الاشتقاقية والاستمرارية على مجال › الإشتقاقية 2
مركّب دالتين و اشتقاق دالة مركّبة
الجواب في جملة واحدة: دالة مركبة هي سلسلة من دالتين تُطبَّقان الواحدة بعد الأخرى، و اشتقاقها لا يحتاج قاعدة جديدة كليا، بل مبرهنة واحدة تربط مشتقتها بمشتقتي الدالتين المكوّنتين لها. هذا الدرس يبني هذه الفكرة أولا، ثم يستخرج منها ثلاث نتائج جاهزة تتكرر كثيرا في التمارين: مشتقة √u و un و 1/un.
- التعرف على دالة معطاة بأنها مركب دالتين بسيطتين، و كتابتها بالرمز v∘u
- حساب مركب دالتين معطاتين، و ملاحظة أن ترتيب التركيب يغير النتيجة
- تطبيق مبرهنة اشتقاق دالة مركبة: (v∘u)′(x) = v′[u(x)] × u′(x)
- استعمال نتائج الاشتقاق الخاصة بالدوال من الشكل √u و un و 1/un
- قواعد الاشتقاق الأساسية: مشتقة u+v و ku و uv و u/v، و مشتقات الدوال المرجعية
- أن قابلية الاشتقاق على مجال تعني وجود العدد المشتق عند كل نقطة من هذا المجال
- تعيين مجموعة تعريف دالة، و حساب قيمة دالة عند نقطة معينة
1. الدالة مركب دالتين
لتكن v دالة معرفة على مجال J، و u دالة معرفة على مجال I بحيث من أجل كل x من I يكون u(x) عنصرا من J. عندئذ يمكن تطبيق v على u(x)، فنحصل على عدد جديد v[u(x)]. هذه العملية المتتالية هي تركيب دالتين.
⭐ نقرأ الرمز v∘u من اليمين إلى اليسار عمليا: نطبق u أولا، ثم نطبق v على النتيجة. الترتيب مكتوب في الرمز نفسه: v∘u تعني «v دائرة u»، أي u أولا.
لتكن الدالتان u و v المعرفتان على ℝ بـ u(x) = 2x² − 3 و v(x) = −3x + 1.
🎯المطلوب: عيّن عبارة v∘u ثم عبارة u∘v، و قارن بينهما.
نبدأ بتطبيق u أولا كما يفرضه الرمز v∘u، ثم نطبق v على النتيجة.
ننشر عبارة v عند 2x² − 3.
و بما أن u و v معرفتان على ℝ كلتاهما، فالتركيب معرف على ℝ كذلك.
نعكس الترتيب الآن: نطبق v أولا، ثم u على النتيجة.
ننشر عبارة u عند −3x + 1، بعد تربيعها.
نقارن العبارتين في x = 0 مثلا: الأولى تعطي 10، و الثانية تعطي −1.
2. مشتقة الدالة v∘u
بعد أن عرفنا كيف نُركّب دالتين، نسأل: إذا كانت u و v قابلتين للاشتقاق، فهل v∘u قابلة للاشتقاق أيضا، و كيف نحسب مشتقتها بدلالة مشتقتي u و v؟
⭐ اقرأها كسلسلة: نشتق v عند النقطة u(x) (لا عند x)، ثم نضرب في مشتقة u عند x. لا يجوز اشتقاق v عند x مباشرة، لأن v تُطبَّق فعليا على u(x) لا على x.
و شرط هذه المبرهنة هو نفسه شرط التعريف: u قابلة للاشتقاق على I، و v قابلة للاشتقاق على المجال الذي تقع فيه قيم u، أي على u(I).
لتكن الدالة f المعرفة على ℝ بـ f(x) = 2(x² + 1)³ − 3.
🎯المطلوب: بيّن أن f قابلة للاشتقاق على ℝ، ثم احسب f′(x).
نحدد الدالتين البسيطتين اللتين تركّبتا لتكوين f.
نلاحظ أن f = v∘u مع u(x) = x² + 1 و v(X) = 2X³ − 3.
u كثير حدود، قابل للاشتقاق على ℝ، و مشتقته معروفة.
v كذلك كثير حدود، و مشتقته معروفة.
نطبق المبرهنة: نشتق v عند u(x) أي عند x² + 1، ثم نضرب في u′(x).
نبسّط الجداء.
3. ثلاث نتائج جاهزة، مبنية على المبرهنة
المبرهنة السابقة عامة، لكنها تتكرر في التمارين على ثلاثة أشكال بعينها: الجذر التربيعي لدالة، قوة دالة، و مقلوب قوة دالة. نُثبت كل نتيجة بتطبيق المبرهنة العامة على v مناسبة، ثم نستعملها مباشرة دون إعادة البرهان في كل مرة.
