مدرستي
العلوم الفيزيائية والتكنولوجيا

الظواهر الضوئية شروط رؤية جسم اختلاف أبعاد منظر الشيء باختلاف زوايا النظر

شروط رؤية جسم — زاوية النظر — تقدير الأبعاد وتحديد الموقع (التثليث)

🔊 المعلّمة تقرأ لك
تقف أمام شجرة عالية أو أمام عمود كهربائي وتريد أن تعرف ارتفاعه وبُعده عنك، ولا يمكنك أن تتسلّقه ولا أن تمدّ إليه شريط قياس. كيف نقدّر ارتفاع جسم بعيد وبُعده عنّا اعتمادا على النظر وحده؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التمييز بين الرؤية الكاملة والرؤية الجزئية لجسم وذكر شرط كلّ منهما
  • إنشاء زاوية النظر (القطر الظاهري) بمماسّين للجسم يلتقيان عند العين
  • ربط صغر زاوية النظر إلى جسم ببُعده عن الناظر
  • تقدير بُعد جسم معلوم الطول بمسطرة تُمسك باليد، بتطبيق نظرية طاليس
  • حساب ارتفاع جسم وبُعده بطريقة التثليث انطلاقا من زاويتي نظر وبُعد واحد
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الانتشار المستقيم للضوء ونموذج الشعاع الضوئي
  • نظرية طاليس في مثلّثين لهما رأس مشترك وقاعدتان متوازيتان
  • حساب ظلّ زاوية حادّة في مثلّث قائم

شرط الرؤية: كاملة أم جزئية

رأينا أنّ العين لا ترى من الجسم إلاّ النقاط التي يبلغها منها شعاع ضوئي مستقيم غير معترض. ومن هذا نستخرج شرطي الرؤية:

شرطا الرؤية
  • الرؤية الكاملة: ترى العين الجسم رؤية كاملة إذا كانت كلّ نقاطه التي في جهة العين غير محجوبة عنها.
  • الرؤية الجزئية: ترى العين الجسم رؤية جزئية إذا كانت بعض نقاطه محجوبة عنها.
لتعرف نوع الرؤية لا تنظر إلى الجسم دفعة واحدة: خذ نقاطه واحدة واحدة، واسأل عن كلّ نقطة هل يبلغ شعاعها العين أم يعترضه شيء. الرؤية الكاملة تعني أنّ الجواب «نعم» عن كلّ نقطة، بلا استثناء.

زاوية النظر أو القطر الظاهري

لتعيين الزاوية التي يُرى منها جسم نعتمد على الانتشار المستقيم للضوء: نرسم من العين قطعتين تمسّان الجسم عند طرفيه وتلتقيان عندها. الزاوية المحصورة بين هاتين القطعتين هي زاوية الرؤية الكاملة للجسم؛ نسمّيها زاوية النظر، ويقال لها كذلك القطر الظاهري.

زاوية النظر تُبنى على مماسّي الجسم، لا على مركزه: لذلك تسمّى أيضا القطر الظاهري
زاوية النظر (القطر الظاهري) هي الزاوية المحصورة بين مماسّي الجسم الملتقيين عند العين. وهي ليست خاصّية للجسم وحده: تتعلّق بالجسم وبموضع الناظر منه معا.

لماذا تبدو أجسام متماثلة مختلفة الأبعاد؟

نأخذ سبورة رُسمت عليها خمس دوائر متماثلة تماما، ونضع عين المراقب عند النقطة ⁦(O)⁩. ثمّ نعيّن زاويتي النظر اللتين نرى منهما الدائرة ⁦(A)⁩ القريبة والدائرة ⁦(E)⁩ البعيدة. فنلاحظ أنّ زاوية النظر إلى ⁦(A)⁩ أكبر من زاوية النظر إلى ⁦(E)⁩، مع أنّ الدائرتين متماثلتان في الحقيقة.

دائرتان متماثلتان في الحقيقة، وزاويتا نظر مختلفتان: الفرق كلّه في البُعد
يعود اختلاف الأبعاد التي نرى بها أجساما متماثلة إلى العلاقة بين زاوية النظر (القطر الظاهري) وما تراه العين: فكلّما كان الجسم بعيدا عن عين المراقب كانت زاوية النظر إليه أصغر، وكلّما قرُب منها كانت أكبر.

تقدير بُعد جسم بمسطرة: نظرية طاليس

لنقدّر بُعد شجرة معلومة الطول عن مكان وقوفنا: نأتي بمسطرة، ونمسكها باليد في وضع شاقولي مقابل الشجرة، ثمّ نحاول إخفاء الشجرة بها. نقرأ على المسطرة طول الجزء الذي أخفى الشجرة، ونقيس بُعد المسطرة عن العين.

