الحساب الحرفي › المعادلات و المترجحات من الدرجة الاولى بمجهول واحد
ترييض مسألة ( مشكل )
- معرفة معنى ترييض مسألة، وأنّه ترجمة من لغة الكلام إلى لغة الرياضيات
- اختيار المجهول المناسب وتسميته بحرف قبل كتابة أيّ سطر
- ترجمة معطيات نصّ إلى معادلة أو إلى متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
- حلّ المعادلة أو المتراجحة والعودة بالنتيجة إلى نصّ المسألة للتحقّق منها
- حلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
- نشر عبارة حرفية وتبسيطها
- معنى الرمزين ≤ و ≥ وترتيب عددين
معارف — ما معنى ترييض مسألة؟
ترييض مسألة هو تحويلها من الأسلوب اللغوي إلى الأسلوب الرياضي: نأخذ نصّا مكتوبا بالكلمات، ونستبدل بكلّ جملة فيه كتابة رياضية تحمل نفس المعنى. المسألة لا تتغيّر، وإنّما تتغيّر اللغة التي كُتبت بها، فتصير قابلة للحساب.
وأغلب الجمل التي تلقاها في نصوص المسائل تتكرّر، ولكلّ واحدة ترجمة واحدة ثابتة. احفظ هذا الجدول: هو قاموسك بين اللغتين.
| العبارة بالكلمات | الكتابة الرياضية |
|---|---|
| مجموع العدد x والعدد 5 | x + 5 |
| ضعف العدد x | 2x |
| ثلث العدد x | x3 |
| العدد x بعد 3 سنوات | x + 3 |
| العدد x على الأكثر 20 | x ≤ 20 |
| العدد x على الأقلّ 20 | x ≥ 20 |
معارف — اختيار المجهول وكتابة المعادلة
الترييض يبدأ دائما بخطوة واحدة: نسمّي ما نبحث عنه. نختار حرفا، وليكن x، ونقول بوضوح ما الذي يمثّله هذا الحرف. هذه الجملة القصيرة هي التي تسمح لنا بترجمة باقي النصّ، لأنّ كلّ عبارة أخرى ستُكتب بدلالة x.
ثمّ نترجم المعطيات جملة جملة، فنحصل على مساواة بين طرفين: هذه المساواة هي معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد، أي أنّ المجهول فيها مرفوع إلى القوّة الأولى فقط، وأنّها تحتوي على مجهول واحد لا غير.
معارف — حين تقول المسألة « على الأكثر » أو « على الأقلّ »
ليست كلّ مسألة تنتهي بمساواة. إذا قال النصّ « لا يتجاوز » أو « على الأكثر »، فهو لا يعطي قيمة واحدة بل يضع حدّا أعلى؛ وإذا قال « على الأقلّ » فهو يضع حدّا أدنى. في الحالتين نكتب متراجحة بدل المعادلة، ونحلّها بنفس الخطوات.
معارف — العودة إلى نصّ المسألة
حلّ المعادلة يعطيك عددا، لا جوابا. الجواب لا يكتمل إلّا إذا عدت بهذا العدد إلى النصّ الأوّل: تعوّضه في المعطيات، وتتحقّق أنّ كلّ جملة من النصّ صارت صحيحة، ثمّ تكتب الجواب بالكلمات، بنفس اللغة التي طُرح بها السؤال.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نترجم جملة من النصّ إلى كتابة رياضية؟
اقرأ الجملة إلى آخرها قبل أن تكتب، ثمّ ابحث فيها عن الكلمة التي تدلّ على العملية (مجموع، ضعف، ثلث، بعد، ينقص). هذه الكلمة وحدها هي التي تختار لك العملية، وليس ترتيب الأعداد في الجملة.
عمر أب هو 42 سنة، وعمر ابنه 12 سنة.
🎯المطلوب: احسب عمر كلّ واحد منهما بعد 3 سنوات، ثمّ تحقّق هل يصير عمر الابن ثلث عمر أبيه.
عبارة « بعد ثلاث سنوات » تعني إضافة 3 إلى العمر، والعمران يكبران معا بنفس المقدار.
ونترجم نفس العبارة على عمر الابن، بنفس الإضافة.
عبارة « ثلث عمر الأب » تعني قسمة عمر الأب على 3، فنحسب هذا الثلث.