شرط هذه الصيغة أن تكون u قابلة للاشتقاق على مجال I و موجبة تماما عليه (و ليس موجبة فقط: الجذر التربيعي غير قابل للاشتقاق حيث u تنعدم).
لتكن الدالة f المعرفة على ℝ بـ f(x) = √(x² + 2).
🎯المطلوب: بيّن أن f قابلة للاشتقاق على ℝ، ثم احسب f′(x).
نحدد u التي يتركب منها f.
u كثير حدود قابل للاشتقاق على ℝ، و موجب تماما على ℝ بأكمله لأن x² ≥ 0.
إذن f قابلة للاشتقاق على ℝ كاملة، بلا أي استثناء.
نحسب u′ أولا.
نطبق صيغة (√u)′ = u′/(2√u) مباشرة.
نبسّط بحذف العامل 2 من البسط و المقام.
شرط هذه الصيغة أن تكون u قابلة للاشتقاق على مجال I؛ لا شرط على إشارتها، بخلاف √u، لأن رفع عدد سالب إلى قوة صحيحة n ≥ 2 معرف دائما.
لتكن الدالة f المعرفة على ℝ بـ f(x) = (2x² − 3x + 3)³.
🎯المطلوب: بيّن أن f قابلة للاشتقاق على ℝ، ثم احسب f′(x).
نحدد u التي يتركب منها f، و القوة n.
u كثير حدود قابل للاشتقاق على ℝ، فلا حاجة لدراسة إشارتها.
نحسب u′.
نطبق الصيغة (un)′ = n u′ un⁻¹ بـ n = 3.
نرتب الجداء.
شرط هذه الصيغة أن تكون u قابلة للاشتقاق على I و لا تنعدم عليه، و إلا فإن 1/un غير معرفة أصلا حيث u = 0.
لتكن الدالة g المعرفة على المجال ]1;+∞[ بـ g(x) = 1 / (x² − 1)³.
🎯المطلوب: بيّن أن g قابلة للاشتقاق على ]1;+∞[، ثم احسب g′(x).
نحدد u و n، و نتحقق أن g معرفة فعلا على المجال المعطى.
على المجال ]1;+∞[، لدينا x > 1 و منه x² > 1 أي u(x) > 0: u لا تنعدم هناك.
إذن g قابلة للاشتقاق على ]1;+∞[، لا على ℝ كاملة.
نحسب u′.
نطبق الصيغة (1/un)′ = −n u′/un⁺¹ بـ n = 3.
نبسّط الجداء في البسط.
4. حالة خاصة متكررة: الدالة g² و القراءة البيانية
تتكرر في التمارين حالة خاصة: دالة g معطاة بمنحناها لا بعبارتها، و نطلب دراسة f = g² انطلاقا من إشارتي g و g′ المقروءتين على الرسم. الصيغة (un)′ = n u′ un⁻¹ بـ n = 2 تعطي هنا f′ = 2 g′ g، و إشارة الجداء تُستنتج من جدول واحد يجمع إشارتي g و g′ معا.
التمثيل البياني لدالة g معرفة و قابلة للاشتقاق على [−1;3] يبين أن منحناها يمر بالنقطتين (−1;2) و (3;3)، يقطع محور الفواصل عند x=0 و x=2، و يقبل مماسا أفقيا عند x=1 حيث تبلغ g أصغر قيمها. نضع f(x) = [g(x)]².
🎯المطلوب: عيّن إشارة f′(x) بدلالة إشارتي g(x) و g′(x)، ثم استنتج إشارتها على [−1;3].
نقرأ إشارة g على المنحنى حيث هي موجبة: فوق محور الفواصل.
و حيث هي سالبة: تحت محور الفواصل.
نقرأ اتجاه تغير g على نفس المنحنى: متناقصة قبل القعر عند x=1.
عند القعر نفسه تنعدم المشتقة، لأن المماس هناك أفقي.
ثم متزايدة بعد القعر.
بما أن g قابلة للاشتقاق على [−1;3]، فإن f = g² قابلة للاشتقاق على نفس المجال.
نطبق الصيغة (un)′ = n u′ un⁻¹ بـ u = g و n = 2.
إشارة f′ هي إشارة الجداء g′ × g: نضرب إشارتي الخطوتين 1 و 2، فاصلا بفاصل.
نواصل الضرب على الفاصل الموالي.
ثم على الفاصل الذي يلي x = 1.
و أخيرا على آخر فاصل.
الأصفار الثلاثة تأتي من انعدام أحد العاملين: g تنعدم في 0 و 2، و g′ تنعدم في 1.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net