مدرستي
الرياضيات

الأشعة والانسحاب والمعلم الاشعة والانسحاب

تساوي شعاعين

🔊 المعلّمة تقرأ لك
رسمتَ سهمين في مكانين مختلفين من الورقة: لهما نفس الميل، ونفس الجهة، ونفس الطول. هما سهمان اثنان في الرسم، ولكنّهما يحملان نفس المعلومة تماما. فبأيّ شرط نقول إنّ شعاعين متساويان، وكيف نتحقّق من ذلك دون أن نقيس؟
🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • ذكر الشروط الثلاثة لتساوي شعاعين: نفس المنحى ونفس الاتّجاه ونفس الطول
  • الربط بين تساوي شعاعين وكون رباعي متوازي أضلاع، في الاتّجاهين
  • استعمال تساوي شعاعين لإثبات أنّ لقطعتين نفس المنتصف
  • التعرّف على منتصف قطعة انطلاقا من تساوي شعاعين
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • معنى شعاع وعناصره الثلاثة: المنحى والاتّجاه والطول
  • تعريف متوازي الأضلاع وخواصّه
  • معنى منتصف قطعة مستقيمة
في هذا الدرس ترتيب الحروف هو كلّ شيء. اكتب أسماء الرباعيات ببطء، وتحقّق من كلّ حرف قبل أن تنتقل إلى السطر التالي.

معارف — متى نقول إنّ شعاعين متساويان؟

الشعاعان المتساويان هما شعاعان لهما نفس المنحى، ونفس الاتّجاه، ونفس الطول. الشروط الثلاثة معا، لا اثنان منها: فشعاعان على مستقيمين متوازيين وبنفس الطول قد يكونان متعاكسي الاتّجاه، وحينئذ لا يتساويان.

التعريف: تساوي شعاعين هو تحقّق الشروط الثلاثة معا
AB = CD
ABالشعاع الذي مبدؤه A ونهايته BCDالشعاع الذي مبدؤه C ونهايته D
سهمان في مكانين مختلفين، ومعلومة واحدة: هذا هو معنى تساوي شعاعين.
التساوي في الشعاعين ليس تساويا في الطول فقط. إن قال لك التمرين إنّ ⁦AB = CD⁩ فهو يتكلّم عن طولين، وليس عن شعاعين؛ ولا يكفي هذا وحده لتكتب ⁦AB = CD⁩.

معارف — التساوي ومتوازي الأضلاع

لتكن A و B و C و D أربع نقط من المستوي، والنقطتان C و D لا تنتميان إلى المستقيم ⁦(AB)⁩. عندئذ تساوي الشعاعين AB و CD يعني أنّ الرباعي ABDC متوازي أضلاع. وانتبه إلى ترتيب الحروف في اسم الرباعي: A ثمّ B ثمّ D ثمّ C.

الخاصّية 1: تساوي الشعاعين يعني أنّ الرباعي ABDC متوازي أضلاع
AB = CD
اقرأ اسم الرباعي على الرسم في اتّجاه واحد: A ثمّ B ثمّ D ثمّ C.

والعكس صحيح أيضا، وهو الاستعمال الأكثر تكرارا في التمارين: إذا عُلم أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع، فإنّ شعاع ضلعه ⁦[AB]⁩ يساوي شعاع الضلع المقابل مأخوذا من D إلى C.

الخاصّية 2: في متوازي الأضلاع ABCD
AB = DC
DCالشعاع الذي مبدؤه D ونهايته C
لتتذكّر الخاصّية 2 دون حفظ: در على الرباعي في اتّجاه واحد، A ثمّ B ثمّ C ثمّ D. الشعاعان المتساويان هما اللذان يسيران في نفس الجهة، أي AB و DC، وليس AB و CD.