العددان متساويان، فالجواب عن السؤال هو نعم.
طريقة 2: كيف نريّض مسألة ونحلّها؟
خمس خطوات، دائما بنفس الترتيب. لا تقفز واحدة منها، وخاصّة الأولى والأخيرة.
- نسمّي المجهول بحرف ونقول بوضوح ما الذي يمثّله
- نكتب المعطيات الأخرى بدلالة هذا الحرف
- نترجم الجملة التي تربط بينها إلى معادلة
- نحلّ المعادلة
- نعود بالحلّ إلى نصّ المسألة، ونتحقّق، ونكتب الجواب بالكلمات
نبقى مع الأب الذي عمره 42 سنة وابنه الذي عمره 12 سنة.
🎯المطلوب: أوجد بعد كم سنة يصير عمر الأب ضعف عمر الابن، ثمّ احسب عمر كلّ واحد منهما في تلك السنة.
المسألة تبحث عن عدد السنوات، فهو المجهول، ونسمّيه x.
بعد x سنة يزيد كلّ عمر بنفس المقدار x، فنكتب العمرين بدلالة x.
« ضعف » تعني الضرب في 2: عمر الأب يساوي مرّتين عمر الابن، وهذه هي الجملة التي تربط العمرين، فنكتبها معادلة.
ننشر الطرف الأيمن بضرب 2 في كلّ حدّ داخل القوسين.
نجمع الأعداد في طرف والحدود التي فيها المجهول في الطرف الآخر.
نحسب كلّ طرف على حدة فنحصل على قيمة المجهول.
نعوّض x بقيمته في العمرين المكتوبين في الخطوة 2.
طريقة 3: كيف نريّض مسألة تؤدّي إلى متراجحة؟
نفس الخطوات الخمس، والفرق الوحيد في الخطوة الثالثة: بدل علامة التساوي نكتب ≤ أو ≥ حسب كلمة النصّ. وفي الخطوة الأخيرة نختار من مجموعة الحلول العدد الذي تقبله المسألة.
مع سمير 1000 دج. اشترى حقيبة بـ 610 دج، ويريد أن يشتري بالباقي دفاتر ثمن الدفتر الواحد 45 دج.
🎯المطلوب: احسب أكبر عدد من الدفاتر يمكن لسمير أن يشتريه.
المسألة تبحث عن عدد الدفاتر، فهو المجهول.
ثمن x دفترا هو 45 مضروبا في x، ونضيف إليه ثمن الحقيبة لنحصل على المصروف كلّه.
عبارة « ما معه » تضع حدّا أعلى لا يجوز تجاوزه، فنكتب ≤ ولا نكتب علامة التساوي.
ننقص ثمن الحقيبة من الطرفين لنعزل الحدّ الذي فيه المجهول.
نقسم الطرفين على 45، وهو عدد موجب، فلا يتغيّر اتّجاه المتراجحة.
وهذا الكسر يساوي تقريبا 8,67 ؛ وعدد الدفاتر عدد طبيعي، فأكبر عدد يقبله هو 8.
طريقة 4: كيف نتحقّق من نتيجة مسألة هندسية؟
في المسائل الهندسية ارسم الشكل أوّلا واكتب عليه المجهول، ثمّ ترجم المعطى الذي يربط بين أبعاده. وفي النهاية أعد حساب المعطى الأصلي بالأبعاد التي وجدتها: إن أعطاك نفس العدد فحلّك صحيح.
مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 4 سم، ومحيطه 36 سم.
🎯المطلوب: احسب عرض المستطيل وطوله، ثمّ تحقّق من صحّة ما وجدت.
المسألة تبحث عن بعدين، ونختار أصغرهما مجهولا لأنّ النصّ يعبّر عن الطول بدلالة العرض.
« يزيد عن عرضه بـ 4 » تعني إضافة 4 إلى العرض.
محيط المستطيل هو ضعف مجموع الطول والعرض، والمحيط معلوم، فنكتب المعادلة.
نجمع الحدود المتشابهة داخل القوسين ثمّ ننشر.
ننقص 8 من الطرفين.
نقسم الطرفين على 4.
نعوّض في العبارة التي كتبناها في الخطوة 2 لنحصل على الطول.
نعود إلى المعطى الأصلي ونعيد حساب المحيط بالبعدين اللذين وجدناهما.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net