مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

المتتاليات العددية

المتتاليات ⁦(u(n))⁩ حيث ⁦u(n+1) = a·u(n) + b⁩: التمثيل البياني

🔊 المعلّمة تقرأ لك
قبل حساب أيّ حدّ بالأرقام، يمكن أن « نرى » سلوك متتالية على رسم واحد: هل تقترب حدودها من قيمة معيّنة، وهل تقترب منها من فوق أم من تحت أم بتناوب. كيف نمثّل بيانيا حدود متتالية من الشكل ⁦uₙ₊₁ = a×uₙ + b⁩، وكيف يحدّد ميل المستقيم ⁦(Δ)⁩ اتجاه تغيّرها؟

لتكن ⁦(uₙ)⁩ متتالية حدّها الأوّل u₀، ومن أجل كلّ عدد طبيعي n، ⁦uₙ₊₁ = a×uₙ + b⁩، حيث a وb عددان حقيقيان و⁦a ≠ 0⁩. نلاحظ أنّ ⁦uₙ₊₁ = f(uₙ)⁩ حيث f الدالة التآلفية ⁦f(x) = ax + b⁩، وتمثيلها البياني مستقيم ميله a: صاعد إذا كان a موجبا، نازل إذا كان a سالبا.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تُمثّل بيانيا الدالة المرافقة ⁦f(x) = ax + b⁩ والمستقيم ⁦(D)⁩ ذا المعادلة ⁦y = x⁩
  • تضع حدود المتتالية على محور الفواصل انطلاقا من هذا التمثيل
  • تربط إشارة الأساس a باتجاه تغيّر المتتالية في الحالة ⁦a ≠ 1⁩
  • تُميّز حالة ⁦a = 1⁩ (متتالية حسابية) عن حالة ⁦a ≠ 1⁩
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الدالة التآلفية ⁦x ↦ ax + b⁩ وتمثيلها البياني (مستقيم ميله a)
  • المتتالية الحسابية وعبارة حدّها العامّ
  • دراسة اتجاه تغيّر متتالية بإشارة الفرق بين حدّين متتابعين
الدالة المرافقة
f(x) = a x + b

1. الحالة الأولى⁦: a = 1⁩

العلاقة عندما ⁦a = 1⁩
un+1 = un + b

في هذه الحالة ⁦(uₙ)⁩ متتالية حسابية أساسها b: إذا كان ⁦b < 0⁩ فهي متناقصة ونهايتها −∞؛ إذا كان ⁦b > 0⁩ فهي متزايدة ونهايتها +∞؛ وإذا كان ⁦b = 0⁩ فهي ثابتة. المستقيم ⁦(Δ)⁩ هنا مواز للمستقيم ⁦(D)⁩، لأنّ ميله يساوي 1.

2. الحالة الثانية⁦: a ≠ 1 —⁩ البناء البياني واتجاه التغيّر

نرسم في نفس المعلم المستقيم ⁦(D)⁩ ذا المعادلة ⁦y = x⁩، والمستقيم ⁦(Δ)⁩ ذا المعادلة ⁦y = ax + b⁩. فاصلة نقطة تقاطعهما، ونرمز لها بـ α، هي النقطة الصامدة للدالة f، أي حلّ المعادلة ⁦f(x) = x⁩.

النقطة الصامدة
α = a α + b

انطلاقا من u₀ على محور الفواصل، نصعد (أو ننزل) عموديا حتّى ⁦(Δ)⁩ لنقرأ u₁ على محور التراتيب، ثمّ ننقله أفقيا إلى ⁦(D)⁩ لنجده على محور الفواصل، ونكرّر العملية للحصول على u₂ و u₃ وما يليها. تتقارب هذه النقاط من α إذا كان ⁦−1 < a < 1⁩، وتبتعد عنه إن لم يكن كذلك.

مثال 1: البناء البياني لحدود متتالية

نمثّل بيانيا المتتالية ⁦(uₙ)⁩ المعرّفة بـ ⁦u₀ = 0⁩ و⁦uₙ₊₁ = −(1/2)uₙ + 3⁩، بواسطة الدالة المرافقة ⁦f(x) = −(1/2)x + 3⁩ والمستقيم ⁦(D): y = x⁩.

🎯المطلوب: ضع على محور الفواصل الحدود u₀ و u₁ و u₂ و u₃ و u₄، ثمّ صف حركتها بالنسبة للنقطة الصامدة.

📌المعطى
u0 = 0 ; a = −12 ; b = 3
🔹الخطوة 1: الحدّان الأوّلان

نطبّق العلاقة التراجعية أربع مرّات متتالية.

u1 = 3 ; u2 = 1,5
🔹الخطوة 2: الحدّان الموالیان
u3 = 2,25 ; u4 = 1,875
🔹الخطوة 3: النقطة الصامدة

النقطة الصامدة هي حلّ المعادلة ⁦x = −x/2 + 3⁩.

α = 2
✅النّتيجة
u0 = 0 ; u1 = 3 ; u2 = 1,5 ; u3 = 2,25 ; u4 = 1,875
⭐ لاحظ أنّ ⁦a = −1/2⁩ سالب هنا: الحدود لا تقترب من النقطة الصامدة من جهة واحدة، بل تتأرجح حولها من فوق ثمّ من تحت، وهذا بالضبط ما يُنتج الشكل الحلزوني على الرسم (بخلاف السلّم الذي يظهر عندما يكون a موجبا).
⭐ عندما يكون a سالبا، تتأرجح حدود المتتالية حول النقطة الصامدة من جهتين، بخلاف حالة a موجب حيث تقترب منها من جهة واحدة فقط.