المسطرة والشجرة تُرصدان من النقطة نفسها: فهما قاعدتا مثلّثين متشابهين

العين عند النقطة ⁦(O)⁩، والمسطرة قطعة شاقولية طرفاها ⁦(A)⁩ و⁦(B)⁩، والشجرة قطعة شاقولية طرفاها ⁦(C)⁩ و⁦(D)⁩. ولأنّ القطعتين متوازيتان وقد رُصدتا من النقطة ⁦(O)⁩ نفسها، تنطبق عليهما نظرية طاليس:

نظرية طاليس في هذا الرصد
ABCD = OBOD
ABطول الجزء من المسطرة الذي يخفي الشجرة(cm)CDطول الشجرة، وهو معلوم(cm)OBبُعد عين الناظر عن المسطرة(cm)ODالبُعد المراد تقديره(cm)
البُعد المراد تقديره
OD = OB × CDAB
مثال 1: تقدير بُعد شجرة معلومة الطول

نقف أمام شجرة نعلم أنّ طولها ⁦2 m⁩، أي ⁦200 cm⁩. نمسك المسطرة على بُعد ⁦50 cm⁩ من العين، فنجد أنّ الجزء الذي أخفى الشجرة تماما طوله ⁦5 cm⁩.

🎯المطلوب: احسب بُعد الشجرة عن عين الناظر.

📌المعطى
AB = 5 cm ; CD = 200 cm ; OB = 50 cm
🔹الخطوة 1: تطبيق العلاقة

نعوّض في العلاقة بعد أن جعلنا كلّ الأطوال بالوحدة نفسها

OD=OB × CDAB=50 × 2005
✅النّتيجة
OD=2000 cm=20 m
وحّد الوحدات قبل التعويض: لو تركنا طول الشجرة بالمتر وطول المسطرة بالسنتيمتر لخرج البُعد خاطئا مئة مرّة.
مثال 2: تقدير ارتفاع عمود معلوم البُعد

نقف على بُعد ⁦100 m⁩ من عمود كهربائي، أي ⁦10000 cm⁩. نمسك المسطرة على بُعد ⁦40 cm⁩ من العين، فيخفي العمودَ جزءٌ منها طوله ⁦8 cm⁩.

🎯المطلوب: احسب ارتفاع العمود.

📌المعطى
AB = 8 cm ; OB = 40 cm ; OD = 10000 cm
🔹الخطوة 1: استخراج طول الجسم

المجهول هنا هو طول الجسم لا بُعده، فنستخرجه من العلاقة نفسها

CD=AB × ODOB=8 × 1000040
✅النّتيجة
CD=2000 cm=20 m
العلاقة واحدة في الحالتين: إن عرفنا الطول حسبنا البُعد، وإن عرفنا البُعد حسبنا الطول. ما يتغيّر هو المجهول، لا القانون.

طريقة التثليث

لا تحتاج طريقة التثليث إلى الاقتراب من الجسم ولا إلى معرفة طوله مسبقا: يكفي أن نرصد قمّته من نقطتين على الأرض، على استقامة واحدة مع قدمه، وأن نقيس طولا واحدا هو المسافة بين نقطتي الرصد، وزاويتي النظر.

طول واحد مقيس وزاويتا نظر: هذا كلّ ما تحتاجه طريقة التثليث

نرصد القمّة من النقطة ⁦(A)⁩، ثمّ من نقطة ثانية أقرب إلى الجسم. وفي كلّ رصد يتكوّن مثلّث قائم: ضلعه الشاقولي هو ارتفاع القمّة عن الأرض، وضلعه الأفقي هو بُعد نقطة الرصد عن قدم الجسم. فنكتب في كلّ مثلّث ظلّ زاوية النظر:

ظلّ زاوية النظر عند النقطة الأولى
tan α = hL
hارتفاع قمّة الجسم عن الأرض(m)Lبُعد نقطة الرصد الأولى عن قدم الجسم(m)αزاوية النظر عند النقطة الأولى
ظلّ زاوية النظر عند النقطة الثانية
tan β = hL − d
dالمسافة بين نقطتي الرصد(m)βزاوية النظر عند النقطة الثانية

نحلّ الجملة المكوّنة من هاتين العلاقتين، فنحصل على البُعد ثمّ على الارتفاع:

بُعد نقطة الرصد الأولى عن الجسم
L=d × tan βtan β − tan α
ارتفاع الجسم
h=d × tan α × tan βtan β − tan α
مثال 3: ارتفاع شجرة برصدين من نقطتين

نرصد قمّة شجرة من النقطة ⁦(A)⁩، ثمّ نتقدّم نحوها ⁦6 m⁩ في الاتّجاه نفسه ونرصدها ثانية. نقيس زاويتي النظر ونقرأ ظلّيهما في جدول النسب المثلّثية، فنجد الظلّ الأوّل يساوي 0,5 والظلّ الثاني يساوي 1.

