خاصية طاليس وحساب المثلثات في المثلث القائم
استعمال حاسبة
- ضبط الحاسبة على وحدة الدرجة، والتحقّق من ذلك قبل كلّ حساب
- حساب جيب زاوية معلومة القيس وجيب تمامها وظلّها، وتدوير النتيجة
- تعيين قيس زاوية حادّة إذا علمت إحدى نسبها المثلّثية
- التمييز بين القيمة المضبوطة والقيمة المقرّبة، وكتابة كلّ واحدة بعلامتها
- معرفة تعاريف الجيب وجيب التمام والظلّ في مثلّث قائم
- تدوير عدد عشري إلى الجزء من 10 أو من 100 أو من 1000
- قراءة قيس زاوية بالدرجة والتعرّف على الزاوية الحادّة
معارف — وحدة الزوايا في الحاسبة
الحاسبة لا تعرف وحدها بأيّ وحدة تقيس الزوايا، لأنّ عندها أكثر من وحدة واحدة. فقبل أيّ حساب مثلّثي يجب ضبطها على وحدة الدرجة، وإلا أعطت أعدادا لا علاقة لها بالمسألة، وهي أعداد صحيحة في نظرها وخاطئة تماما في تمرينك.
ولك مراقبة سريعة تغنيك عن البحث في قائمة الأوضاع: أدخل جيب الزاوية 30 درجة. فهذه الزاوية جيبها معروف بقيمة مضبوطة.
معارف — حساب نسبة مثلّثية لزاوية معلومة القيس
لكلّ نسبة من النسب الثلاث لمسة خاصّة بها على الحاسبة. تُدخل قيس الزاوية بالدرجة، وتُستعمل اللمسة الموافقة، فتعرض الشاشة عددا طويلا هو أفضل ما تستطيع الآلة عرضه.
| النسبة المثلّثية للزاوية 54 درجة | اللمسة المستعملة | ما يظهر على الشاشة | المدوّر إلى الجزء من 100 |
|---|---|---|---|
| sin 54° | [sin] | 0,8090169944 | 0,81 |
| cos 54° | [cos] | 0,5877852523 | 0,59 |
| tan 54° | [tan] | 1,37638192 | 1,38 |
وترتيب الضغط يختلف من طراز إلى آخر: في بعض الحاسبات تُضغط اللمسة أوّلا ثمّ يُدخل قيس الزاوية، وفي بعضها الآخر يُدخل القيس أوّلا ثمّ تُضغط اللمسة. جرّب على حاسبتك بالزاوية 30 درجة: الترتيب الصحيح هو الذي يعرض 0,5.
معارف — تعيين قيس زاوية من نسبة معلومة
والطريق العكسي ممكن كذلك: إذا علمت نسبة مثلّثية لزاوية حادّة، أعطتك الحاسبة قيسها بالدرجة. ولذلك لمسة ثانية تُستعمل مع لمسة الجيب أو جيب التمام أو الظلّ، ويُرمز إليها على الشاشة بالرموز sin⁻¹ و cos⁻¹ و tan⁻¹.
معارف — القيمة المضبوطة والقيمة المقرّبة
الحاسبة لا تعرض إلا عددا محدود الأرقام. فما تقرأه على الشاشة ليس دائما القيمة المضبوطة للنسبة، بل قيمة مقرّبة لها. وبعض النسب قيمتها مضبوطة وقصيرة، وبعضها الآخر لا تنتهي أرقامه مهما طالت الشاشة.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتأكّد أنّ الحاسبة مضبوطة على وحدة الدرجة؟
لا تبحث في قوائم الآلة: احسب جيب الزاوية 30 درجة. فإن ظهر 0,5 فالوحدة سليمة، وإن ظهر غير ذلك فاضبط الوحدة قبل أن تكتب أيّ سطر في تمرينك.
أدخل تلميذان جيب الزاوية 30 درجة، كلّ واحد في حاسبته. عرضت الأولى العدد 0,5، وعرضت الثانية العدد −0,988.
🎯المطلوب: حدّد أيّ الحاسبتين مضبوطة على وحدة الدرجة، وبيّن بأيّ حجّة حكمت.
الزاوية 30 درجة حادّة، وجيب كلّ زاوية حادّة عدد محصور بين 0 و 1، كما رأيت في الدرس السابق.
العدد المعروض على الشاشة الثانية سالب، فهو خارج هذا الحصر تماما، لا قريبا منه.
