مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية المتتاليات الرتيبة

تحديد اتجاه تغيّر متتالية حسابية أو هندسية

🔊 المعلّمة تقرأ لك
سلّم أجور يزيد كل سنة بمبلغ ثابت، و سلّم آخر يزيد كل سنة بنسبة مئوية. الأول يضيف المقدار نفسه، و الثاني يضرب في المعامل نفسه. فما الذي يكفي معرفته في كل حالة لنعرف إن كان الأجر يرتفع أم ينخفض؟

الجواب أقصر ممّا يبدو: في الحسابية يكفي أساسها r وحده، و في الهندسية يلزم أساسها q مع إشارة الحدّ الأوّل. عددان اثنان يحسمان اتجاه سلسلة لا نهائية.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرّف على متتالية حسابية أو هندسية انطلاقا من علاقة تراجعية
  • حساب الحد العام و مجموع الحدود في كل من الحالتين
  • قراءة اتجاه التغيّر من الأساس r أو من q و إشارة الحد الأول
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف المتتالية الحسابية و أساسها
  • تعريف المتتالية الهندسية و أساسها

1. المتتالية الحسابية

⁦(uₙ)⁩ حسابية أساسها r يعني أن كل حد يساوي الذي قبله مضافا إليه r نفسه.

التعريف بالتراجع
uₙ₊₁ = uₙ + r
الحد العام
uₙ = u₀ + n·r
مجموع الحدود
S=(n + 1) × u₀ + uₙ2

الفرق بين حدين متتابعين يساوي r دائما، فاتجاه التغيّر يُقرأ في إشارة r وحدها.

  • إذا كان r موجبا تماما فالمتتالية متزايدة تماما.
  • إذا كان r سالبا تماما فالمتتالية متناقصة تماما.
  • إذا كان r معدوما فالمتتالية ثابتة.

2. المتتالية الهندسية

⁦(uₙ)⁩ هندسية أساسها q يعني أن كل حد يساوي الذي قبله مضروبا في q نفسه.

التعريف بالتراجع
uₙ₊₁ = uₙ × q
الحد العام
uₙ = u₀ × qn
مجموع الحدود
S=u₀ × 1 − qn⁺¹1 − q

هنا الفرق ليس ثابتا، لكنه يُكتب في صورة تكشف إشارته: يتدخّل الأساس q وإشارة الحد الأول معا.

فرق حدين متتابعين
uₙ₊₁ − uₙ=u₀ × qn × (q − 1)
  • إذا كان q أكبر من 1 و u₀ موجبا: متزايدة تماما.
  • إذا كان q أكبر من 1 و u₀ سالبا: متناقصة تماما.
  • إذا كان q بين 0 و 1 و u₀ موجبا: متناقصة تماما.
  • إذا كان q بين 0 و 1 و u₀ سالبا: متزايدة تماما.
  • إذا كان ⁦q = 1⁩ فالمتتالية ثابتة.
  • إذا كان q سالبا فالمتتالية ليست رتيبة: qn لا يحتفظ بإشارة ثابتة.
دستور المجموع الهندسي يقسم على ⁦1 − q⁩، فهو لا يصلح عندما ⁦q = 1⁩. في هذه الحالة كل الحدود متساوية والمجموع هو ⁦S = (n + 1) × u₀⁩.
مثال 1: حسابية متناقصة

🎯المطلوب: حدّد أساس المتتالية الحسابية ثمّ استنتج اتجاه تغيّرها.

📌المعطى
u₁ = 2 , uₙ₊₁ = uₙ − 3
🔹الخطوة 1: الأساس

الأساس هو المقدار المضاف، وهو هنا سالب.

r = −3
🔹الخطوة 2: الحد العام
uₙ = 5 − 3n
✅النّتيجة
uₙ₊₁ − uₙ = −3
في الحسابية، r هو الفرق نفسه: تقرأ الاتجاه دون أي حساب إضافي.
مثال 2: هندسية متزايدة

🎯المطلوب: حدّد أساس المتتالية الهندسية ثمّ استنتج اتجاه تغيّرها.

📌المعطى
u₀ = 4 , uₙ₊₁ = 2uₙ
🔹الخطوة 1: الأساس
q = 2
🔹الخطوة 2: الحد العام
uₙ = 4 × 2n
✅النّتيجة

الأساس أكبر من 1 و الحد الأول موجب.

uₙ₊₁ − uₙ = 4 × 2n
لا تحكم بالأساس وحده: ⁦q > 1⁩ مع حد أول سالب يعطي متتالية متناقصة.
مثال 3: مجموع حدود متتالية هندسية

🎯المطلوب: احسب مجموع الحدود الستّة الأولى للمتتالية الهندسية المعطاة.

📌المعطى
u₀ = 4 , q = 2 , n = 5
🔹الخطوة 1: الدستور
S=u₀ × 1 − qn⁺¹1 − q
🔹الخطوة 2: التعويض
S=4 × 1 − 641 − 2
✅النّتيجة
S = 252
عدد الحدود من u₀ إلى u₅ هو 6 لا 5: الأس في الدستور هو ⁦n + 1⁩.
في البكالوريا، السؤال يعطي متتالية بالتراجع ويطلب « بيّن أنها حسابية أو هندسية ». الجواب المقبول ليس ملاحظة الحدود، بل حساب ⁦uₙ₊₁ − uₙ⁩ أو النسبة ⁦uₙ₊₁ ÷ uₙ⁩ وإظهار أنها ثابتة. ابدأ دائما بتعيين r أو q صراحة: كل ما يلي يُبنى عليه، وهو أول ما يبحث عنه المصحّح.
الخلاصة: الحسابية تضيف r فيُقرأ اتجاهها في إشارة r وحدها. والهندسية تضرب في q فيُقرأ اتجاهها في q وفي إشارة الحد الأول معا. ولكل منهما دستور مجموع، بشرط ⁦q ≠ 1⁩ في الهندسية.

الصفحة 1/6

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net