مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

المتتاليات المتقاربة: النهاية المنتهية و غير المنتهية، و الحصر

🔊 المعلّمة تقرأ لك
تتابع مؤسّسة اقتصادية مؤشّرا معيّنا سنة بعد سنة: قد يستقرّ هذا المؤشّر شيئا فشيئا عند قيمة معيّنة مهما طال الزمن، وقد يتزايد بلا حدود، وقد يتناقص بلا حدود. كيف نُميّز رياضيا بين هذه الحالات الثلاث، وكيف نحسب القيمة التي يستقرّ عندها المؤشّر عند الاقتضاء؟

نقول إنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة نحو العدد الحقيقي l إذا اقتربت حدودها من l بالقدر الذي نريد، بشرط أن تكون الرتبة n كبيرة بالقدر الكافي. وإن لم تكن كذلك، نقول إنّها متباعدة — سواء كانت نهايتها +∞ أو −∞، أو لم يكن لها نهاية على الإطلاق.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تُعرّف تقارب متتالية نحو عدد حقيقي l
  • تحسب نهاية متتالية معرّفة بـ ⁦uₙ = f(n)⁩ بالانتقال إلى نهاية الدالة f عند +∞
  • تُميّز بين متتالية نهايتها منتهية ومتتالية نهايتها +∞ أو −∞
  • تُوظّف نهاية qn حسب موقع q من أجل متتالية هندسية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • نهايات الدوال المرجعية عند +∞، ونهاية حاصل قسمة كثيرتي حدود
  • عبارة الحدّ العامّ لمتتالية هندسية ومجموع حدودها المتتابعة
  • معنى أن تكون متتالية متزايدة أو متناقصة
كتابة التقارب نحو l
limn→+∞ un = l
مهما ضاق المجال المفتوح حول l، تدخله كلّ الحدود ابتداءً من رتبة معيّنة و لا تغادره: هذا معنى التقارب نحو l.

و نقول إنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ نهايتها ⁦+∞⁩ إذا تجاوزت حدودها أيّ عدد A نختاره، مهما كان كبيرا، بشرط أن تكون الرتبة n كبيرة بالقدر الكافي: توجد رتبة ⁦n₀⁩ تكون ابتداءً منها كلّ الحدود أكبر من A. أمّا الحدود التي قبل هذه الرتبة فقد يبقى بعضها تحت A.

كتابة النهاية ⁦+∞⁩
limn→+∞ un = +∞ ⟺ ∀A ∈ ℝ, ∃n₀ ∈ ℕ : n ≥ n₀ ⟹ un > A
مهما ارتفع المستوى A، تتجاوزه كلّ الحدود ابتداءً من رتبة معيّنة: هذا معنى أنّ نهاية المتتالية ⁦+∞⁩.

الانتقال من نهاية دالة إلى نهاية متتالية

إذا كانت ⁦(uₙ)⁩ متتالية حدّها العامّ ⁦uₙ = f(n)⁩، حيث f دالة معرّفة على مجال مبدؤه صفر وغير محدود، فإنّ نهاية ⁦(uₙ)⁩ عند +∞ هي نفس نهاية ⁦f(x)⁩ عند +∞. هذه الخاصية تُحوّل حساب نهاية متتالية إلى حساب نهاية دالة، وهو حساب نعرفه أصلا.

خاصية الانتقال
un = f(n) ; limx→+∞ f(x) = α ⟹ limn→+∞ un = α
مثال 1: نهاية منتهية بالانتقال المباشر

المتتالية ⁦(uₙ)⁩ معرّفة من أجل كلّ عدد طبيعي n غير معدوم بحدّها العامّ أدناه.

🎯المطلوب: أدرس نهاية المتتالية ⁦(uₙ)⁩ عند +∞.

📌المعطى
un = 3 − 1n
🔹الخطوة 1: الدالة المرفقة

نربط المتتالية بالدالة ⁦f(x) = 3 − 1/x⁩، المعرّفة على المجال الذي مبدؤه صفر وغير المحدود.

f(x) = 3 − 1x
🔹الخطوة 2: نهاية الدالة

عندما يؤول x إلى +∞، يؤول ⁦1/x⁩ إلى صفر.

limx→+∞ f(x) = 3
✅النّتيجة
limn→+∞ un = 3
متى استطعت أن تكتب الحدّ العامّ على شكل ⁦f(n)⁩، فابحث عن نهاية f عند +∞ مباشرة: هي نفسها نهاية المتتالية.

إذن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة نحو العدد 3.

مثال 2: نهاية منتهية بمقارنة الحدّين الأعلى درجة

المتتالية ⁦(uₙ)⁩ معرّفة من أجل كلّ عدد طبيعي n بحدّها العامّ أدناه.

🎯المطلوب: بيّن أنّ المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة، ثمّ عيّن نهايتها.

📌المعطى
un=2n² − 5n + 1n² + 5
🔹الخطوة 1: الدالة المرفقة

نربطها بالدالة ⁦f(x) = (2x² − 5x + 1)/(x² + 5)⁩ المعرّفة على المجال ذي المبدأ صفر وغير المحدود، بحيث ⁦uₙ = f(n)⁩.

f(x)=2x² − 5x + 1x² + 5
🔹الخطوة 2: الاقتصار على الحدّين الأعلى درجة

عند +∞، نهاية حاصل قسمة كثيرتي حدود هي نهاية حاصل قسمة حدّيهما الأعلى درجة.

limx→+∞ f(x) = limx→+∞ (2x²x²)
✅النّتيجة
limx→+∞ f(x) = 2
القاعدة المختصرة صحيحة فقط عند +∞ أو −∞، لا عند عدد حقيقي منتهٍ: هناك يجب حساب النهاية كاملة، لأنّ التعويض المباشر قد يعطي شكلا غير محدّد.

