الحساب الحرفي › المعادلات و المترجحات من الدرجة الاولى بمجهول واحد
متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
- التعرف على متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد و على أشكالها الأربعة
- حلّ متراجحة بردّها إلى شكل بسيط يظهر فيه المجهول وحده
- معرفة متى تتغيّر جهة المتباينة و لماذا
- تمثيل مجموعة حلول متراجحة على مستقيم مدرج و قراءتها منه
- مقارنة الأعداد الناطقة و استعمال الرموز أصغر و أكبر
- حلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
- تمثيل عدد ناطق على مستقيم مدرج
معارف — ما هي المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد؟
المتباينة هي مقارنة بين عبارتين بأحد الرموز الأربعة: أصغر تماما، أصغر أو يساوي، أكبر تماما، أكبر أو يساوي. فإذا كانت المقارنة تحتوي على مجهول سميت متراجحة، و تكون من الدرجة الأولى بمجهول واحد إذا أمكن ردّها إلى أحد الأشكال الأربعة الآتية.
الأشكال أربعة لأن الرموز أربعة، لكن الطريقة واحدة في الحالات الأربع.
معارف — ماذا يعني حلّ متراجحة؟
حلّ متراجحة هو إيجاد كل القيم الممكنة للمجهول التي تجعل المتباينة صحيحة، و هذه القيم تسمى حلول المتراجحة. و هي ليست قيمة واحدة: هي مجموعة أعداد، لا نهاية لعددها في العادة، و لهذا نكتبها بمتراجحة بسيطة يظهر فيها المجهول وحده في طرف.
كل عدد أصغر من c أو يساويه هو حل، و كل عدد أكبر منه ليس حلا. و العدد c نفسه يدخل في الحلول هنا لأن الرمز هو أصغر أو يساوي.
معارف — القواعد الثلاث لتحويل متراجحة
نحوّل المتراجحة كما نحوّل المعادلة، بشرط أن نعرف ما الذي يحفظ جهة المتباينة و ما الذي يقلبها. و القواعد ثلاث.
إضافة العدد نفسه إلى عددين تزحزحهما معا على المستقيم العددي بالقدر نفسه، فيبقى ترتيبهما على حاله.
الضرب في عدد سالب يقلب مواضع الأعداد حول الصفر، فينقلب معه ترتيبها.
و لنتحقق من القاعدة الثالثة على مثال عددي بسيط، فهي القاعدة التي لا تُصدَّق إلا بالتجربة.
نضرب الطرفين في العدد السالب −5.
لأن (−5) × (−2) = 10 و (−5) × 3 = −15، و العدد 10 أكبر من −15: انقلبت الجهة.
معارف — تمثيل مجموعة الحلول على مستقيم مدرج
مجموعة الحلول لا تُكتب فحسب، بل تُرسم على مستقيم مدرج ليراها التلميذ دفعة واحدة. نعلّم على المستقيم العدد الفاصل، ثم نشطّب بخطوط مائلة الجزء الذي ليس من الحلول، و نضع عند العدد الفاصل قوسا تقول جهته هل هذا العدد نفسه حل: يُفتح نحو الحلول إذا كان حلا، و نحو الجزء المشطّب إذا لم يكن حلا.
- نرسم مستقيما مدرّجا و نعلّم عليه العدد الفاصل
- نضع عند هذا العدد قوسا: يُفتح نحو جهة الحلول إذا كان العدد حلا، و نحو الجزء المشطّب إذا لم يكن حلا
- نشطّب بخطوط مائلة الجزء الذي ليس من الحلول، و نكتب عليه: ليست حلولا للمتراجحة
- نكتب على الجزء الباقي: حلول المتراجحة
و يبقى سؤال أخير: هل العدد الفاصل نفسه حل؟ الجواب في رمز المتراجحة، و الرسم ينقله بجهة القوس: إذا كان الرمز أصغر أو يساوي، أو أكبر أو يساوي، فالعدد الفاصل حل و يُؤخذ مع المجموعة، و يُفتح القوس نحو الحلول؛ و إذا كان أصغر تماما أو أكبر تماما فليس حلا، و يُفتح القوس نحو الجزء المشطّب.
| المتراجحة | مجموعة حلولها | العدد الفاصل |
|---|---|---|
| x < c | كل الأعداد الأصغر منه تماما | ليس حلا |
| x ≤ c | كل الأعداد الأصغر منه أو تساويه | حل |
| x > c | كل الأعداد الأكبر منه تماما | ليس حلا |
| x ≥ c | كل الأعداد الأكبر منه أو تساويه | حل |
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتحقق من أن عددا حل لمتراجحة؟
نعوّض المجهول بالعدد المعطى، ثم نحسب الطرفين، ثم ننظر: إن كانت المتباينة صحيحة فالعدد حل، و إن كانت خاطئة فليس حلا.
المتراجحة المعطاة هي 3x ≤ 5، و العددان المقترحان هما 1 و 3.