⚖️ ملاحظة على الرمز: بعض المصادر تستعمل الحرف نفسه للأساس a ولفاصلة النقطة الصامدة. لتفادي أيّ لبس، نرمز في هذا الدرس للنقطة الصامدة بـ α، ونحتفظ بـ a للأساس وحده.

مثال 2: اتجاه التغيّر عندما يكون الأساس بين الصفر والواحد

المتتالية ⁦(uₙ)⁩ معرّفة بـ ⁦u₀ = 2⁩ و⁦uₙ₊₁ = (1/3)uₙ + 2⁩.

🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر المتتالية ⁦(uₙ)⁩.

📌المعطى
u0 = 2 ; a = 13 ; b = 2
🔹الخطوة 1: الحدّ الأوّل

نحسب الحدّ الأوّل بتطبيق العلاقة مرّة واحدة.

u1=(13) × 2 + 2=83
🔹الخطوة 2: الفرق الأوّل
u1 − u0 = 83 − 2
✅النّتيجة الجزئية
u1 − u0 = 23
✅النّتيجة

الأساس ⁦a = 1/3⁩ موجب، فالدالة المرافقة f متزايدة، وإشارة كلّ الفروق تطابق إشارة هذا الفرق الأوّل.

a > 0 ; u1 − u0 > 0
عندما يكون الأساس a موجبا، لا حاجة لدراسة الفرق عند كلّ رتبة: إشارة الفرق الأوّل ⁦u₁ − u₀⁩ وحدها تحدّد اتجاه التغيّر بأكمله.

إذن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متزايدة.

مثال 3: اتجاه التغيّر عندما يكون الأساس أكبر من واحد

رصيد بنكي uₙ (بالدينار) يُحقّق من أجل كلّ عدد طبيعي n العلاقة ⁦uₙ₊₁ = 1,05×uₙ − 1500⁩، بحدّ أوّل ⁦u₀ = 10000⁩.

🎯المطلوب: أدرس اتجاه تغيّر المتتالية ⁦(uₙ)⁩.

📌المعطى
u0 = 10000 ; a = 1,05 ; b = −1500
🔹الخطوة 1: الحدّ الأوّل

نحسب الحدّ الأوّل: نزيد 5٪ ثمّ ننقص 1500.

u1=1,05 × 10000 − 1500=9000
🔹الخطوة 2: الفرق الأوّل
u1 − u0 = 9000 − 10000
✅النّتيجة الجزئية
u1 − u0 = −1000
✅النّتيجة

الأساس ⁦a = 1,05⁩ موجب أيضا هنا، رغم أنّه أكبر من واحد، فالقاعدة نفسها تنطبق.

a > 0 ; u1 − u0 < 0
لا يهمّ إن كان a أكبر من واحد أو بين الصفر والواحد: القاعدة « a موجب ⟸ إشارة الفرق ثابتة وتطابق إشارة ⁦u₁ − u₀⁩ » تبقى صحيحة في الحالتين معا.

إذن المتتالية ⁦(uₙ)⁩ متناقصة.

مثال 4: تحقّق عددي من صيغة الفرق التلسكوبية

نعتبر متتالية ⁦(uₙ)⁩ تحقّق ⁦uₙ₊₁ = a×uₙ + b⁩ مع القيم أدناه، ونريد التحقّق من الصيغة العامّة ⁦uₙ₊₁ − uₙ = an(u₁ − u₀)⁩.

🎯المطلوب: تحقّق عدديا أنّ الفرق ⁦u₂ − u₁⁩ يساوي فعلا ⁦a × (u₁ − u₀)⁩.

📌المعطى
a = 35 ; b = 2 ; u0 = 7
🔹الخطوة 1: الحدّ الأوّل
u1=(35) × 7 + 2=315
🔹الخطوة 2: الحدّ الثاني
u2=(35) × (315) + 2=14325
🔹الخطوة 3: الفرق الأوّل
u1 − u0=315 − 7=−45
🔹الخطوة 4: الفرق الثاني بالحساب المباشر

نحسب الفرق الثاني مباشرة من الحدود.

u2 − u1=14325 − 315=−1225
🔹الخطوة 5: الفرق الثاني بالصيغة العامّة

ثمّ نحسبه بالصيغة العامّة ⁦uₙ₊₁ − uₙ = an(u₁ − u₀)⁩ من أجل ⁦n = 1⁩.

a¹ × (u1 − u0)=(35) × (−45)=−1225
✅النّتيجة
u2 − u1=a × (u1 − u0)=−1225
⭐ الصيغة ⁦uₙ₊₁ − uₙ = an(u₁ − u₀)⁩ تُبنى بضرب سلسلة من المساويات المتشابهة طرفا بطرف؛ حدودها الوسطى تتلاشى واحدا بواحد.

القيمتان متطابقتان تماما، ما يؤكّد صحّة الصيغة العامّة: ⁦uₙ₊₁ − uₙ = an(u₁ − u₀)⁩.

في البكالوريا، سؤال البناء البياني يُنقّط على دقّة القراءة على المحورين بقدر ما يُنقّط على صحّة الرسم: اكتب فاصلة كلّ نقطة تنقلها من محور إلى آخر، ولا تكتفِ بخطّ متقطّع دون أرقام بجانبه.
الخلاصة: المستقيم ⁦(Δ)⁩ الممثّل للدالة ⁦f(x) = ax + b⁩ يتقاطع مع المستقيم ⁦(D): y = x⁩ عند النقطة الصامدة α. إذا كان ⁦a = 1⁩ فالمتتالية حسابية. إذا كان ⁦a ≠ 1⁩ وكان a موجبا، فالمتتالية رتيبة وإشارة ⁦u₁ − u₀⁩ وحدها تحدّد نوع رتابتها؛ وإذا كان a سالبا فهي تتأرجح حول α ولا تكون رتيبة.

الصفحة 1/7

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net