الدوران — المضلعات المنتظمة — الزوايا — الهندسة في الفضاء › الدوران-المضلعات المنتظمة- الزوايا
المضلعات المنتظمة
- تعريف المضلع المنتظم و التعرف عليه بين المضلعات
- تعيين مركز مضلع منتظم و دائرته المحيطة
- حساب قيس الزاوية المركزية لمضلع منتظم
- تعيين الدوران الذي يبقي مضلعا منتظما ثابتا
- إنشاء مثلث متقايس الأضلاع و مربع و سداسي منتظم داخل دائرة
- رسم دائرة و نقل طول بالمدور
- إنشاء زاوية معلومة القيس بالمنقلة
- معنى الدوران و مركزه و زاويته و اتجاهه
- مجموع قياسات زوايا مثلث يساوي 180 درجة
معارف — المضلع المنتظم: شرطان معا، لا شرط واحد
نقول عن مضلع إنه منتظم إذا تحقّق فيه شرطان في آن واحد: أن تكون كل زواياه متقايسة، و أن يكون لكل أضلاعه نفس الطول. و الشرطان ضروريان معا: تحقّق أحدهما دون الآخر لا يكفي، و هذا هو الخطأ الأكثر شيوعا في هذا الدرس.
| الشكل | كل الأضلاع متقايسة؟ | كل الزوايا متقايسة؟ | منتظم؟ |
|---|---|---|---|
| المستطيل غير المربع | لا | نعم | لا |
| المعين غير المربع | نعم | لا | لا |
| المربع | نعم | نعم | نعم |
| المثلث متقايس الأضلاع | نعم | نعم | نعم |
طريقة 1: كيف نتحقّق من أن مضلعا منتظم؟
تحقّق من الشرطين واحدا بعد الآخر، و لا تتوقّف عند أولهما. و إن سقط أحدهما فقد انتهى الأمر: المضلع ليس منتظما، مهما كان الشرط الآخر محقّقا.
الرباعي ABCD مستطيل طوله 5 سنتيمترات و عرضه 3 سنتيمترات.
🎯المطلوب: بيّن هل هذا المستطيل مضلع منتظم أم لا.
زوايا المستطيل الأربع قائمة بحكم تعريفه، فقيسها واحد.
أما الأضلاع فالطول يختلف عن العرض، و الشرط الأول لا يتحقّق.
شرط واحد محقّق، و الآخر لا: و التعريف يطلب الشرطين معا.
معارف — الدائرة المحيطة و مركز المضلع
لكل مضلع منتظم دائرة واحدة تشمل كل رؤوسه، تُسمّى الدائرة المحيطة بالمضلع. و مركز هذه الدائرة يُسمّى مركز المضلع المنتظم.
و ما دامت كل الرؤوس على هذه الدائرة، فإن بعد كل رأس عن المركز هو نصف القطر نفسه: هذا ما يجعل المدور كافيا لضبط كل المسافات في الشكل.
طريقة 2: كيف نستعمل الدائرة المحيطة في حساب الأطوال؟
كل ما يصل المركز برأس هو نصف قطر، فطوله معلوم بمجرد معرفة نصف القطر. و كل مثلث ساقاه نصفا قطر متساوي الساقين، فزاويتا قاعدته متقايستان.
ABCDE خماسي منتظم مركزه O، و نصف قطر دائرته المحيطة 4 سنتيمترات.
🎯المطلوب: احسب الطولين OA و OC، ثم بيّن أن المثلث OAB متساوي الساقين.
الرأس A ينتمي إلى الدائرة المحيطة التي مركزها O، فالقطعة [OA] نصف قطر.
و الرأس C ينتمي إلى نفس الدائرة، فالقطعة [OC] نصف قطر أيضا.
و الرأس B كذلك على الدائرة، فالضلعان [OA] و [OB] لهما نفس الطول.
و مثلث له ضلعان متقايسان هو مثلث متساوي الساقين، و رأسه الرئيسي هو O.
معارف — قيس الزاوية المركزية لمضلع منتظم
نسمّي زاوية مركزية للمضلع المنتظم كل زاوية رأسها المركز و ضلعاها يمرّان برأسين متتاليين. و هذه الزوايا المركزية في مضلع منتظم متقايسة.
