حل معادلة يؤول حلها الى معادلة جداء معدوم

المعادلة التي يظهر فيها x² ليست من الدرجة الأولى: نقل الحدود لا يخلّصنا من المربع، و القسمة على المعامل لا تفعل شيئا ما دام المجهول موجودا بقوّتين مختلفتين. فلا بد إذن من طريق آخر، و هو الطريق الوحيد الذي تعرفه: خاصية الجداء المعدوم.

الطريق واحد مهما كانت المعادلة: نجعل أحد الطرفين معدوما، ثم نحلّل الطرف الآخر إلى جداء عاملين من الدرجة الأولى، ثم نطبّق خاصية الجداء المعدوم و نستنتج الحلول.

التحليل هو كتابة مجموع على شكل جداء، و لك فيه أداتان تعرفهما من الدروس السابقة: العامل المشترك، و المتطابقات الشهيرة. ابدأ دائما بالبحث عن عامل مشترك، فهو الأسرع، فإن لم تجده فابحث عن متطابقة.

قد يكون العاملان بعد التحليل متساويين، كما في الجداء ⁦(x + 7)(x + 7)⁩. عندئذ تعطي المعادلتان العدد نفسه، فلا يكون للمعادلة إلا حل واحد، و نسميه الحل المضاعف.

ننقل كل حدود الطرف الثاني إلى الطرف الأول بتغيير إشاراتها، ثم نجمع الحدود المتشابهة، ثم نبحث عن العامل المشترك بين الحدود الباقية.

بعد التصفير، نقرأ الحدود الثلاثة: إن كان الطرفان مربّعين تامّين و الحد الأوسط ضعف جداء جذريهما، فالعبارة مربع مجموع أو مربع فرق، و تحليلها سطر واحد.

نبحث عن أكبر عامل مشترك بين الحدود: نأخذ القاسم المشترك الأكبر للأعداد، و أصغر قوة للمجهول موجودة في كل الحدود. و كلما كان العامل المشترك أكبر كان القوس الباقي أبسط.

نصفّر أحد الطرفين، فتصير المعادلة فرق مربعين إذا كان العدد مربعا تامّا، و نحلّلها بالمتطابقة. و انتبه: لهذه المعادلة حلان متعاكسان، لا حل واحد.

العامل المشترك ليس دائما عددا أو حرفا: قد يكون قوسا يتكرّر في الحدين. ابحث عنه قبل أن تنشر، فالنشر في هذه الحالة يطيل الطريق و يخفي العامل المشترك.