مدرستي
الرياضيات

خاصية طاليس وحساب المثلثات في المثلث القائم

حساب زوايا وأطوال بتوظيف الجيب أو جيب التمام أو الظل

🔊 المعلّمة تقرأ لك
في المثلث القائم لا تحتاج دائما إلى المسطرة ولا إلى المنقلة: يكفي أن تعرف قيس زاوية حادة وطول ضلع واحد لتحسب طولا آخر، أو أن تعرف طولي ضلعين لتحسب قيس زاوية. فكيف تختار النسبة المثلثية المناسبة، وكيف تستخرج منها الطول المجهول أو قيس الزاوية المجهولة؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • اختيار النسبة المثلثية المناسبة انطلاقا من الضلعين اللذين يتدخلان في المسألة
  • حساب طول ضلع في مثلث قائم علمت زاوية حادة وطول ضلع آخر
  • التمييز بين الحالة التي يكون فيها المجهول في البسط والحالة التي يكون فيها في المقام
  • حساب قيس زاوية حادة في مثلث قائم علم طولا ضلعين من أضلاعه
  • تدوير طول أو قيس زاوية إلى الدقة المطلوبة في نص التمرين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف جيب وجيب تمام وظل زاوية حادة في مثلث قائم
  • تسمية أضلاع المثلث القائم: الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور
  • استعمال الحاسبة العلمية مضبوطة على وحدة الدرجة، ودالتها العكسية
  • حل معادلة بسيطة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
قبل أن تقرأ، ارسم مثلثا قائما وسمّ رؤوسه، ثم اختر إحدى زاويتيه الحادتين ولوّن الضلع المقابل لها والضلع المجاور. كل هذا الدرس يبدأ بهذه القراءة، ولا يبدأ بالحاسبة.

معارف — أي نسبة مثلثية نختار؟

لكل زاوية حادة في مثلث قائم ثلاث نسب مثلثية، وكل واحدة منها تربط ضلعين اثنين فقط: الجيب يربط الضلع المقابل بالوتر، وجيب التمام يربط الضلع المجاور بالوتر، والظل يربط الضلع المقابل بالضلع المجاور. هذا التذكير هو كل ما تحتاجه من الدرس السابق.

جيب الزاوية B: المقابل على الوتر
sin(B) = ACBC
ACطول الضلع المقابل للزاوية B(cm)BCطول الوتر، أي الضلع الذي يواجه الزاوية القائمة(cm)
جيب تمام الزاوية B: المجاور على الوتر
cos(B) = ABBC
ABطول الضلع المجاور للزاوية B(cm)
ظل الزاوية B: المقابل على المجاور
tan(B) = ACAB
ابدأ دائما بهذه القراءة: النسبة المثلثية تُختار من موقع الضلعين، لا من شكل السؤال.

ومن هنا تأتي قاعدة الاختيار، وهي قاعدة واحدة لا غير: انظر إلى الضلعين اللذين يتدخلان في المسألة، أي الضلع المعلوم والضلع المجهول، ثم اقرأ في الجدول النسبة التي تربطهما.

معارف: اختيار النسبة المثلثية
الضلعان اللذان يتدخلانالنسبة المثلثية المناسبة
الضلع المقابل والوترالجيب
الضلع المجاور والوترجيب التمام
الضلع المقابل والضلع المجاورالظل
لا تختر النسبة حسب ترتيب الحروف ولا حسب اسم الضلع في التمرين: الضلع نفسه يكون مقابلا لزاوية ومجاورا للزاوية الأخرى. حدّد الزاوية المدروسة أولا، ثم سمّ الأضلاع بالنسبة إليها.

معارف — الطول المجهول: نضرب أم نقسم؟

متى اخترت النسبة المناسبة، صارت العلاقة مساواة بين عدد تعطيه الحاسبة وحاصل قسمة طولين: أحدهما معلوم والآخر مجهول. وموقع المجهول في هذه القسمة هو الذي يقرر العملية التي تُجرى، ولا شيء غيره.

