الأشعة والانسحاب والمعلم › المعالم
حساب المسافة بين نقطتين
- بناء المثلث القائم الذي يربط نقطتين في معلم
- حساب المسافة بين نقطتين في معلم متعامد ومتجانس
- استعمال المسافة لتحديد طبيعة مثلث معلوم الرؤوس
- حساب المسافة في حالة قطعة أفقيّة أو عموديّة دون دستور
- معرفة موضع نقطة من دائرة بمقارنة مسافتها بالمركز مع نصف القطر
- نظريّة فيثاغورس في مثلث قائم، وحساب مربّع عدد
- حساب الجذر التربيعي لعدد موجب وقيمته المقرّبة
- تعيين نقطة في معلم بمعرفة فاصلتها وترتيبها
الجواب أنّ كلّ قطعة مائلة في المعلم هي وتر مثلث قائم لا نراه: ضلعاه القائمان أفقي وعمودي، وطولاهما يُقرآن مباشرة من الإحداثيات. فما إن نرسم هذا المثلث حتّى تصير نظريّة فيثاغورس هي التي تحسب المسافة.
معارف — المثلث القائم المختبئ بين نقطتين
لتكن نقطتان في معلم. نرسم من الأولى خطّا أفقيّا ومن الثانية خطّا عموديّا، فيلتقيان في نقطة ثالثة تكون عندها الزاوية قائمة. وهكذا نحصل على مثلث قائم وتره هو القطعة التي تصل بين النقطتين، وضلعاه القائمان أفقي وعمودي. طول الضلع الأفقي هو الفرق بين الفاصلتين، وطول الضلع العمودي هو الفرق بين الترتيبين.
معارف — دستور المسافة بين نقطتين
إذا عوّضنا في نظريّة فيثاغورس طولي الضلعين القائمين بفرق الفاصلتين وفرق الترتيبين، حصلنا على مربّع المسافة. والمسافة نفسها هي الجذر التربيعي لهذا المربّع، لأنّ الطول عدد موجب دائما.
معارف — ما تخبرك به المسافة
المسافة عدد موجب أو معدوم، ولا تكون معدومة إلّا إذا انطبقت النقطتان. وهي لا تتغيّر بتبديل النقطتين. وإذا كانت إحدى النقطتين هي مبدأ المعلم، بسط الدستور: يكفي جمع مربّعي إحداثيي النقطة الأخرى ثمّ أخذ الجذر.
إحداثيا المبدأ معدومان معا، فيصير كلّ فرق هو الإحداثيّ نفسه.
معارف — القطعة الأفقيّة والقطعة العموديّة
إذا كان للنقطتين الترتيب نفسه كانت القطعة أفقيّة، والمسافة هي الفرق بين الفاصلتين مأخوذا موجبا. وإذا كان لهما الفاصلة نفسها كانت القطعة عموديّة، والمسافة هي الفرق بين الترتيبين مأخوذا موجبا. لا حاجة هنا إلى مربّعات ولا إلى جذر: المثلث القائم ينعدم أحد ضلعيه.
الفاصلتان متساويتان، ففرقهما معدوم ولا يبقى تحت الجذر إلّا مربّع فرق الترتيبين، وجذر مربّع عدد هو قيمته المطلقة.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نحسب المسافة بين نقطتين؟
اكتب الدستور، ثمّ احسب الفرقين قبل أن ترفعهما إلى المربّع، ثمّ اجمع، ثمّ خذ الجذر. واترك الجواب على شكل جذر إن لم يكن العدد مربّعا كاملا، وأعطِ قيمة مقرّبة بعده.
في معلم متعامد ومتجانس، أُعطيت النقطتان A و B بإحداثيّيهما.
🎯المطلوب: احسب المسافة بين النقطتين A و B، ثمّ أعط قيمة مقرّبة لها إلى الجزء من المائة.
نكتب الدستور قبل التعويض: المسافة هي جذر مجموع مربّعي الفرقين.
نعوّض إحداثيي النقطتين، وننتبه إلى طرح العدد السالب.
نحسب الفرقين داخل القوسين قبل رفعهما إلى المربّع.
نرفع كلّ فرق إلى المربّع؛ ومربّع عدد سالب موجب.
العدد 34 ليس مربّعا كاملا، فنترك الجواب على شكل جذر ونعطي قيمة مقرّبة.
طريقة 2: كيف نحدّد طبيعة مثلث بمعرفة رؤوسه؟
احسب مربّعات الأطوال الثلاثة، لا الأطوال نفسها: المقارنة بين مربّعين أسهل وأدقّ من المقارنة بين جذرين. ثمّ قارنها مثنى مثنى لتعرف إن كان متساوي الساقين، واختبر نظريّة فيثاغورس العكسية على الضلع الأكبر لتعرف إن كان قائما.
في المعلم نفسه، أُخذت النقط الثلاث A و B و C رؤوسا لمثلث.
🎯المطلوب: حدّد طبيعة المثلث ABC، وبيّن هل هو قائم أم لا.
نحسب مربّع الطول الأوّل بتعويض الفرقين ثمّ رفعهما إلى المربّع.
ثمّ مربّع الطول الثاني بالطريقة نفسها.
ثمّ مربّع الطول الثالث؛ وللنقطتين هنا الفاصلة نفسها، فالفرق الأوّل معدوم.
نقارن المربّعين الأوّلين: هما متساويان، ولمّا كانت الأطوال موجبة تساوى الطولان.
الضلع الأكبر هو AC، فنختبر عليه نظريّة فيثاغورس العكسيّة.
طريقة 3: كيف نحسب المسافة إذا كانت القطعة أفقيّة أو عموديّة؟
انظر إلى الإحداثيات قبل أن تكتب الدستور: إن تساوت الفاصلتان فالقطعة عموديّة، وإن تساوى الترتيبان فهي أفقيّة. في الحالتين يكفي طرح واحد، ويُؤخذ الفرق موجبا.
نأخذ من المثلث السابق الضلع الذي طرفاه A و C.
🎯المطلوب: احسب المسافة بين A و C بطريقتين مختلفتين، ثمّ قارن بين الجوابين.
نلاحظ أوّلا أنّ للنقطتين الفاصلة نفسها، فالقطعة عموديّة.
الطريقة الأولى: نطرح الترتيبين ونأخذ الفرق موجبا.
الطريقة الثانية: نطبّق الدستور العامّ، وفرق الفاصلتين معدوم.
طريقة 4: كيف نعرف موضع نقطة من دائرة؟
احسب المسافة بين النقطة ومركز الدائرة، ثمّ قارنها بنصف القطر. إن ساوته فالنقطة على الدائرة، وإن كانت أصغر منه فهي داخلها، وإن كانت أكبر فهي خارجها.
في معلم متعامد ومتجانس، رُسمت دائرة مركزها مبدأ المعلم ونصف قطرها 5 وحدات.
🎯المطلوب: بيّن أنّ النقطة P تنتمي إلى الدائرة، ثمّ حدّد موضع النقطة Q منها.
المركز هو مبدأ المعلم، فنستعمل الدستور المبسّط: جذر مجموع مربّعي الإحداثيّين.
العدد 25 مربّع كامل، فجذره عدد صحيح يساوي نصف القطر بالضبط.
نعيد الحساب نفسه على النقطة الثانية.
نقارن هذه المسافة بنصف القطر، ويكفي مقارنة المربّعين لتجنّب الجذر.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net