معارف — التساوي والمنتصف المشترك

لتكن A و B و C و D أربع نقط من المستوي. تساوي الشعاعين AB و CD يعني أنّ للقطعتين ⁦[AD]⁩ و ⁦[BC]⁩ نفس المنتصف. وهذه صياغة أخرى للخاصّية السابقة: القطعتان ⁦[AD]⁩ و ⁦[BC]⁩ هما قطرا الرباعي ABDC، وقطرا متوازي الأضلاع متناصفان.

الخاصّية 3: النقطة I منتصف ⁦[AD]⁩ ومنتصف ⁦[BC]⁩ في آن واحد
AI = ID , BI = IC
Iالمنتصف المشترك للقطعتين ⁦[AD]⁩ و ⁦[BC]⁩
هذه الخاصّية هي أقصر طريق لإثبات أنّ نقطة هي منتصف قطعة: يكفي أن تجد تساوي شعاعين، دون أن تقيس شيئا.

معارف — حالة خاصّة: منتصف قطعة

لتكن A و B نقطتين مختلفتين، و M نقطة من المستوي. إذا كان الشعاع AM يساوي الشعاع MB، فالنقط الثلاث في استقامية لأنّ للشعاعين نفس المنحى، والمسافتان AM و MB متساويتان لأنّ لهما نفس الطول: إذن M هي منتصف القطعة ⁦[AB]⁩. والعكس صحيح.

الخاصّية 4: M منتصف القطعة ⁦[AB]⁩
AM = MB
Mمنتصف القطعة ⁦[AB]⁩AMالشعاع الذي مبدؤه A ونهايته M
انتبه إلى مبدأ كلّ شعاع: النقطة M نهاية للشعاع الأوّل ومبدأ للشعاع الثاني. ولو كتبت الشعاعين بنفس المبدأ M لصار الطرفان A و B نقطة واحدة، وهذا مستحيل ما دامتا مختلفتين.

طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله

طريقة 1: كيف نتحقّق من تساوي شعاعين؟

تحقّق من الشروط الثلاثة واحدا واحدا، وبنفس الترتيب دائما: المنحى (هل المستقيمان متوازيان؟)، ثمّ الاتّجاه (هل الجهتان واحدة؟)، ثمّ الطول. ولا تعلن التساوي قبل أن تكتب الثلاثة.

مثال 1: التحقّق من الشروط الثلاثة

A و B و C و D أربع نقط بحيث المستقيمان ⁦(AB)⁩ و ⁦(CD)⁩ متوازيان، والجهة من A إلى B هي نفسها الجهة من C إلى D، و ⁦AB = 4⁩ سم و ⁦CD = 4⁩ سم.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الشعاعين AB و CD متساويان، ثمّ أجب: هل ⁦AB = DC⁩ ؟

🔹الخطوة 1: الشرط الأوّل، المنحى

منحى الشعاع هو منحى المستقيم الذي يحمله، والمستقيمان متوازيان بالمعطى.

(AB) ∥ (CD)
🔹الخطوة 2: الشرط الثاني، الاتّجاه

والمعطى ينصّ صراحة على أنّ الجهتين واحدة.

A ⟶ B , C ⟶ D
🔹الخطوة 3: الشرط الثالث، الطول

وطولا القطعتين متساويان.

AB=CD=4 cm
🔹الخطوة 4: حالة الشعاع DC

الشعاع DC له نفس المنحى ونفس الطول، لكنّ اتّجاهه من D إلى C، أي عكس اتّجاه AB، فالشرط الثاني غير متحقّق.

AB ≠ DC
✅النتيجة: التساوي يتحقّق مع CD ولا يتحقّق مع DC

الشروط الثلاثة متحقّقة مع CD وحده.

AB = CD
حين يعطيك التمرين توازيا وطولين متساويين، لا تستنتج التساوي مباشرة: ابحث أوّلا عن الجهة. هذا هو الشرط الذي يسقط أكثر من غيره.

