مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الاشتقاقية والاستمرارية على مجال الإشتقاقية 2

المشتقات و القيم الحدية المحلية

🔊 المعلّمة تقرأ لك
على جدول تغيرات دالة، بعض النقاط التي تتوقف عندها f عن التزايد لتتناقص (أو العكس) تستحق اسما خاصا. فما هي القيمة الحدية المحلية بالضبط، و كيف تصف الاقتصاد مفهوم الكلفة الهامشية و الربح الأعظمي بنفس الأداة؟

الجواب هو القيمة الحدية المحلية: نقطة يتحول عندها اتجاه التغير. و في الاقتصاد، الأداة نفسها — المشتقة — تقرأ الكلفة الهامشية و تحدد الكمية التي تُعطي أكبر ربح.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف القيمة الحدية المحلية العظمى و الصغرى لدالة عند نقطة
  • التعرّف على القيم الحدية من جدول تغيرات دالة
  • تفسير المشتقة اقتصاديا بوصفها الكلفة الهامشية
  • البحث عن الكمية التي تُحقق أكبر ربح ممكن بدراسة القيم الحدية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • مبرهنة إشارة المشتقة و اتجاه التغير (الدرس السابق)
  • بناء جدول تغيرات دالة انطلاقا من إشارة مشتقتها

1. القيم الحدية المحلية

لتكن f دالة معرفة على مجال I و x₀ عددا من I. نقول أن قيمة الدالة عند x₀ قيمة حدية محلية عظمى إذا وُجد مجال مفتوح J محتوى في I يشمل x₀ بحيث تبقى هذه القيمة أكبر أو تساوي قيمة الدالة عند كل عدد من J؛ و قيمة حدية محلية صغرى إذا بقيت بدلا من ذلك أصغر أو تساوي. و القول أن قيمة الدالة عند x₀ قيمة حدية محلية يعني أنها عظمى أو صغرى.
الشرط الدقيق: قيمة حدية محلية عظمى
(∃ J ⊂ I, x₀ ∈ J) (∀ x ∈ J) f(x) ≤ f(x₀)
الشرط الدقيق: قيمة حدية محلية صغرى
(∃ J ⊂ I, x₀ ∈ J) (∀ x ∈ J) f(x) ≥ f(x₀)
مثال 1: تحديد القيم الحدية المحلية من جدول تغيرات دالة

🎯المطلوب: بيّن أن ⁦f(0)⁩ قيمة حدية محلية للدالة f، ثم بيّن أن ⁦f(1)⁩ ليست كذلك.

📌المعطى

القيم مأخوذة من جدول تغيرات f المُنشأ في الدرس السابق (مثال 1 و 2).

f ↘ : ]−∞;0] ; f ↗ : [0;+∞[ ; f(0) = −3
✅النّتيجة الأولى: ⁦f(0)⁩ قيمة حدية محلية صغرى

بما أن f متناقصة قبل 0 و متزايدة بعده، يوجد مجال مفتوح يشمل 0 (مثلا ⁦]−1;1[⁩) تكون عليه f أكبر أو تساوي قيمتها عند 0.

(∀ x ∈ ]−1;1[) f(x) ≥ f(0)
🔹الخطوة

عند ⁦x=1⁩، مشتقة f تنعدم لكن دون أن تغيّر إشارتها (موجبة قبل و بعد): f تبقى متزايدة على الجهتين معا.

f ↗ : ]0;1[ ∪ ]1;+∞[
✅النّتيجة الثانية: ⁦f(1)⁩ ليست قيمة حدية

بما أن f تبقى متزايدة على الجهتين، لا يوجد مجال مفتوح حول 1 تكون عليه ⁦f(1)⁩ أكبر أو أصغر من كل القيم المجاورة.

f(1) = −2
⭐ انعدام ⁦f′⁩ عند نقطة شرط ضروري لوجود قيمة حدية محلية، لكنه غير كافٍ: يجب أن تتغيّر إشارة ⁦f′⁩ فعلا عند تلك النقطة.

2. التفسير الاقتصادي: الكلفة الهامشية

الكلفة الهامشية للإنتاج هي الزيادة في الكلفة الإجمالية الناتجة عن صنع وحدة إضافية واحدة. و بما أن هذه الزيادة قريبة جدا من العدد المشتق للدالة كلفة، يُتّفق في الاقتصاد على المساواة بينهما.

الكلفة الهامشية (التعريف الدقيق)
Cm(q) = C(q+1) − C(q)
الاصطلاح المتّبع في الاقتصاد
Cm(q) = C′(q)
مثال 2: تعيين دالة الكلفة الهامشية

🎯المطلوب: عيّن الدالة Cₘ الكلفة الهامشية للإنتاج، انطلاقا من دالة الكلفة الإجمالية C.

📌المعطى

q تنتمي إلى ⁦[0;30]⁩.

C(q)=(13)q³ − 5q² + 30q + 10
🔹الخطوة 1: مشتقة C

نشتق كل حد من عبارة C على حدة.

C′(q) = q² − 10q + 30
✅النّتيجة

نطبق الاصطلاح المتفق عليه في الاقتصاد.

Cm(q) = q² − 10q + 30
⭐ الكلفة الهامشية دالة في q مثل C نفسها، لا عدد وحيد: هي تتغيّر مع الكمية المنتجة.
مثال 3: حل معادلة الكلفة الهامشية = ثمن البيع

🎯المطلوب: عيّن الكمية q من ⁦[0;30]⁩ التي تكون من أجلها الكلفة الهامشية مساوية لثمن بيع الوحدة.

