الدوران — المضلعات المنتظمة — الزوايا — الهندسة في الفضاء › الدوران-المضلعات المنتظمة- الزوايا
الزاوية المركزية و الزاوية المحيطية
- التعرف على الزاوية المركزية في دائرة
- التعرف على الزاوية المحيطية في دائرة
- استعمال العلاقة بين زاوية محيطية و الزاوية المركزية التي تحصر معها نفس القوس
- إثبات تقايس زاويتين محيطيتين تحصران نفس القوس
- رسم دائرة و التعرف على مركزها و نصف قطرها
- قيس زاوية بالمنقلة و مقارنة قيسي زاويتين
- معنى مثلث متساوي الساقين و خاصية زاويتي قاعدته
معارف — الوتر و القوس: ما الذي تحصره زاوية في دائرة؟
الوتر قطعة مستقيمة طرفاها نقطتان من الدائرة. و هاتان النقطتان تقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس قصير و قوس طويل. فحين نقول إن زاوية تحصر قوسا، نعني القوس الواقع بين ضلعيها، أي الجزء من الدائرة الذي « تنظر » إليه.
طريقة 1: كيف نعيّن وتري زاوية و القوس الذي تحصره؟
انظر إلى رأس الزاوية أولا، ثم إلى النقطتين اللتين يقطع فيهما ضلعاها الدائرة: القطعتان الواصلتان بين الرأس و هاتين النقطتين هما الوتران، و القوس المحصور هو القوس الواقع بين النقطتين و الذي لا يحمل الرأس.
الدائرة مركزها O، و النقاط A و B و M ثلاث نقط منها، و الزاوية AMB رأسها M.
🎯المطلوب: عيّن وتري الزاوية AMB، ثم عيّن القوس الذي تحصره هذه الزاوية.
ضلعا الزاوية يقطعان الدائرة في A و في B، و القطعتان الواصلتان طرفاهما على الدائرة.
القوس المحصور هو الواقع بين طرفي الزاوية، و لا يحمل الرأس M.
فنكتب النتيجة بذكر الوترين ثم القوس، و نسمّي القوس بطرفيه.
معارف — زاويتان في دائرة: المركزية و المحيطية
في دائرة واحدة، نميّز نوعين من الزوايا، و الفرق بينهما ليس في الشكل بل في مكان الرأس وحده: إن كان الرأس في المركز فالزاوية مركزية، و إن كان على الدائرة نفسها فالزاوية محيطية.
نقول عن الزاوية AOB إنها زاوية مركزية في الدائرة إذا كان رأسها هو مركز هذه الدائرة. و ضلعاها عندئذ نصفا قطر، فلهما نفس الطول.
و نقول عن الزاوية AMB إنها زاوية محيطية في الدائرة إذا كان رأسها M ينتمي إلى الدائرة، و كانت القطعتان [MA] و [MB] وترين في هذه الدائرة.
| الزاوية | أين يقع رأسها | ما هما ضلعاها |
|---|---|---|
| مركزية | في مركز الدائرة | نصفا قطر |
| محيطية | على الدائرة نفسها | وتران |
| لا هذه و لا تلك | داخل الدائرة دون المركز، أو خارجها | لا ينطبق عليهما الشرط |
طريقة 2: كيف نصنّف زوايا في دائرة؟
خذ الزوايا واحدة واحدة، و اسأل عن الرأس فقط: أهو المركز؟ أهو على الدائرة؟ أم لا هذا و لا ذاك؟ ثم تحقّق، للزاوية المحيطية، من أن ضلعيها وتران فعلا.
الدائرة مركزها O. النقاط A و B و M و N تنتمي إلى الدائرة. النقطة E تقع خارج الدائرة، و النقطة I تقع داخلها و تختلف عن O.
🎯المطلوب: عيّن نوع كل زاوية من الزوايا الست الآتية: مركزية أم محيطية أم لا هذه و لا تلك.
رأس كل منهما هو النقطة O، و هي مركز الدائرة، فالشرط الوحيد للزاوية المركزية محقّق.
رأس كل منهما نقطة من الدائرة، و ضلعاهما قطع طرفاها على الدائرة، أي وتران.
رأس الأولى خارج الدائرة، و رأس الثانية داخلها دون أن يكون المركز: لا ينطبق عليهما أي من التعريفين.
فيكون التصنيف: مركزيتان، ثم محيطيتان، ثم زاويتان لا تدخلان في أي من النوعين.
معارف — الخاصية 1: المركزية ضعف المحيطية
إذا حصرت زاوية محيطية و زاوية مركزية نفس القوس في دائرة واحدة، فإن قيس الزاوية المحيطية هو نصف قيس الزاوية المركزية. أي أن الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المرتبطة بها.
و نفس العلاقة تُقرأ في الاتجاه الآخر حين تكون المركزية هي المعلومة: فنقسم على اثنين بدل أن نضرب فيهما.
طريقة 3: كيف ننتقل من إحدى الزاويتين إلى الأخرى؟
اكتب العلاقة كما هي أولا، ثم رتّبها بحيث يقع المجهول وحده في طرف، ثم عوّض. إن كانت المركزية معلومة قسّمنا على اثنين، و إن كانت المحيطية معلومة ضربنا في اثنين.
في دائرة مركزها O، الزاوية المركزية AOB قيسها 130 درجة، و النقطة M من الدائرة تقع على القوس الذي لا تحصره هذه الزاوية.
🎯المطلوب: احسب قيس الزاوية المحيطية AMB التي تحصر نفس القوس AB.
الزاويتان تحصران نفس القوس، فالخاصية الأولى تنطبق عليهما.
المجهول هو المحيطية، فنكتب العلاقة في الاتجاه الذي يعزله.
نعوّض الزاوية المركزية بقيسها المعطى.
و نُجري القسمة.
في دائرة مركزها O، الزاوية المحيطية AMB قيسها 38 درجة، و رأسها M نقطة من الدائرة.
🎯المطلوب: احسب قيس الزاوية المركزية AOB التي تحصر نفس القوس AB.
الزاويتان تحصران نفس القوس، فنكتب الخاصية الأولى كما هي.
المجهول هنا هو المركزية، و هي معزولة أصلا في هذه الكتابة: نعوّض مباشرة.
و نُجري الضرب.
معارف — الخاصية 2: زاويتان محيطيتان تحصران نفس القوس
كل الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس في دائرة واحدة متقايسة، مهما تحرّك رأسها على الدائرة. و السبب مباشر: كل واحدة منها نصف الزاوية المركزية نفسها، و نصف عدد واحد لا يتغيّر.
طريقة 4: كيف نستعمل الخاصيتين معا؟
إن أُعطيت زاوية محيطية و طُلبت أخرى تحصر نفس القوس، فالجواب هو القيس نفسه. و إن طُلبت الزاوية المركزية بعد ذلك، فاضرب في اثنين.
في دائرة مركزها O، النقطتان M و N تقعان على نفس القوس، و الزاويتان AMB و ANB تحصران القوس AB نفسه. قيس الزاوية AMB هو 47 درجة.
🎯المطلوب: احسب قيس الزاوية ANB، ثم احسب قيس الزاوية المركزية AOB.
الزاويتان محيطيتان و تحصران نفس القوس، فهما متقايستان بالخاصية الثانية.
و منه فقيس الزاوية المطلوبة هو نفسه.
و الزاوية المركزية تحصر نفس القوس أيضا، فهي ضعف أي منهما بالخاصية الأولى.
و نجمع النتيجتين.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net