشتغل، فهمنا من أين جاء يقينها — وأين يقف.

تقوم هذه المنهجية على الاستدلال الاستنتاجي ؛ وهو استدلال يعتمد بالضرورة على منطلقات أوّلية تُعرف بالأوّليات والمسلَّمات والتعريفات، لإقامة البرهان على صدق أو كذب قضية مطروحة للحلّ.

1. البديهيات : قضايا في غاية الوضوح لا تحتاج إلى برهان، تفرض نفسها على العقل ؛ فالقول بأنّ «الكلّ أكبر من أحد أجزائه»، وبأنّ «الشيئين المساويين لثالث متساويان فيما بينهما»، وبأنّه «إذا طُرحت كمّية ثابتة من متساويين جاءت النتيجة متساوية» — كلّها حقائق بديهية تستند إلى مبادئ تماسك العقل مع ذاته.
2. المسلَّمات، وتُدعى أيضا المصادرات : قضايا غير بيّنة بذاتها، يضعها العقل كمطلب ويسلّم بصدقها قصد بناء البراهين.
3. التعريفات : جمع تعريف، وهو القول الشارح لمفهوم الشيء، أو مجموع الصفات التي تكوّن هذا المفهوم مميَّزا عمّا عداه، بحيث يساوي التعريفُ معرَّفَه — مع العلم بأنّ الأوّل موجز والثاني مفصّل ؛ فالنقطة هي «ما ليس له بُعد» أو «حاصل التقاء خطّين»، والمثلّث هو «شكل هندسي يتألّف من ثلاثة خطوط وثلاث زوايا».

وتجدر الإشارة إلى أنّ التفرقة بين البديهية والمصادرة بدأت تختفي في أواخر القرن التاسع عشر، وفي القرن العشرين بوجه أخصّ، مع ظهور الأكسيوماتيك ؛ إذ لم يعد المطلوب من المنطلق أن يكون واضحا بذاته، بل أن يكون متّسقا مع بقيّة البناء.

وإذا كانت هذه هي أسس البرهنة الرياضية ومبادئها، فكيف يتمّ الانتقال منها إلى النتائج التي تلزم عنها ؟ هناك طريقتان يلجأ إليهما الرياضي في إثبات قضاياه وبنائها: الطريقة التحليلية والطريقة التركيبية.

طريقة التحليل المباشر تقوم على إرجاع القضية المراد إثباتها إلى قضايا أخرى أبسط منها، معروفة لدى الرياضي وسبق له إثباتها ؛ فهي صعودٌ من النتائج إلى المبادئ، حيث يقوم الرياضي بحركة تراجعية من القضية المعطاة إلى القضية المبدأ التي لا يمكن تحليلها. ومثال ذلك أن يُطلب إيجاد المجهول في معادلة تقول: المجهول زائدَ ستّة يساوي اثني عشر. فحلّها يقتضي تطبيق البديهية القائلة إنّ «طرح كمّية ثابتة من متساويين لن يغيّر من تساويهما» ؛ فبطرح ستّة من طرفَي المعادلة يتعيّن ما كان مجهولا، ويتبيّن أنّه يساوي ستّة. فالبرهان هنا لم يُنشئ شيئا جديدا، وإنّما ردّ المجهول إلى مبدأ معلوم.

غير أنّ التحليل المباشر قد يكون غير ممكن ؛ وفي هذه الحالة يسلك الرياضي طريقا آخر غير مباشر، فيُلزم نفسه التسليمَ بالنتائج من دون أن يردّ القضية المراد إثباتها إلى المبادئ الأوّلية الواضحة: إنّه يحاول أن يثبت أنّ نقيض القضية المطلوب البرهنة عليها كاذب، ومن هذا الكذب يستنتج صدق قضيته ؛ ويُدعى هذا التحليل غير المباشر بـالبرهان بالخُلف. ومثاله: إذا كان المستقيم الأوّل يوازي الثاني، والثاني يوازي الثالث، فالمطلوب: هل يوازي الأوّلُ الثالثَ ؟ نقوم بافتراض أنّه لا يوازيه، ونبيّن أنّ هذه حالة مستحيلة كاذبة: فإذا لم يكن الأوّل يوازي الثالث فإنّه يقطعه ؛ وإذا قطعه قطع موازيَه — وهو الثاني ؛ وهذا يخالف المعطى الذي افتُرض فيه أنّه يوازيه ولا يقطعه. فالبرهنة غير المباشرة هنا تثبت أنّ العكس غير ممكن.

أمّا الطريقة التركيبية فيقوم الرياضي في أثنائها بـالهبوط من المبادئ — التي هي أوّليات البرهان — إلى النتائج ؛ وفي هذا البرهان تتجلّى قدرة الذهن على الخلق والإنشاء وإيجاد العلاقات المتنوّعة الجديدة، إذ ينتقل الرياضي من القضايا البسيطة إلى ما ينتج عنها من قضايا مركّبة. ومثاله أن يُطلب التركيب بين معادلتين بسيطتين من الدرجة الأولى ؛ فإذا ضرب الرياضي إحداهما في الأخرى حصل على معادلة من الدرجة الثانية. فالحاصل علاقةٌ جديدة يتجاوز فيها الرياضي المعطى برمّته، وتكشف لنا عن قدرة العقل على إنشاء المفاهيم والعلاقات والتركيب الجديد. ولاحظ الفرق: التحليل يردّ المجهول إلى معلوم، والتركيب يولّد من المعلوم ما لم يكن.

المعرفة الرياضية معرفة قطعية يقينية في خطّتها ونتائجها ؛ فهي تقوم على أساسٍ من الالتزام بالمبادئ والأسس، وتتّصف بـوفائها المطلق لمبدأ الهوية الصارم — ممّا جعلها تتّصف باليقين الذي لا يرقى إليه أيّ شكّ أو احتمال، ما دامت حريصةً على الانسجام مُحجمةً عن التناقض. ولذلك يمكن القول إنّ الرياضيات صناعة صحيحة بالنظر إلى العلاقة المنطقية التي تربط المقدّمات بنتائجها، ما دام الفكر الرياضي يبقى وفيا من خلال استدلالاته الاستنتاجية بمبدأ عدم تنازع العقل مع نفسه. فقوّة البرهان إذن ليست في أنّه يخبرنا عن العالم، بل في أنّه لا يتناقض: وهذا هو بالضبط ما يجعله صالحا في كلّ زمان ومكان.

أمّا المنطلقات التي يبدأ منها الفكر في برهنته، فقيمتها تابعة لتقدير واضعيها واختيارهم لها. وقد تأكّد ذلك مع ظهور منهج الأكسيوماتيك القائم على الافتراض والاستنتاج، والتأكيد على عدم تناقض النتائج مع المقدّمات المفترضة: فالرياضيون أنفسهم لم تعد تهمّهم فكرة الملاءمة، ولا بساطة المبادئ ووضوحها — وقد اعتُبرت بمجرّد مواضعات أو تعاريف مقنعة — بل حصروا اهتمامهم في رفع كلّ تناقض قد يطرأ بين المنطلقات الافتراضية والنتائج الضرورية المترتّبة عنها.