📌المعطى

ثمن بيع الوحدة q هو 105.

Cm(q) = q² − 10q + 30
🔹الخطوة 1: صياغة المعادلة

نكتب المعادلة ⁦Cₘ(q) = 105⁩ ثم ننقل كل الحدود إلى طرف واحد.

q² − 10q + 30 = 105 ⟹ q² − 10q − 75 = 0
🔹الخطوة 2: حلا المعادلة

نحل معادلة الدرجة الثانية هذه؛ لها حلان.

q ∈ {−5 ; 15}
✅النّتيجة

الحل ⁦−5⁩ مرفوض لأن q يجب أن ينتمي إلى ⁦[0;30]⁩، فلا يبقى إلا الحل الموجب.

q = 15 ; C′(15) = 105
⭐ عند حل معادلة من الدرجة الثانية بسياق اقتصادي، لا تنسَ أبدا التحقق من انتماء كل حل إلى مجال الكمية المسموح بها قبل الإعلان عنه نتيجة نهائية.

3. تطبيق: البحث عن أكبر ربح ممكن

مثال 4: تعيين الكمية التي تُحقق أكبر ربح

🎯المطلوب: ادرس اتجاه تغير B على ⁦[0;1500]⁩، ثم استنتج الكمية q التي تُحقق أكبر ربح، و قيمة هذا الربح.

📌المعطى

q تنتمي إلى ⁦[0;1500]⁩.

B(q) = −0,1q² + 200q − 25000
🔹الخطوة 1: حساب ⁦B′⁩

B كثير حدود من الدرجة الثانية، قابل للاشتقاق على ⁦[0;1500]⁩.

B′(q) = −0,2q + 200
🔹الخطوة 2: انعدام ⁦B′⁩

نحل المعادلة ⁦B′(q) = 0⁩ لإيجاد النقطة الحرجة الوحيدة.

B′(q) = 0 ⟺ q = 1000
🔹الخطوة 3: اتجاه التغير (↗ = متزايدة ، ↘ = متناقصة)

المعامل الأول لـ B سالب، فمنحناها قطع مكافئ يفتح نحو الأسفل: ⁦B′⁩ موجبة قبل 1000 و سالبة بعده.

B ↗ : [0;1000] ; B ↘ : [1000;1500]
🔹الخطوة 4: تعويض ⁦q=1000⁩ في B

بما أن B تتزايد ثم تتناقص عند ⁦q=1000⁩، فهذه الكمية تُعطي قيمة حدية عظمى.

B(1000)=−0,1 × 1000² + 200 × 1000 − 25000
✅النّتيجة: الربح الأعظمي
B(1000) = 75000
⭐ نفس الحركة دائما: نشتق، نحل ⁦B′(q)=0⁩، ندرس التغير حول الحل، ثم نُصرّح بالقيمة الحدية العظمى أو الصغرى حسب اتجاه التغير قبلها و بعدها.
القمة تقع بالضبط عند ⁦q=1000⁩، و هي القيمة الحدية العظمى المحسوبة في هذا الدرس.
⭐ في كل تمرين اقتصادي، اربط المفردات: القيمة الحدية العظمى للربح هي بالضبط أكبر ربح ممكن، و الكمية التي تُحققها هي فاصلة تلك القيمة الحدية — نفس الأداة الرياضية، سياق مختلف فقط.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في أسئلة من نوع أمثلته: «بيّن أنّ ⁦f(x₀)⁩ قيمة حدّية محلّية»، و«عيّن دالّة الكلفة الهامشية»، و«استنتج الكمّية التي تحقّق أكبر ربح، وقيمة هذا الربح». جهّز ثلاثة عناصر: ① القيمة الحدّية المحلّية: نقطة يتحوّل عندها اتّجاه التغيّر، من التزايد إلى التناقص (عظمى) أو من التناقص إلى التزايد (صغرى) ؛ ② الكلفة الهامشية: تعريفها ⁦Cm(q) = C(q+1) − C(q)⁩، والاصطلاح المتّبع في الاقتصاد ⁦Cm(q) = C′(q)⁩، وهي دالّة في q لا عدد وحيد ؛ ③ أكبر ربح: احسب ⁦B′(q)⁩، وحلّ ⁦B′(q) = 0⁩، وادرس الإشارة، ثمّ أجب بالكمّية وبقيمة الربح معا. ⚠️ الخطأ الشائع: الاكتفاء بانعدام المشتقّة ؛ الانعدام شرط ضروري وغير كاف، ولا قيمة حدّية إلّا إذا غيّرت المشتقّة إشارتها. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الإبقاء على حلّ خارج مجال الدراسة، ككمّية سالبة في حلّ معادلة من الدرجة الثانية ؛ الكمّية المقبولة هي التي تنتمي إلى المجال.
القيمة الحدية المحلية هي نقطة يتحول عندها اتجاه تغير دالة، من التزايد إلى التناقص أو العكس؛ انعدام المشتقة شرط ضروري و غير كاف لوجودها. في الاقتصاد، تُقرأ الكلفة الهامشية بالعدد المشتق لدالة الكلفة (Cₘ يساوي ⁦C′⁩)، و البحث عن أكبر ربح ممكن هو بالضبط البحث عن القيمة الحدية العظمى لدالة الربح.

الصفحة 1/7

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net