الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

حل مشكلات تُستعمل فيها متتاليات من الشكل ⁦u(n+1) = a·u(n) + b⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك

في أول جانفي 2000 أودع نبيل 10 000 دينار في بنك يمنح فائدة مركّبة نسبتها 5٪ سنويا، ثم صار يودع 2000 دينار إضافية في أول جانفي من كل سنة موالية. فكم يبلغ رصيده في 2010، وكم أودع من جيبه مقابل ذلك؟

الوضعية تجمع ضربا وإضافة، فهي من الشكل ⁦uₙ₊₁ = a·uₙ + b⁩. نطبّق عليها الطريقة كاملة، من النمذجة إلى الجواب العددي.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

نمذجة وضعية ادخار بعلاقة تراجعية
تطبيق طريقة المتتالية المساعدة من أولها إلى آخرها
إعطاء جواب عددي بوحدته يجيب عن السؤال المطروح

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الحد العام لمتتالية من الشكل المدروس
حساب مجموع عدد منته من الحدود

1. النمذجة

نرمز بـ uₙ إلى رصيد نبيل في أول جانفي من السنة ⁦2000 + n⁩. الفائدة تضرب الرصيد في 1,05، والإيداع يضيف 2000.

العلاقة التراجعية

uₙ₊₁ = 1,05·uₙ + 2000

هذه المتتالية ليست حسابية لأن الفرق بين حدين متتابعين ليس ثابتا، وليست هندسية لأن النسبة بين حدين متتابعين ليست ثابتة.

2. المتتالية المساعدة

النقطة الثابتة هي حل المعادلة ⁦x = 1,05x + 2000⁩، أي ⁦x = −40000⁩. نطرحها، أي نضيف 40000.

النقطة الثابتة

x = 20001 − 1,05

المتتالية المساعدة

vₙ = uₙ + 40000

خاصيتها

vₙ₊₁ = 1,05 × vₙ

النقطة الثابتة قد تكون سالبة كما هنا، ولا مشكلة في ذلك: هي عدد وسيط في الحساب، لا رصيد حقيقي في البنك.

مثال 1: الحدود الأولى

🎯المطلوب: احسب الحدّين المواليين للرصيد الأوّل.

📌المعطى

u₀ = 10000

🔹الخطوة 1: الحدان الموالِيان

نطبّق العلاقة مرة، ثم مرة ثانية.

u₁ = 12500 , u₂ = 15125

✅النّتيجة

u₂ = 15125

احسب الفائدة على الرصيد كله قبل إضافة الإيداع الجديد: ترتيب العمليتين يغيّر النتيجة.

مثال 2: الحد العام

🎯المطلوب: عيّن الحدّ العام للمتتالية المساعدة ثمّ استنتج حدّ المتتالية الأصلية.

📌المعطى

vₙ = uₙ + 40000 , v₀ = 50000

🔹الخطوة 1: حد vₙ

⁦(vₙ)⁩ هندسية أساسها 1,05 وحدها الأول 50000.

vₙ = 50000 × 1,05ⁿ

🔹الخطوة 2: العودة

نعود إلى uₙ بطرح 40000.

uₙ = 50000 × 1,05ⁿ − 40000

✅النّتيجة

uₙ = 50000 × 1,05ⁿ − 40000

تحقّق من دستورك على ⁦n = 0⁩: يجب أن يعطي 10000 بالضبط. تحقّق يكلف سطرا وينقذ تمرينا.

مثال 3: الرصيد في 2010

🎯المطلوب: احسب الرصيد بعد عشر سنوات.

📌المعطى

n = 10

🔹الخطوة 1: التعويض

u₁₀ = 50000 × 1,05¹⁰ − 40000

🔹الخطوة 2: الحساب

1,05¹⁰ ≈ 1,6289

🔹الخطوة 3: إتمام الحساب

نضرب أوّلا في القوّة المحسوبة، ثمّ نطرح 40000 للعودة من المتتالية المساعدة إلى الرصيد.

50000 × 1,6289 = 81445 ; 81445 − 40000 = 41445

✅النّتيجة

u₁₀ ≈ 41445

أودع نبيل 30000 من جيبه، وسحب أكثر من 41000: الفارق هو ما صنعته الفائدة المركّبة.

تمرين الوضعية يُنقّط على السلسلة كاملة: نمذجة، ثم متتالية مساعدة، ثم عودة، ثم جواب عددي بوحدته. لا تقفز إلى الحساب. واختم دائما بجملة تجيب عن السؤال المطروح — « يبلغ رصيده نحو 41445 دينارا في 2010 » — لأن التمرين يبدأ بسؤال ملموس وينتظر جوابا ملموسا.

الخلاصة: وضعية الادخار تجمع ضربا وإضافة، فتعطي متتالية من الشكل ⁦uₙ₊₁ = a·uₙ + b⁩. المتتالية المساعدة ⁦vₙ = uₙ + 40000⁩ هندسية، ومنها نستنتج ⁦uₙ = 50000 × 1,05ⁿ − 40000⁩. الطريقة نفسها تصلح لكل وضعية تُضاعف ثم تُضيف.

الصفحة 1/6