إذن ⁦lim uₙ = 2⁩، والمتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة نحو العدد 2، وهي نهاية منتهية.

مثال 3: نهاية غير منتهية

المتتالية ⁦(uₙ)⁩ معرّفة من أجل كلّ عدد طبيعي n بحدّها العامّ أدناه.

🎯المطلوب: هل المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متقاربة؟

📌المعطى
un=2n + 1n + 2
🔹الخطوة 1: نهاية الحدّ الأوّل

نهاية الحدّ الأوّل وحده تكفي لمعرفة اتجاه المجموع.

limn→+∞ 2n = +∞
🔹الخطوة 2: نهاية الحدّ الثاني

الحدّ الثاني يؤول إلى الصفر، فلا يُغيّر شيئا.

limn→+∞ 1n + 2 = 0
✅النّتيجة
limn→+∞ un = +∞
نهاية +∞ أو −∞ تعني أنّ المتتالية متباعدة، حتّى لو كانت هذه النهاية موجودة بالمعنى الواسع. كلمة «تتقارب» في هذا الدرس محجوزة للنهايات المنتهية فقط.

إذن ⁦lim uₙ = +∞⁩ (نهاية غير منتهية)، والمتتالية ⁦(uₙ)⁩ غير متقاربة.

مثال 4: نهايتا متتالية هندسية ومجموع حدودها

⁦(uₙ)⁩ متتالية هندسية أساسها ⁦q = 2/3⁩ وحدّها الأوّل ⁦u₀ = 2⁩. نضع ⁦Sₙ = u₀ + u₁ + ... + uₙ⁩ من أجل كلّ عدد طبيعي n.

🎯المطلوب: عبّر عن الحدّ العامّ uₙ والمجموع Sₙ بدلالة n، ثمّ ادرس نهايتيهما.

📌المعطى
u0 = 2 ; q = 23
🔹الخطوة 1: الحدّ العامّ
un = 2 × (23)n
✅النّتيجة 1

الأساس محصور بين ⁦−1⁩ و1، فقوّته تؤول إلى الصفر.

limn→+∞ un = 0
🔹الخطوة 2: مجموع الحدود

نستعمل صيغة مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية أساسها ⁦q ≠ 1⁩.

Sn=2 × 1 − (23)n + 11 − 23
🔹الخطوة 3: التبسيط
Sn=6 (1 − (23)n + 1)
✅النّتيجة 2
limn→+∞ Sn = 6
لاحظ أنّ ⁦(uₙ)⁩ ومجموعها ⁦(Sₙ)⁩ متتاليتان مختلفتان تماما، ولكلّ منهما نهايتها الخاصّة: الأولى تؤول إلى الصفر، والثانية تؤول إلى ستّة.

المتتاليتان معا متقاربتان، لكلّ واحدة منهما نهاية منتهية مختلفة عن الأخرى: ⁦(uₙ)⁩ تتقارب نحو الصفر، و⁦(Sₙ)⁩ تتقارب نحو 6.

🔹نهاية qn حسب موقع q

هذه النتيجة تتكرّر في كلّ متتالية هندسية، فتستحقّ أن تُحفظ في جدول واحد:

✅النّتيجة: نهاية qn عند +∞
حالة الأساس qنهاية qn عند +∞
⁦−1 < q < 1⁩0 (نهاية منتهية)
⁦q = 1⁩1 (نهاية منتهية)
⁦q > 1⁩+∞ (نهاية غير منتهية)
⁦q ≤ −1⁩ليس لها نهاية

أداة أخرى لإثبات التقارب

توجد طريقة تُثبت تقارب متتالية دون حساب نهايتها مباشرة: إذا كانت المتتالية متزايدة وكانت حدودها لا تتجاوز عددا معيّنا (محدودة من الأعلى)، أو كانت متناقصة وكانت حدودها لا تنزل تحت عدد معيّن (محدودة من الأسفل)، فهي متقاربة حتما.

هذه المبرهنة تُثبت وجود النهاية فقط، ولا تُعطي قيمتها: تُفيد عندما يصعب حساب النهاية مباشرة، بشرط أن تكون اتّجاه التغيّر والحدّ الحادّ معروفين مسبقا.
⛔ لا تخلط بين «متقاربة» و«لها نهاية»: متتالية نهايتها +∞ أو −∞ لها نهاية بالمعنى الواسع لكنّها متباعدة. في هذا الدرس، «تتقارب» تعني حصرا: نهايتها عدد حقيقي منتهٍ.
في البكالوريا، إذا طُلب منك إثبات التقارب دون حساب النهاية، فكّر في مبرهنة الرتابة والمحدودية قبل أن تحاول حساب النهاية مباشرة: أحيانا يكون حساب النهاية معقّدا بينما إثبات الرتابة والمحدودية بسيط.
الخلاصة: ⁦(uₙ)⁩ متقاربة إذا اقتربت حدودها من عدد حقيقي l بالقدر الذي نريد؛ وإن كانت نهايتها +∞ أو −∞، أو لم يكن لها نهاية، فهي متباعدة. متى كتبت ⁦uₙ = f(n)⁩، انتقل إلى نهاية f عند +∞. ومتى كانت ⁦(uₙ)⁩ هندسية أساسها q، فموقع q من الفترة ⁦]−1;1]⁩ وحده يحدّد إن كانت النهاية منتهية أو غير منتهية أو معدومة الوجود.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net