طريقة 2: كيف نستخرج أشعة متساوية من متوازي أضلاع؟

در على الرباعي في اتّجاه واحد واكتب رؤوسه بالترتيب. ثمّ خذ ضلعين متقابلين، واكتب شعاعيهما بحيث يسيران في نفس الجهة: هما المتساويان.

مثال 2: أشعة متساوية في متوازي أضلاع

ABCD متوازي أضلاع، فيه ⁦AB = 6⁩ سم و ⁦AD = 4⁩ سم.

🎯المطلوب: اكتب زوجين من الأشعة المتساوية بين أشعة أضلاعه، ثمّ احسب طول الشعاع DC.

🔹الخطوة 1: الزوج الأوّل من الأشعة

نطبّق الخاصّية 2 على الضلعين ⁦[AB]⁩ و ⁦[DC]⁩: الشعاعان اللذان يسيران في نفس الجهة متساويان.

AB = DC
🔹الخطوة 2: الزوج الثاني من الأشعة

ونطبّقها على الضلعين الآخرين بنفس القراءة.

AD = BC
🔹الخطوة 3: طول الشعاع DC

الشعاعان AB و DC متساويان، فلهما نفس الطول، وطول AB معطى.

DC=AB=6 cm
✅النتيجة: الأشعة المتساوية وطول الشعاع DC

زوجان من الأشعة المتساوية، وطول واحد استُنتج دون قياس.

AB = DC , AD = BC , DC = 6 cm
لم نستعمل المسطرة ولا مرّة: كلّ ما فعلناه هو قراءة اسم الرباعي بالترتيب الصحيح. هذا هو الربح الحقيقي من هذا الدرس.

طريقة 3: كيف نثبت أنّ نقطة هي منتصف قطعة؟

ابحث في المعطيات عن تساوي شعاعين. إن وجدته، فالقطعتان اللتان تربطان مبدأ كلّ شعاع بنهاية الآخر لهما نفس المنتصف، وهذا يكفي.

مثال 3: المنتصف المشترك لقطعتين

A و B و C و D أربع نقط بحيث ⁦AB = CD⁩ و ⁦AD = 7⁩ سم. والنقطة O هي منتصف القطعة ⁦[AD]⁩.

🎯المطلوب: احسب OA و OD، ثمّ بيّن أنّ O هي أيضا منتصف القطعة ⁦[BC]⁩.

🔹الخطوة 1: حساب نصفي القطعة ⁦[AD]⁩

O منتصف ⁦[AD]⁩، فهي تقسمها إلى قطعتين متقايستين، وطول ⁦[AD]⁩ هو 7 سم.

OA=OD=72=3,5 cm
🔹الخطوة 2: القطعتان اللتان لهما نفس المنتصف

نطبّق الخاصّية 3 على التساوي المعطى: للقطعتين ⁦[AD]⁩ و ⁦[BC]⁩ نفس المنتصف.

[AD] , [BC]
🔹الخطوة 3: المنتصف المشترك

ومنتصف ⁦[AD]⁩ هو O بالمعطى، فمنتصف ⁦[BC]⁩ هو النقطة O نفسها.

BO = OC
✅النتيجة: ⁦OA = OD = 3,5⁩ سم، و O منتصف ⁦[BC]⁩

النقطة O منتصف للقطعتين معا، وهذا ما كان مطلوبا.

OA = OD = 3,5 cm , BO = OC
القطعتان ⁦[AD]⁩ و ⁦[BC]⁩ هما قطرا الرباعي ABDC. فما أثبتناه هو خاصّية تعرفها من قبل: قطرا متوازي الأضلاع متناصفان.

طريقة 4: كيف نقرأ منتصف قطعة على تساوي شعاعين؟

إذا رأيت في التمرين شعاعين تكون نهاية الأوّل هي مبدأ الثاني، ورأيتهما متساويين، فالنقطة المشتركة بينهما هي منتصف القطعة التي طرفاها المبدأ الأوّل والنهاية الثانية.

