الدوال العددية › إتجاه تغير دالة
الدراسة و التمثيل البياني لدالة: اتجاه التغيّر باستعمال إشارة المشتقة
الجواب في الدرس السابق: المشتقّة. إشارتها وحدها تقول أين تصعد الدالة و أين تهبط، من دون رسم و من دون تخمين. لكن قبل ذلك يجب أن نعرف دراسة إشارة عبارة، و هذا ما نبدأ به.
- استعمال مبرهنة إشارة المشتقة لتعيين اتجاه تغيّر دالة
- دراسة إشارة عبارة من الدرجة الأولى أو الثانية
- بناء جدول تغيّرات دالة انطلاقا من إشارة مشتقّها
- مشتقات الدوال المألوفة و العمليات عليها
- حل معادلة من الدرجة الأولى و من الدرجة الثانية
1. الأداة: إشارة عبارة من الدرجة الأولى
لتكن a و b عددين حقيقيين حيث a غير معدوم. العبارة a x + b تنعدم في قيمة واحدة، و هي تحمل إشارة a بعدها، و عكس إشارة a قبلها.
2. الأداة: إشارة عبارة من الدرجة الثانية
لتكن a و b و c أعدادا حقيقية حيث a غير معدوم. لدراسة إشارة a x² + b x + c نحسب المميّز أوّلا، ثمّ نميّز ثلاث حالات.
- إذا كان المميّز سالبا تماما: لا جذور، و العبارة تحمل إشارة a على ℝ كلّها.
- إذا كان المميّز معدوما: جذر مضاعف، و العبارة تحمل إشارة a قبله و بعده، و تنعدم فيه.
- إذا كان المميّز موجبا تماما: جذران، و العبارة تحمل إشارة a في الطرفين و عكس إشارة a بين الجذرين.
3. المبرهنة: من إشارة المشتقة إلى اتجاه التغيّر
لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I من ℝ. هذه المبرهنة هي قلب الدرس كلّه:
- إذا كان f′(x) موجبا تماما من أجل كلّ x من I، فإنّ f متزايدة تماما على I.
- إذا كان f′(x) سالبا تماما من أجل كلّ x من I، فإنّ f متناقصة تماما على I.
- إذا كان f′(x) معدوما من أجل كلّ x من I، فإنّ f ثابتة على I.
و دراسة اتجاه تغيّر دالة تعني بالضبط: تعيين المجالات التي تكون فيها متزايدة تماما، أو متناقصة تماما، أو ثابتة.
🎯المطلوب: أدرس، حسب قيم x، إشارة كلّ من f(x) و g(x).
نحلّ المعادلة أوّلا.
معامل x موجب، فالعبارة سالبة قبل الجذر و موجبة بعده.
معامل x سالب هذه المرّة، فتنقلب الإشارتان.
🎯المطلوب: أدرس، حسب قيم x، إشارة العبارة g(x) من الدرجة الثانية.
نقرأ المعاملات: a يساوي −1، و b يساوي −1، و c يساوي 2.
المميّز موجب تماما، فللعبارة جذران. جذر 9 هو 3.
نرتّب الجذرين، ثمّ نطبّق القاعدة: إشارة a في الطرفين و عكسها في الوسط. و a سالب.
نجمع في هذا المثال كلّ ما سبق: مشتقّة، إشارة، اتجاه تغيّر، ثمّ مماس. الشكل أسفله يبيّن جدول التغيّرات المحصّل عليه.
🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر الدالة f، ثمّ عيّن معادلة مماس منحناها عند الفاصلة −2.
نشتقّ: مشتق x² هو 2x، و مشتق x هو 1.
ندرس إشارة المشتقّة، و هي من الدرجة الأولى.
معامل x في المشتقّة هو 2، و هو موجب: سالبة قبل الجذر، موجبة بعده.
نترجم الإشارة إلى اتجاه تغيّر بالمبرهنة.
نمرّ الآن إلى المماس عند الفاصلة −2، بالشكل العام للدرس السابق.
نعوّض في y = f'(a)(x - a) + f(a) مع a يساوي −2.
الصفحة 1/7
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net