🎯المطلوب: تحقّق من أن العدد 1 حل للمتراجحة، ثم بيّن أن العدد 3 ليس حلا لها
نعوّض x بالعدد 1 و نحسب الطرف الأول.
نقارن بالطرف الثاني: العدد 3 أصغر من 5، فالمتباينة صحيحة.
نعيد العمل نفسه بالعدد 3.
العدد 9 أكبر من 5، فالمتباينة خاطئة هذه المرة.
طريقة 2: كيف نحلّ متراجحة معاملها موجب؟
ننشر ما يجب نشره، ثم نجمع حدود المجهول في طرف و الأعداد في الطرف الآخر بنقل الحدود، ثم نقسم على المعامل. و ما دام المعامل موجبا فالجهة لا تتغيّر في أي خطوة.
🎯المطلوب: حلّ المتراجحة 3(2x − 1) ≤ 3x + 2 ثم اكتب مجموعة حلولها
ننشر الجداء في الطرف الأول بالتوزيعية.
ننقل 3x إلى الطرف الأول و −3 إلى الطرف الثاني. الجمع و الطرح لا يغيّران الجهة.
نجمع الحدود المتشابهة في كل طرف.
نقسم الطرفين على 3، و هو عدد موجب، فالجهة تبقى كما هي.
طريقة 3: كيف نحلّ متراجحة فيها مقام أو معامل سالب؟
نتخلّص من المقام بالضرب في عدد موجب، فالجهة لا تتغيّر. ثم نجمع حدود المجهول في طرف. و إذا وجدنا في النهاية معاملا سالبا قسمنا عليه و قلبنا الجهة.
🎯المطلوب: حلّ المتراجحة التي طرفها الأول (4 − x)/5 و طرفها الثاني x
نضرب طرفي المتراجحة في 5 للتخلص من المقام، و 5 عدد موجب فالجهة لا تتغيّر.
ننقل 5x إلى الطرف الأول فيصير −5x، و ننقل 4 إلى الطرف الثاني فيصير −4.
نجمع الحدين المتشابهين: −1 − 5 = −6.
نقسم الطرفين على −6، و هو عدد سالب: نقلب جهة المتباينة.
نبسّط النسبة: قسمة عدد سالب على عدد سالب موجبة، ثم نختزل على 2.
طريقة 4: كيف نحلّ متراجحة معاملها سالب من البداية؟
لا شيء جديد: نقسم على المعامل و نقلب الجهة. و لمن يخشى النسيان طريق ثان، ننقل فيه الحدود حتى يصير معامل المجهول موجبا، فلا نحتاج إلى أي قلب.
🎯المطلوب: حلّ المتراجحة −2x > 6 ثم تحقّق من مجموعة الحلول بعدد واحد
نقرأ المعامل: هو −2، و هو عدد سالب.
نقسم الطرفين على −2، و نقلب جهة المتباينة لأن القاسم سالب.
نتحقق بعدد من المجموعة قبل أن نكتب الجواب: العدد −4 أصغر من −3، و بتعويضه في المتراجحة الأولى نجد عددا أكبر من 6، فهي صحيحة.
نحسب النسبة: قسمة عدد موجب على عدد سالب سالبة.
طريقة 5: كيف نمثّل مجموعة الحلول على مستقيم مدرج؟
نعلّم العدد الفاصل، ثم نسأل عن جهة الحلول من رمز المتراجحة، ثم نشطّب الجهة الأخرى. و العدد الفاصل يدخل في الحلول أو لا يدخل حسب الرمز، و القوس يقول ذلك: يُفتح نحو الحلول إذا دخل، و نحو الجزء المشطّب إذا لم يدخل.
المتراجحتان المعطاتان هما x > 2 و x ≤ 1، و مجموعة حلول كل واحدة منهما مكتوبة بالفعل: المطلوب رسمها.
🎯المطلوب: مثّل على مستقيم مدرّج مجموعتي حلول المتراجحتين x > 2 و x ≤ 1
العدد الفاصل في المتراجحة الأولى هو 2، و الرمز أكبر تماما: الحلول على يمين 2، و العدد 2 نفسه ليس حلا.
نشطّب كل ما على يسار 2 و نكتب عليه: ليست حلولا للمتراجحة، ثم نوجّه القوس عند 2 نحو اليسار، نحو الجزء المشطّب، لأنّ 2 نفسه ليس حلا.
العدد الفاصل في المتراجحة الثانية هو 1، و الرمز أصغر أو يساوي: الحلول على يسار 1، و العدد 1 نفسه حل، فيدخل في المجموعة: نشطّب ما على يمين 1، و نوجّه القوس عند 1 نحو اليسار، نحو الحلول.
نتحقق بعددين: العدد 5 يقع على يمين 2 فهو حل للأولى، و العدد 0 يقع على يسار 1 فهو حل للثانية.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net