إذا كان المجهول في البسط: نضرب

الطول المجهول AC فوق خط القسمة: نحرّره بضرب الطول المعلوم BC في النسبة التي تعطيها الحاسبة.

AC = BC × sin(B)
إذا كان المجهول في المقام: نقسم

الطول المجهول BC تحت خط القسمة: نبادل موقعه مع النسبة، فنقسم الطول المعلوم AC على تلك النسبة.

BC = ACsin(B)
قبل أي ضغط على الحاسبة، اكتب العلاقة كاملة ثم اعزل المجهول على الورق. والخطأ الذي يجب أن تحذره ليس في الحاسبة، بل في الضرب مكان القسمة.

معارف — من طولين إلى قيس زاوية

وإذا كان المعلوم طولي ضلعين والمجهول هو الزاوية نفسها، انعكس المسار: نحسب أولا النسبة المثلثية، وهي حاصل قسمة عددي، ثم نعود من هذه النسبة إلى قيس الزاوية بالدالة العكسية للحاسبة التي رأيتها في الدرس السابق.

أولا: النسبة تُحسب من الطولين
sin(B) = ACBC
ثم: الدالة العكسية تعطي قيس الزاوية
B = sin-1(t)
tالنسبة المثلثية المحسوبة من الطولين
استعمل الدالة العكسية الموافقة للنسبة التي حسبتها، لا غيرها: إن حسبت ظلا ثم ضغطت الدالة العكسية للجيب، أعطتك الحاسبة عددا معقول الشكل وخاطئ القيمة تماما.

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نحسب طولا مجهولا وهو في المقام؟

نسمّي الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المعلومة، فنختار النسبة التي تربط الضلع المعلوم بالضلع المجهول، ثم نعوّض في العلاقة. وإذا وجدنا المجهول في المقام، عزلناه بقسمة الطول المعلوم على النسبة.

مثال 1: حساب الوتر باستعمال الجيب

مثلث قائم في A، رؤوسه A و B و C. طول الضلع AC يساوي 2,5 سم، وقيس الزاوية B يساوي 25 درجة.

🎯المطلوب: احسب الطول BC، وأعط مدوره إلى الجزء من 100.

الوتر غير مكتوب على الرسم لأنه هو المطلوب: لا تقس عليه بالمسطرة.
🔹الخطوة 1: اختيار النسبة المثلثية

بالنسبة إلى الزاوية B، الضلع AC يقابلها، والضلع BC هو الوتر. النسبة التي تربط المقابل بالوتر هي الجيب.

sin(B) = ACBC
🔹الخطوة 2: التعويض بالمعطيات

نعوّض بقيس الزاوية وبطول الضلع المعلوم.

sin(25°) = 2,5BC
🔹الخطوة 3: عزل المجهول

المجهول BC في المقام: نقسم الطول المعلوم على النسبة.

BC = 2,5sin(25°)
🔹الخطوة 4: القراءة على الحاسبة

نضبط الحاسبة على وحدة الدرجة، ثم ننفّذ القسمة.

BC ≈ 5,915503958
✅النتيجة: طول الوتر مدورا إلى الجزء من 100
BC ≈ 5,92 cm
راقب معقولية جوابك: الوتر أكبر ضلع في المثلث القائم دائما، و5,92 أكبر فعلا من 2,5. لو وجدت وترا أصغر من ضلع آخر، فقد ضربت مكان أن تقسم.

طريقة 2: كيف نحسب طولا مجهولا وهو في البسط؟

نبدأ بنفس القراءة، لكن المجهول يظهر هذه المرة فوق خط القسمة. عندئذ لا نقسم شيئا: نضرب الطول المعلوم في النسبة المثلثية مباشرة.

مثال 2: حساب ضلع باستعمال جيب التمام

مثلث قائم في S، رؤوسه R و S و T. طول الضلع RT يساوي 3,5 سم، وقيس الزاوية R يساوي 37 درجة.

🎯المطلوب: احسب الطول RS، وأعط مدوره إلى الجزء من 10.