🎯المطلوب: احسب بُعد النقطة ⁦(A)⁩ عن قدم الشجرة، ثمّ ارتفاع الشجرة.

📌المعطى
d = 6 m ; tan α = 0,5 ; tan β = 1
🔹الخطوة 1: حساب البُعد

نبدأ بالبُعد لأنّ حسابه لا يتطلّب سوى المعطيات

L=6 × 11 − 0,5=60,5=12
🔹الخطوة 2: حساب الارتفاع

نعوّض البُعد في العلاقة الأولى

h=12 × 0,5=6
✅النّتيجة
L = 12 m ; h = 6 m
تحقّق دائما بالعلاقة التي لم تستعملها: ظلّ الزاوية الثانية يجب أن يساوي الارتفاع مقسوما على الفرق بين البُعدين، أي ستّة على ستّة، وهو واحد — وهو الظلّ الذي قسناه فعلا. تحقّق كهذا يكشف خطأ التعويض في الحال.

وبالفكرة نفسها تُحدَّد مواقع الأجسام لا أبعادها فقط، وهي تجربة الدبابيس: نضع منبّها داخل علبة زجاجية موضوعة فوق طاولة زجاجية، ثمّ نعيّن بمجموعة من عيدان الكبريت مساري شعاعين صادرين من نقطة واحدة من المنبّه، وذلك بالنظر إليها من مكانين مختلفين، مع توظيف نظرية طاليس في حساب الأبعاد.

زاوية النظر ليست طولا ولا خاصّية ثابتة للجسم: الجسم نفسه يُرى بزاوية واسعة عن قرب وبزاوية ضيّقة عن بُعد، وطوله لم يتغيّر. فإذا صغرت زاوية النظر فاسأل أوّلا عن البُعد، لا عن حجم الجسم.
المصطلحات العلمية
العربيةfrançaisenglish
زاوية النظر (القطر الظاهري)⁦Angle de vue (diamètre apparent)⁩⁦Angle of view (apparent diameter)⁩
الرؤية الكاملةVision totaleComplete vision
الرؤية الجزئيةVision partiellePartial vision
نظرية طاليسThéorème de ThalèsThales' theorem
طريقة التثليثTriangulationTriangulation
مصطلحات هذا الدرس بثلاث لغات
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في سؤال «قدّر بعد الجسم باستعمال المسطرة»، أو «احسب ارتفاع الشجرة وبعدها بطريقة التثليث»، أو «أنشئ زاوية النظر». ثلاثة عناصر جاهزة: ① زاوية النظر (القطر الظاهري): الزاوية بين مماسّي الجسم الملتقيين عند العين، تصغر كلّما بعد الجسم وتكبر كلّما قرب ② المسطرة وطاليس: ⁦AB/CD = OB/OD⁩، ومنها ⁦OD = (OB × CD)/AB⁩ ③ التثليث: رصدان بينهما بعد d وزاويتا نظر α و β: ⁦tan α = h/L⁩ و ⁦tan β = h/(L − d)⁩، ومنهما L ثمّ h. ⛔ والخطأ الشائع: عدّ زاوية النظر خاصّية ثابتة للجسم أو طولا ؛ الجسم نفسه يُرى بزاوية واسعة عن قرب وبزاوية ضيّقة عن بعد، فإذا صغرت فاسأل أوّلا عن البعد لا عن حجم الجسم. وخطأ ثانٍ: الخلط في نسب طاليس بين الأطوال والأبعاد المتناظرة، فيُقسم طول على بعد لا يقابله.
ترى العين الجسم رؤية كاملة إذا لم تُحجب عنها أيّ نقطة منه، ورؤية جزئية إذا حُجبت بعض نقاطه. وزاوية النظر أو القطر الظاهري هي الزاوية بين مماسّي الجسم الملتقيين عند العين: كلّما بعُد الجسم صغرت وكلّما قرُب كبرت، وهذا سبب اختلاف أبعاد أجسام متماثلة. ولتقدير الأبعاد طريقتان: مسطرة تُمسك باليد وتُخفي الجسم فتُطبَّق نظرية طاليس، أو رصدان من نقطتين وزاويتا نظر فتُطبَّق طريقة التثليث.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net