و منها نستنتج قيسها دون أن نقيس: هذه الزوايا تملأ الدور كله حول المركز، أي 360 درجة، و هي متقايسة و عددها هو عدد أضلاع المضلع. فقيس كل واحدة منها هو 360 مقسومة على عدد الأضلاع.
طريقة 3: كيف نحسب الزاوية المركزية لمضلع منتظم؟
عدّ أضلاع المضلع، ثم اقسم 360 على هذا العدد. لا حاجة إلى رسم و لا إلى منقلة.
نعتبر مضلعا منتظما له ثمانية أضلاع، ثم مضلعا منتظما آخر له خمسة أضلاع.
🎯المطلوب: احسب قيس الزاوية المركزية لكل من المضلعين.
نكتب الدستور قبل أن نعوّض.
نعوّض n بالعدد 8 في حالة المضلع الأول.
ثم نعوّض n بالعدد 5 في حالة المضلع الثاني.
فتكون الزاويتان المركزيتان كما يلي.
معارف — المضلع المنتظم ثابت بالدوران
يبقى المضلع المنتظم ثابتا بالدوران الذي مركزه مركز المضلع، و الذي زاويته هي الزاوية المركزية بين رأسين متتاليين، في أي اتجاه كان. أي أن الدوران ينقل كل رأس إلى الرأس الذي يليه، فيقع الشكل على نفسه تماما.
طريقة 4: كيف نعيّن الدوران الذي يُبقي مضلعا منتظما ثابتا؟
عيّن مركز المضلع أولا، فهو مركز الدوران. ثم احسب الزاوية المركزية، فهي زاوية الدوران. و الاتجاه حرّ: الموجب و السالب يصلحان معا.
ABCD مربع مركزه O، أي نقطة تقاطع قطريه.
🎯المطلوب: عيّن الدوران الذي مركزه O و الذي يبقي هذا المربع ثابتا.
المربع مضلع منتظم له أربعة أضلاع.
نعوّض في دستور الزاوية المركزية.
فيكون الدوران الذي مركزه O و زاويته 90 درجة، في أي من الاتجاهين، ينقل كل رأس إلى الرأس الذي يليه، فيبقى المربع ثابتا.
معارف — إنشاء المضلعات المنتظمة الثلاثة
من كل ما سبق تخرج طريقة إنشاء واحدة، تصلح للثلاثة: ارسم الدائرة المحيطة، ثم قسّم الدور حول مركزها إلى زوايا مركزية متقايسة قيس كل واحدة 360 على عدد الأضلاع، ثم صِل بين النقط المحصّل عليها على الدائرة.
| المضلع المنتظم | عدد الأضلاع | قيس الزاوية المركزية |
|---|---|---|
| المثلث متقايس الأضلاع | 3 | 120° |
| المربع | 4 | 90° |
| السداسي المنتظم | 6 | 60° |
طريقة 5: كيف ننشئ سداسيا منتظما داخل دائرة؟
احسب الزاوية المركزية أولا، ثم أنشئها ست مرات متتالية حول المركز. و في حالة السداسي بالذات، سنرى أن المدور وحده يكفي، دون منقلة.
دائرة مركزها O و نصف قطرها 3 سنتيمترات، و A نقطة منها.
🎯المطلوب: أنشئ سداسيا منتظما رؤوسه على هذه الدائرة و أحد رؤوسه النقطة A، ثم احسب محيطه.
السداسي له ستة أضلاع، فنحسب زاويته المركزية بالدستور.
الرأسان المتتاليان A و B على الدائرة، فالقطعتان [OA] و [OB] نصفا قطر.
المثلث متساوي الساقين و زاوية رأسه 60 درجة، فنحسب زاويتي قاعدته بطرح ثم قسمة.
زواياه الثلاث قيس كل منها 60 درجة، فهو مثلث متقايس الأضلاع: و منه ضلع السداسي يساوي نصف القطر، و يكفي المدور لنقله ست مرات على الدائرة.
المحيط هو مجموع الأضلاع الستة، و هي متقايسة.
و نُجري الضرب الأخير.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net