جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — الدالة الخطية — تطبيقات التناسبية — الدالة التآلفية
معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين
- التعرّف على معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين وتعيين معاملاتها
- التحقّق من أنّ ثنائيّة معطاة هي حلّ لمعادلة أو ليست حلّا لها
- إيجاد عدّة حلول لمعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين
- معرفة أنّ حلول هذه المعادلة تمثّلها نقط مستقيم في معلم
- كتابة جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين والتحقّق من ثنائيّة فيها
- حلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
- التعويض بعدد في عبارة حرفيّة وحساب قيمتها
- تعيين نقطة في معلم بمعرفة فاصلتها وترتيبها
الجواب أنّ مجهولا واحدا لا يكفي: عدد الأقلام من النوع الأوّل ومن النوع الثاني مجهولان معا. فنسمّي الأوّل x والثاني y، ونكتب معادلة تجمع بينهما. مثل هذه المعادلة لا تعطي حلّا واحدا بل ثنائيّات كثيرة، وهذا بالضبط ما يميّزها.
معارف — ما هي معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين
هي كلّ معادلة يمكن كتابتها على شكل مجموع حدّين: حدّ فيه المجهول الأوّل مضروبا في عدد معلوم، وحدّ فيه المجهول الثاني مضروبا في عدد معلوم، ومجموعهما يساوي عددا معلوما. ويُشترط أن يظهر كلّ مجهول بالأسّ واحد ولا يُضرب مجهول في مجهول.
الكتابة « a x » تعني « a مضروبا في x »، وعادة ما تُحذف علامة الضرب بين العدد والحرف. وقد تُكتب المعادلة بحدّها الثابت في الطرف الأيسر، فتُنقل عندئذ إلى الطرف الآخر بتغيير إشارتها دون أن يتغيّر شيء في المعادلة.
معارف — ما هو حلّ المعادلة
حلّ معادلة بمجهولين ليس عددا واحدا بل ثنائيّة: عددان مرتّبان، الأوّل يُعوَّض في المجهول الأوّل والثاني في المجهول الثاني. ونقول إنّ الثنائيّة حلّ إذا صارت المعادلة بعد التعويض مساواة صحيحة. وإن لم تصر كذلك فالثنائيّة ليست حلّا.
معارف — حلول المعادلة غير منتهية
لمعادلة من الدرجة الأولى بمجهولين عدد غير منته من الحلول. والسبب بسيط: نختار للمجهول الأوّل أيّ قيمة نشاء، فتصير المعادلة معادلة بمجهول واحد، ونحلّها فنجد القيمة الموافقة للمجهول الثاني. ولكلّ اختيار ثنائيّة حلّ، والاختيارات لا تنتهي.
معارف — حلول المعادلة تُمثّلها نقط مستقيم
إذا عيّنّا في معلم كلّ ثنائيّة حلّ كنقطة فاصلتها العدد الأوّل وترتيبها العدد الثاني، فإنّ كلّ هذه النقط تقع على مستقيم واحد. ولهذا يكفي جدول قيم صغير: نختار قيمتين للمجهول الأوّل، نحسب الموافقتين للثاني، فنحصل على نقطتين، ونقطتان تكفيان لرسم مستقيم.
| x | 0 | 3 | −3 |
|---|---|---|---|
| y | 2 | −2 | 6 |
نقطة تنتمي إلى هذا المستقيم إذا كانت إحداثيّاها حلّا للمعادلة، والعكس صحيح.
معارف — جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين
عندما يفرض الوضع شرطين اثنين في الوقت نفسه، نكتب معادلتين بالمجهولين نفسيهما، ونطلب ثنائيّة تحقّقهما معا: هذه هي الجملة. وحلّ الجملة ليس حلّا لمعادلة واحدة، بل ثنائيّة مشتركة بين حلول المعادلتين.
وبيانيّا يصير الأمر واضحا: لكلّ معادلة مستقيمها، وحلّ الجملة هو نقطة تقاطع المستقيمين، لأنّها النقطة الوحيدة التي تنتمي إليهما معا.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتعرّف على معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين؟
افحص كلّ حدّ على حدة: هل يظهر فيه مجهول واحد بالأسّ واحد ومضروب في عدد؟ إن ظهر مجهول بالأسّ اثنين، أو ظهر مجهولان مضروبان أحدهما في الآخر، فليست من الدرجة الأولى. ثمّ اجمع الحدود الثابتة في طرف واحد لتقرأ الأعداد a و b و c.
أمامك أربع كتابات فيها المجهولان x و y.
🎯المطلوب: حدّد من بين هذه الكتابات ما هو معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين، وعيّن في كلّ حالة الأعداد a و b و c.