هنا المعلوم هو الوتر، والمجهول ضلع يجاور الزاوية: هذا ما يفرض جيب التمام.
🔹الخطوة 1: اختيار النسبة المثلثية

بالنسبة إلى الزاوية R، الضلع RS يجاورها، والضلع RT هو الوتر. النسبة التي تربط المجاور بالوتر هي جيب التمام.

cos(R) = RSRT
🔹الخطوة 2: التعويض بالمعطيات

نعوّض بقيس الزاوية وبطول الوتر المعلوم.

cos(37°) = RS3,5
🔹الخطوة 3: عزل المجهول

المجهول RS في البسط: نضرب الطول المعلوم في النسبة.

RS = 3,5 × cos(37°)
🔹الخطوة 4: القراءة على الحاسبة

الحاسبة مضبوطة على وحدة الدرجة، ننفّذ الجداء.

RS ≈ 2,795224285
✅النتيجة: طول الضلع مدورا إلى الجزء من 10
RS ≈ 2,8 cm
التدوير مطلوب في نص التمرين نفسه: هنا إلى الجزء من 10، لا إلى الجزء من 100. لا تقرّب إلا في السطر الأخير، وبالدقة التي طُلبت منك.
مثال 3: حساب ضلع باستعمال الظل

مثلث قائم في F، رؤوسه E و F و G. طول الضلع EF يساوي 4,5 سم، وقيس الزاوية E يساوي 53 درجة.

🎯المطلوب: احسب الطول FG، وأعط مدوره إلى الجزء من 100.

الوتر غائب عن هذا الحساب كلّه: هذه هي علامة الظل.
🔹الخطوة 1: اختيار النسبة المثلثية

بالنسبة إلى الزاوية E، الضلع FG يقابلها والضلع EF يجاورها؛ الوتر لا يتدخل. النسبة التي تربط المقابل بالمجاور هي الظل.

tan(E) = FGEF
🔹الخطوة 2: التعويض بالمعطيات

نعوّض بقيس الزاوية وبطول الضلع المجاور المعلوم.

tan(53°) = FG4,5
🔹الخطوة 3: عزل المجهول

المجهول FG في البسط: نضرب الطول المعلوم في النسبة.

FG = 4,5 × tan(53°)
🔹الخطوة 4: القراءة على الحاسبة

الحاسبة مضبوطة على وحدة الدرجة، ننفّذ الجداء.

FG ≈ 5,971701697
✅النتيجة: طول الضلع مدورا إلى الجزء من 100
FG ≈ 5,97 cm
ظل الزاوية قد يتجاوز 1، على خلاف الجيب وجيب التمام. فلا تشك في جوابك لمجرد أن الضلع المحسوب خرج أطول من الضلع المعطى.

طريقة 3: كيف نحسب قيس زاوية علم طولا ضلعين؟

نسمّي الضلعين المعلومين بالنسبة إلى الزاوية المطلوبة، فنعرف أي نسبة يمكن حسابها، ثم نحسبها فعلا: هي حاصل قسمة عددين. وأخيرا نستعمل الدالة العكسية لهذه النسبة بالذات، فنقرأ قيس الزاوية بالدرجة.

مثال 4: حساب قيس زاوية بالجيب

مثلث قائم في N، رؤوسه M و N و P. طول الضلع NP يساوي 2 سم، وطول الضلع MP يساوي 5 سم.

🎯المطلوب: احسب قيس الزاوية M مدورا إلى الوحدة.

الطولان معلومان والزاوية مجهولة: هذا هو المسار المعكوس للدرس.
🔹الخطوة 1: اختيار النسبة المثلثية

بالنسبة إلى الزاوية M، الضلع NP يقابلها والضلع MP هو الوتر: النسبة التي يمكن حسابها من هذين الطولين هي الجيب.

sin(M) = NPMP
🔹الخطوة 2: حساب النسبة

نعوّض بالطولين المعلومين، فنحصل على عدد.

sin(M)=25=0,4
🔹الخطوة 3: العودة إلى الزاوية

النسبة معلومة والزاوية مجهولة: نستعمل الدالة العكسية للجيب.

M = sin-1(0,4)
🔹الخطوة 4: القراءة على الحاسبة

الحاسبة مضبوطة على وحدة الدرجة.