فالحاسبة الثانية لم تُضبط على وحدة الدرجة، بل على وحدة أخرى للزوايا: العدد الذي عرضته صحيح في تلك الوحدة، وليس جوابا لسؤالنا.
أمّا الأولى فأعطت العدد المنتظر بالضبط، وهو قيمة مضبوطة لا مقرّبة.
طريقة 2: كيف نحسب النسب المثلّثية لزاوية معلومة القيس؟
أدخل قيس الزاوية واستعمل اللمسة الموافقة، ثمّ اقرأ الشاشة كاملة قبل أن تدوّر. والتدوير يكون في السطر الأخير وحده، وبالدقّة التي يطلبها التمرين لا بغيرها.
زاوية حادّة قيسها 36 درجة، والحاسبة مضبوطة على وحدة الدرجة.
🎯المطلوب: احسب جيب هذه الزاوية وجيب تمامها وظلّها، وأعط لكلّ واحدة القيمة المقرّبة إلى الجزء من 1000.
نستعمل لمسة الجيب مع القيس 36، فتعرض الشاشة 0,5877853…، ثمّ ندوّر إلى ثلاثة أرقام بعد الفاصلة.
ثمّ لمسة جيب التمام مع القيس نفسه، فتعرض 0,8090170…
ثمّ لمسة الظلّ، فتعرض 0,7265425… والرقم الرابع بعد الفاصلة 5 فما فوق، فنزيد واحدا على الرقم الثالث.
الجيب وجيب التمام محصوران بين 0 و 1 كما يجب، والظلّ موجب: النتائج الثلاث متّسقة مع ما نعرفه.
طريقة 3: كيف نعيّن قيس زاوية إذا علمت إحدى نسبها المثلّثية؟
استعمل اللمسة الثانية مع لمسة النسبة المعطاة، ثمّ أدخل قيمة النسبة. تعرض الشاشة قيس الزاوية بالدرجة، وهو في العادة عدد غير صحيح، فتدوّره كما يطلب التمرين.
زاويتان حادّتان في مثلّثين قائمين: جيب الأولى يساوي 0,4، وظلّ الثانية يساوي 0,3.
🎯المطلوب: عيّن قيس كلّ واحدة من الزاويتين، بالتدوير إلى الوحدة.
نبدأ بالزاوية الأولى، والنسبة المعطاة فيها هي الجيب.
نستعمل اللمسة الثانية مع لمسة الجيب وندخل 0,4، فتعرض الشاشة 23,578178… والرقم الأوّل بعد الفاصلة 5 فما فوق، فنزيد واحدا.
ثمّ الزاوية الثانية، والنسبة المعطاة فيها هي الظلّ لا الجيب، فنغيّر اللمسة.
نستعمل اللمسة الثانية مع لمسة الظلّ وندخل 0,3، فتعرض الشاشة 16,699244… والرقم الأوّل بعد الفاصلة 6، فنزيد واحدا.
والزاويتان حادّتان كما ينتظر، لأنّ قيس كلّ واحدة منهما أصغر من 90 درجة.
طريقة 4: كيف ندوّر نتيجة الحاسبة إلى الدقّة المطلوبة؟
انظر إلى الرقم الذي يلي مباشرة رتبة التدوير المطلوبة: إن كان 5 فما فوق زدت واحدا على الرتبة، وإن كان أصغر من 5 تركتها. ثمّ اكتب علامة التقريب، لأنّ ما كتبته لم يعد مساويا للعدد الأوّل.
عرضت الحاسبة لظلّ الزاوية 54 درجة العدد 1,37638192، وهو نفسه قيمة مقرّبة لا مضبوطة.
🎯المطلوب: أعط القيمة المقرّبة لهذا الظلّ إلى الجزء من 10، ثمّ إلى الجزء من 100، ثمّ إلى الجزء من 1000، ثمّ بيّن هل فيها قيمة مضبوطة.
رتبة التدوير هي الرقم الأوّل بعد الفاصلة، والذي يليه 7، وهو 5 فما فوق، فنزيد واحدا.
رتبة التدوير هي الرقم الثاني، والذي يليه 6، وهو 5 فما فوق كذلك، فنزيد واحدا.
رتبة التدوير هي الرقم الثالث، والذي يليه 3، وهو أصغر من 5، فنترك الرتبة كما هي.
ولا واحدة من هذه القيم مضبوطة: كلّها تقريبات لعدد لا تنتهي أرقامه. أمّا جيب تمام الزاوية 60 درجة فقيمته مضبوطة وقصيرة، ولذلك نكتب معه علامة المساواة.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net