في الكتابة الأولى ننقل الحدّ الثابت إلى الطرف الآخر بتغيير إشارته.
نقرأ الآن المعاملات مباشرة على الشكل العامّ.
الكتابة الثانية مكتوبة أصلا على الشكل العامّ، فنقرأ معاملاتها كما هي.
في الكتابة الثالثة يظهر المجهول الأوّل بالأسّ اثنين، فالدرجة اثنان لا واحد.
وفي الكتابة الرابعة يُضرب مجهول في مجهول، والشكل العامّ لا يقبل ذلك.
طريقة 2: كيف نتحقّق من أنّ ثنائيّة حلّ لمعادلة؟
عوّض العدد الأوّل في المجهول الأوّل والعدد الثاني في المجهول الثاني، ثمّ احسب الطرف الأيسر كاملا. إن ساوى الطرف الأيمن فالثنائيّة حلّ، وإن اختلف عنه فلا. ولا تنسَ أنّ التعويض يكون في المجهولين معا، لا في واحد منهما.
نأخذ المعادلة الأولى من المثال السابق، ونقترح عليها ثنائيّتين.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الثنائيّة (1 ; 2/3) حلّ للمعادلة، وبيّن أنّ الثنائيّة (0 ; 1) ليست حلّا لها.
نعوّض في الثنائيّة الأولى: العدد الأوّل مكان x والعدد الثاني مكان y.
ننجز الضربين: ضرب 3 في ثلثين يعطي 2، ثمّ نجمع ونطرح.
نعيد العمل نفسه على الثنائيّة الثانية.
طريقة 3: كيف نوجد حلولا لمعادلة بمجهولين؟
اعزل أحد المجهولين في طرف، ثمّ أعطِ للآخر قيمة من عندك واحسب. كرّر العمل بقيم مختلفة فتحصل على ثنائيّات مختلفة، كلّها حلول. واختر قيما تجعل القسمة سهلة.
نعود إلى المعادلة نفسها بعد أن رتّبناها على الشكل العامّ.
🎯المطلوب: أوجد ثلاث ثنائيّات مختلفة تكون حلولا للمعادلة 4x + 3y = 6.
نعزل المجهول الثاني: ننقل الحدّ الأوّل ثمّ نقسم على معامل y.
نختار للمجهول الأوّل القيمة صفرا، فيبقى في البسط الحدّ الثابت وحده.
ثمّ نختار القيمة 3، فيصير البسط فرقا بين عددين موجبين.
ثمّ قيمة سالبة، فيصير طرح العدد السالب جمعا لمقابله.
طريقة 4: كيف نعرف أنّ نقطة تنتمي إلى مستقيم المعادلة؟
النقطة تنتمي إلى المستقيم إذا كانت إحداثيّاها حلّا للمعادلة. فالعمل واحد: نعوّض الفاصلة مكان المجهول الأوّل والترتيب مكان الثاني، ونقارن الطرفين. لا حاجة إلى رسم ولا إلى مسطرة.
في معلم متعامد ومتجانس، رُسم المستقيم الذي معادلته من الدرجة الأولى بمجهولين، وأُخذت نقطتان R و S.
🎯المطلوب: بيّن أنّ النقطة R تنتمي إلى المستقيم، وأنّ النقطة S لا تنتمي إليه.
نعوّض إحداثيي النقطة الأولى في الطرف الأيسر ونحسب.
نقارن ما وجدناه بالطرف الأيمن: العددان متساويان.
ثمّ نعيد العمل نفسه على النقطة الثانية.
العدد الناتج يختلف عن الطرف الأيمن، فإحداثيّا S ليسا حلّا.
طريقة 5: كيف نتحقّق من أنّ ثنائيّة حلّ لجملة؟
عوّض الثنائيّة في المعادلة الأولى، ثمّ في المعادلة الثانية. ولا تكتفِ بواحدة: الثنائيّة التي تحقّق معادلة واحدة فقط ليست حلّا للجملة، لأنّ الجملة تفرض الشرطين معا.
نضمّ إلى المعادلة السابقة معادلة ثانية بالمجهولين نفسيهما، فنحصل على جملة.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الثنائيّة (3 ; −2) حلّ للجملة، وبيّن أنّ الثنائيّة (0 ; 2) ليست حلّا لها.
نعوّض الثنائيّة الأولى في المعادلة الأولى ونحسب.
ثمّ في المعادلة الثانية.
ننتقل إلى الثنائيّة الثانية: هي تحقّق المعادلة الأولى.
لكنّها لا تحقّق المعادلة الثانية، وهذا يكفي لرفضها.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net