جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — الدالة الخطية — تطبيقات التناسبية — الدالة التآلفية
الحل الجبري لجملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين
- شرح ما يعنيه أن تكون ثنائية حلاّ لجملة معادلتين
- التحقّق من أنّ ثنائية معطاة حلّ للجملة أو ليست حلاّ لها
- حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين بطريقة التعويض
- حلّ جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين بطريقة الجمع
- حلّ معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد
- نشر جداء عدد في مجموع، مثل ضرب عدد في قوس
- الجمع والضرب في الأعداد النسبية، وقاعدة الإشارات
معارف — ما معنى « حلّ جملة معادلتين »؟
الجملة هي معادلتان من الدرجة الأولى تشتركان في المجهولين نفسيهما: المجهول x في الأولى هو نفسه المجهول x في الثانية، وكذلك y. ولهذا لا تُحلّ كلّ معادلة على حدة.
حلّ الجملة هو إيجاد الثنائيات (x ; y) التي تحقّق المعادلتين في آن واحد. وكلمة « في آن واحد » هي كلّ الدرس: ثنائية تحقّق واحدة منهما فقط ليست حلاّ للجملة.
نعوّض x بالعدد x₀ و y بالعدد y₀ في المعادلتين؛ إن صحّت المساواتان معا فالثنائية حلّ، وإن خابت واحدة منهما فقط فهي ليست حلاّ.
معارف — طريقة الحلّ بالتعويض
فكرة التعويض واحدة: نُخرج مجهولا واحدا من إحدى المعادلتين، فنكتبه بدلالة الآخر، ثمّ نضع هذه العبارة مكانه في المعادلة الثانية. عندئذ لا يبقى في المعادلة الثانية إلاّ مجهول واحد، وحلّ معادلة بمجهول واحد شيء نعرفه منذ السنة الماضية.
ننقل الحدّ الذي يحتوي y إلى الطرف الآخر ثمّ نقسم الطرفين على معامل x؛ وهذا ممكن ما دام هذا المعامل غير معدوم.
- نعزل مجهولا في إحدى المعادلتين: نكتبه بدلالة المجهول الآخر
- نعوّض بهذه العبارة في المعادلة الأخرى، فتصير بمجهول واحد
- نحلّ هذه المعادلة فنجد قيمة المجهول الأوّل
- نعوّض بهذه القيمة في العبارة المعزولة فنجد المجهول الثاني
معارف — طريقة الحلّ بالجمع
الجمع لا يعزل شيئا: إنّه يحذف. نجمع المعادلتين طرفا لطرف، ولنا الحقّ في ذلك لأنّ طرفي كلّ معادلة متساويان. ثمّ نرتّب الأمر مسبقا حتّى يختفي مجهول عند الجمع.
نجمع الطرف الأيمن مع الطرف الأيمن والطرف الأيسر مع الطرف الأيسر: المساواة تبقى صحيحة لأنّنا أضفنا إلى طرفي المعادلة الأولى مقدارين متساويين.
وحتّى يختفي مجهول عند الجمع، يجب أن يكون معاملاه في المعادلتين متعاكسين. وإذا لم يكونا كذلك، نضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في عدد غير معدوم قبل الجمع: ضرب معادلة كاملة في عدد لا يغيّر حلولها.
لأنّ مجموع معاملي y يساوي 0، فلا يبقى في المعادلة المجموعة إلاّ المجهول x.
معارف — بعد المجهول الأوّل: لا تُعِد كلّ العمل
بعد حساب أحد المجهولين بطريقة الجمع، ليس من الضروري اتّباع الطريقة نفسها لحساب المجهول الآخر. يكفي أن نعوّض بالقيمة التي وجدناها في إحدى المعادلتين، فتصير بمجهول واحد. الطريقتان ليستا خصمين: تُبدأ الجملة بواحدة وتُختم بالأخرى.
صار x عددا معلوما وهو x₀، فلم يبق في المعادلة (1) إلاّ المجهول y.
طرائق — ما يجب أن تعرف كيف تفعله
طريقة 1: كيف نتحقّق من أنّ ثنائية حلّ للجملة؟
لا نحلّ شيئا هنا: نعوّض ونحكم. نضع قيمة x وقيمة y في المعادلة الأولى، ثمّ في الثانية. الحكم لا يصدر إلاّ بعد المعادلتين معا.
نعتبر جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين هما x و y، ومعها ثنائيتان مقترحتان: الأولى والثانية.