M ≈ 23,57817848
✅النتيجة: قيس الزاوية مدورا إلى الوحدة
M ≈ 24°
تحقق من معقولية النتيجة قبل أن تكتبها: الزاوية حادة، فقيسها بين 0 و90 درجة، وجيبها بين 0 و1. لو خرجت لك زاوية أكبر من 90 درجة فالنسبة التي أدخلتها خاطئة.
مثال 5: حساب قيس زاوية بالظل

مثلث قائم في V، رؤوسه U و V و W. طول الضلع VW يساوي 3 سم، وطول الضلع UV يساوي 10 سم.

🎯المطلوب: احسب قيس الزاوية U مدورا إلى الوحدة.

الوتر ليس من المعطيات هنا: الضلعان المعلومان هما المقابل والمجاور.
🔹الخطوة 1: اختيار النسبة المثلثية

بالنسبة إلى الزاوية U، الضلع VW يقابلها والضلع UV يجاورها، والوتر ليس معلوما: النسبة الوحيدة التي يمكن حسابها هي الظل.

tan(U) = VWUV
🔹الخطوة 2: حساب النسبة

نعوّض بالطولين المعلومين.

tan(U)=310=0,3
🔹الخطوة 3: العودة إلى الزاوية

النسبة معلومة والزاوية مجهولة: نستعمل الدالة العكسية للظل هذه المرة.

U = tan-1(0,3)
🔹الخطوة 4: القراءة على الحاسبة

الحاسبة مضبوطة على وحدة الدرجة.

U ≈ 16,69924423
✅النتيجة: قيس الزاوية مدورا إلى الوحدة
U ≈ 17°
لاحظ الرابط بين الرسم والنتيجة: الضلع المقابل أقصر بكثير من المجاور، فالظل صغير، فالزاوية صغيرة. الرسم يتنبأ بالجواب قبل الحاسبة.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في مسألة المثلّث القائم: «احسب الطول BC مدوّرا إلى 0,1» أو «احسب قيس الزاوية B مدوّرا إلى الدرجة». ثلاثة عناصر جاهزة: ① الاختيار: حدّد الزاوية المدروسة، وسمِّ الأضلاع بالنسبة إليها، ثمّ اختر النسبة التي تربط المعلوم بالمجهول: المقابل والوتر ⟸ الجيب، والمجاور والوتر ⟸ جيب التمام، والمقابل والمجاور ⟸ الظلّ ② الطول: عوّض في العلاقة، فإن كان المجهول في البسط ضربت ⁦(AC = BC × sin B)⁩، وإن كان في المقام قسمت ⁦(BC = AC/sin B)⁩ ③ الزاوية: احسب النسبة من الطولين، ثمّ عُد إلى الزاوية بالدالّة العكسية لتلك النسبة نفسها، والحاسبة على وحدة الدرجة. ⛔ والخطأ الشائع: اختيار النسبة حسب ترتيب الحروف أو اسم الضلع في النصّ ؛ الضلع نفسه مقابل لزاوية ومجاور للأخرى. وخطأ ثانٍ: حساب ظلّ ثمّ الضغط على الدالّة العكسية للجيب، فتعطي الحاسبة عددا معقول الشكل خاطئ القيمة ؛ ولا تقرّب إلّا في السطر الأخير.
خلاصة: في المثلث القائم، ابدأ دائما بتسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية المدروسة، ثم اختر النسبة التي تربط الضلع المعلوم بالضلع المجهول: المقابل والوتر يعطيان الجيب، والمجاور والوتر يعطيان جيب التمام، والمقابل والمجاور يعطيان الظل. لحساب طول: عوّض في العلاقة، فإن كان المجهول في البسط ضربتَ، وإن كان في المقام قسمتَ. ولحساب قيس زاوية: احسب النسبة من الطولين المعلومين، ثم عد منها إلى الزاوية بالدالة العكسية لتلك النسبة، والحاسبة مضبوطة على وحدة الدرجة. وفي كل الحالات، لا تقرّب إلا في السطر الأخير وبالدقة التي طلبها نص التمرين.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net