مثال 4: منتصف قطعة انطلاقا من تساوي شعاعين

A و B نقطتان بحيث ⁦AB = 9⁩ سم، و M نقطة من المستوي تحقّق ⁦AM = MB⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ M هي منتصف القطعة ⁦[AB]⁩، ثمّ احسب AM و MB.

🔹الخطوة 1: النقط الثلاث في استقامية

للشعاعين نفس المنحى، فهما محمولان على مستقيمين متوازيين يشتركان في النقطة M، أي على مستقيم واحد: النقط الثلاث في استقامية. ولهما نفس الاتّجاه، فالنقطة M تقع بين A و B، أي على القطعة ⁦[AB]⁩.

M ∈ [AB]
🔹الخطوة 2: تساوي المسافتين

وللشعاعين نفس الطول، فالمسافتان من M إلى كلّ طرف متساويتان.

AM = MB
🔹الخطوة 3: حساب نصف الطول

نقطة من القطعة تبعد عن طرفيها بنفس المسافة هي منتصفها، فنقسم الطول على 2.

AM=MB=92
✅النتيجة: M منتصف ⁦[AB]⁩ و ⁦AM = MB = 4,5⁩ سم

وقسمة 9 على 2 تعطي 4,5.

AM=MB=4,5 cm
اقرأ الكتابة ⁦AM = MB⁩ بصوت مرتفع: « من A إلى M مثل من M إلى B ». هذه الجملة وحدها ترسم لك المنتصف في ذهنك. وانتبه: لو أعطاك التمرين الطولين متساويين فقط، أي ⁦AM = MB⁩، لما كفى ذلك لإثبات أنّ M منتصف ⁦[AB]⁩، لأنّ M قد تكون خارج المستقيم ⁦(AB)⁩ وتبعد عن الطرفين بنفس المسافة. تساوي الشعاعين هو الذي يضمن الاستقامية.
🎓 نحو شهادة التّعليم المتوسّط. يأتي هذا الدرس في سؤال «بيّن أنّ ⁦AB = DC⁩»، أو «استنتج أنّ الرباعي متوازي أضلاع»، أو «بيّن أنّ M منتصف القطعة ⁦[AB]⁩». ثلاثة عناصر جاهزة: ① الشروط الثلاثة معا: المستقيم نفسه أو مستقيمان متوازيان، والسير نفسه، والطول نفسه ② متوازي الأضلاع: ⁦AB = CD⁩ يعني أنّ الرباعي ABDC متوازي أضلاع، وأنّ للقطعتين ⁦[AD]⁩ و ⁦[BC]⁩ نفس المنتصف ؛ وبالعكس، إذا كان ABCD متوازي أضلاع فإنّ ⁦AB = DC⁩ ③ المنتصف: ⁦AM = MB⁩ يعني أنّ M منتصف ⁦[AB]⁩، فهي نهاية الشعاع الأوّل ومبدأ الثاني. ⛔ والخطأ الشائع: الاكتفاء بتساوي الطولين ؛ ⁦AB = CD⁩ كلام عن طولين لا عن شعاعين، ولا يكفي وحده لكتابة ⁦AB = CD⁩. وخطأ ثانٍ: الخطأ في ترتيب رؤوس متوازي الأضلاع ؛ من ⁦AB = CD⁩ يكون الرباعي ABDC لا ABCD.
خلاصة: شعاعان متساويان إذا كان لهما نفس المنحى ونفس الاتّجاه ونفس الطول، والشروط الثلاثة معا. وللتساوي ⁦AB = CD⁩ ثلاث قراءات تستعملها في التمارين: الرباعي ABDC متوازي أضلاع، وللقطعتين ⁦[AD]⁩ و ⁦[BC]⁩ نفس المنتصف. وبالعكس، إذا كان ABCD متوازي أضلاع فإنّ ⁦AB = DC⁩. وأخيرا، تساوي الشعاعين AM و MB يعني أنّ M هي منتصف القطعة ⁦[AB]⁩.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net