🎯المطلوب: تحقّق من أنّ الثنائية الأولى حلّ للجملة، ثمّ بيّن أنّ الثنائية الثانية ليست حلاّ لها.
نرقّم المعادلتين حتّى نعرف في كلّ خطوة على أيّهما نشتغل.
لكلّ ثنائية فاصلة وترتيبة: الفاصلة قيمة x والترتيبة قيمة y.
والثنائية الثانية تحمل فاصلة وترتيبة أخريين.
نعوّض بفاصلة الثنائية الأولى وترتيبتها في المعادلة (1).
نعيد التعويض نفسه، بالعددين نفسيهما، في المعادلة (2).
ننتقل إلى الثنائية الثانية ونبدأ بالمعادلة (1).
ثمّ نعوّض بها في المعادلة (2)، والطرف الأيسر يجب أن يساوي 4.
المعادلتان محقّقتان معا مع الثنائية الأولى، ومحقّقة واحدة فقط مع الثانية.
طريقة 2: كيف نحلّ جملة بالتعويض؟
ابحث أوّلا عن مجهول معامله 1 أو −1: عزله لا يحتاج إلى قسمة، وهذا يوفّر عليك خطوة كاملة ويجنّبك الكسور.
نعتبر جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين هما x و y.
🎯المطلوب: حلّ الجملة بطريقة التعويض، ثمّ تحقّق من الثنائية التي تجدها.
نرقّم المعادلتين قبل كلّ شيء.
معامل x في المعادلة (1) يساوي 1، فنعزله فيها دون أيّ قسمة.
نضع العبارة 21 − y مكان x في المعادلة (2)، فلا يبقى فيها إلاّ المجهول y.
ننشر الجداء: نضرب 20 في كلّ حدّ من حدّي القوس.
نجمع الحدّين اللذين يحتويان y، وننقل الحدّ المعلوم إلى الطرف الآخر.
نتمّ الطرح في الطرف الأيمن.
نقسم الطرفين على 30، وهو معامل y.
نعود إلى العبارة المعزولة في الخطوة 1 ونعوّض y بقيمته.
نضع الثنائية في المعادلتين للتأكّد قبل أن نكتب الجواب.
طريقة 3: كيف نحلّ جملة بالجمع؟
انظر إلى معاملي المجهول نفسه في المعادلتين: إن كانا متعاكسين فاجمع مباشرة، وإلاّ فاضرب إحدى المعادلتين في العدد الذي يجعلهما متعاكسين، ثمّ اجمع.
نعتبر جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين هما x و y، وأعدادها كبيرة نسبيا فالتعويض فيها مكلف.
🎯المطلوب: احسب قيمتي x و y بطريقة الجمع.
نرقّم المعادلتين قبل كلّ شيء.
معاملا y هما 2 و −4؛ نضرب المعادلة (1) في 2 فيصير معامل y فيها 4، أي معاكسا لـ −4.
نجمع هذه المعادلة الجديدة مع المعادلة (2) طرفا لطرف، فيختفي المجهول y.
نقسم الطرفين على 8.
نعود إلى المجهول y: نضرب (1) في 2 و (2) في −3 فيصير معاملا x متعاكسين.
نجمع المعادلتين طرفا لطرف، فيختفي هذه المرّة المجهول x.
نقسم الطرفين على 16.
نعوّض الثنائية في المعادلتين قبل كتابة الجواب.
طريقة 4: كيف نختصر الحساب بالجمع ثمّ التعويض؟
الطريقتان تُمزجان. نبدأ بالجمع لأنّه يعطي مجهولا واحدا بسرعة، ثمّ نتمّ بالتعويض بدل إعادة كلّ التهيئة من جديد.
نعتبر جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين هما x و y.
🎯المطلوب: حلّ الجملة بالجمع، ثمّ أتمم الحساب بالتعويض.
نرقّم المعادلتين قبل كلّ شيء.
معاملا y هما 3 و −6؛ يكفي ضرب المعادلة (1) في 2 ليصير معامل y فيها 6، أي معاكسا لـ −6.
نجمع مع المعادلة (2) طرفا لطرف، فيختفي y.
نقسم الطرفين على 9.
بدل إعادة التهيئة والجمع مرّة ثانية، نعوّض x بقيمته في المعادلة (1).
ننقل الحدّ المعلوم إلى الطرف الآخر.
نقسم الطرفين على 3.
نتحقّق من الثنائية في المعادلتين معا.
الصفحة 1/9
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net