مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الاشتقاقية والاستمرارية على مجال الإستمرارية

مبرهنة القيم المتوسطة و نتيجتها للدوال الرتيبة تماما

🔊 المعلّمة تقرأ لك
معادلة من الشكل ⁦f(x) = k⁩ قد يصعب حلها جبريا بالطرق المعتادة، لكن منحنى الدالة f يوحي بوجود حل بين عددين محددين a و b. فكيف نثبت رياضيا أن هذه المعادلة تقبل حلا فعلا دون حله صراحة، و كيف نضمن أنه الحل الوحيد؟

الجواب في جملة واحدة: الاستمرارية وحدها تضمن وجود حل، و الرتابة التامة تضمن أنه وحيد. هذا الدرس يقدم المبرهنة التي تثبت الوجود، ثم نتيجتها المباشرة التي تضيف الوحدانية عند دالة رتيبة تماما.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • التعرف على نص مبرهنة القيم المتوسطة، و شرط تطبيقها: الاستمرارية على مجال مغلق
  • إثبات وجود حل على الأقل لمعادلة من الشكل ⁦f(x) = k⁩ باستعمال المبرهنة
  • استعمال نتيجة المبرهنة (الاستمرارية مع الرتابة التامة) لإثبات وحدانية الحل
  • تعيين حصر لحل معادلة، بسعة معينة، باستعمال حاسبة بيانية
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • دراسة اتجاه تغير دالة باستعمال إشارة مشتقتها، و تشكيل جدول التغيرات
  • أن الدوال كثيرات الحدود مستمرة على ℝ، و أن كل دالة ناطقة مستمرة على مجموعة تعريفها
  • حساب قيمة دالة عند نقطة معينة، و مقارنة عددين حقيقيين

1. مبرهنة القيم المتوسطة

مبرهنة القيم المتوسطة (f مستمرة على ⁦[a;b]⁩)

⭐ الشرط الوحيد هو استمرارية ⁦f⁩ على المجال المغلق ⁦⁦[a;b]⁩⁩. المبرهنة تضمن وجود حل واحد على الأقل، لكنها لا تقول أين هو بالضبط، و لا كم عدد الحلول.

k∈[min(f(a),f(b));max(f(a),f(b))] ⟹ ∃c∈[a;b], f(c) = k

بصيغة أخرى، أقرب إلى صيغة التمارين: إذا كانت ⁦f⁩ مستمرة على ⁦⁦[a;b]⁩⁩، فإن المعادلة ⁦⁦f(x) = k⁩⁩ تقبل، من أجل كل ⁦k⁩ محصور بين ⁦⁦f(a)⁩⁩ و ⁦⁦f(b)⁩⁩، حلا ⁦c⁩ على الأقل محصورا بين ⁦a⁩ و ⁦b⁩.

المستقيم ⁦y=k⁩ يقطع المنحنى ثلاث مرات هنا لأن f ليست رتيبة على كامل ⁦[a;b]⁩؛ لو كانت رتيبة تماما لما قطعه إلا مرة واحدة.
⛔ المبرهنة تثبت الوجود فقط، لا القيمة. تحديد قيمة ⁦c⁩ بدقة، أو حصرها بسعة معينة، يحتاج طريقة أخرى (عادة حاسبة بيانية)؛ المبرهنة نفسها لا تعطي أي قيمة عددية.
مثال 1: إثبات وجود حل بواسطة المبرهنة

لتكن الدالة ⁦f⁩ المعرفة على ⁦ℝ⁩ بـ ⁦⁦f(x) = x³ + 2x² + x + 1⁩⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن المعادلة ⁦⁦f(x) = 0⁩⁩ تقبل على الأقل حلا في مجال يُطلب تحديده.

🔹الخطوة 1: شرط الاستمرارية (f كثير حدود، مستمرة على ℝ)

⁦f⁩ كثير حدود، فهي مستمرة على ⁦ℝ⁩، و بصفة خاصة على ⁦⁦[−2;−1]⁩⁩.

[−2;−1] ⊂ ℝ
🔹الخطوة 2: حساب ⁦f(−2)⁩ و ⁦f(−1)⁩

نحسب قيمتي ⁦f⁩ عند طرفي المجال المرشح.

f(−2) = −8 + 8 − 2 + 1 = −1 , f(−1) = −1+2−1+1 = 1
🔹الخطوة 3: تغير الإشارة

القيمتان من إشارتين مختلفتين، فهما تحصران ⁦0⁩ بينهما.

f(−2) = −1 < 0 , f(−1) = 1 > 0
✅النّتيجة (حسب مبرهنة القيم المتوسطة)

الشروط الثلاثة مجتمعة (استمرارية، ⁦0⁩ محصور بين ⁦⁦f(−2)⁩⁩ و ⁦⁦f(−1)⁩⁩) تسمح بتطبيق المبرهنة.

∃c∈[−2;−1], f(c) = 0
⭐ ثلاثة أشياء تُكتب دائما، بهذا الترتيب: الاستمرارية، القيمتان عند الطرفين، ثم تغير الإشارة بينهما. حذف أي واحدة منها يجعل التطبيق ناقصا، حتى لو كانت النتيجة صحيحة.
منحنى متصل ينتقل من تحت محور الفواصل إلى فوقه بين ⁦−2⁩ و ⁦−1⁩، فلا بد أن يقطعه: هذا ما تضمنه مبرهنة القيم المتوسطة.

2. النتيجة: الاستمرارية مع الرتابة التامة تعطي حلا وحيدا

✅نتيجة مبرهنة القيم المتوسطة (f مستمرة و رتيبة تماما على ⁦[a;b]⁩)

⭐ المبرهنة وحدها تضمن وجود حل. إضافة الرتابة التامة (متزايدة تماما أو متناقصة تماما) تمنع وجود حل ثان: جدول التغيرات نفسه يصبح دليل الوحدانية.

k∈[min(f(a),f(b));max(f(a),f(b))] ⟹ ∃! x₀∈[a;b], f(x₀) = k
⭐ الرتابة التامة تُقرأ مباشرة من جدول التغيرات: إذا كان ⁦⁦f′⁩⁩ من إشارة ثابتة (موجبة أو سالبة) على المجال كله، فالدالة رتيبة تماما عليه، و المبرهنة تنطبق بنتيجتها الكاملة.
مثال 2: إثبات الوجود ثم الوحدانية، بجدول التغيرات

لتكن الدالة ⁦f⁩ المعرفة على ⁦⁦[−4;3]⁩⁩ بـ ⁦⁦f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 1⁩⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن المعادلة ⁦⁦f(x) = 8⁩⁩ تقبل حلا وحيدا في المجال ⁦⁦[−2;1]⁩⁩.

🔹الخطوة 1: حساب ⁦f′(x)⁩

نحسب ⁦⁦f′(x)⁩⁩ أولا، لأنها ستُستعمل لدراسة الرتابة.

f′(x)=6x² + 6x − 12=6(x + 2)(x − 1)
🔹الخطوة 2: إشارة ⁦f′⁩ على ⁦]−2;1[⁩

نحدد إشارة ⁦⁦f′⁩⁩ بين جذريها ⁦⁦−2⁩⁩ و ⁦1⁩.

f′(x) < 0 , x∈]−2;1[
🔹الخطوة 3: الرتابة على ⁦[−2;1]⁩ (متناقصة تماما)

⁦⁦f′⁩⁩ سالبة تماما على ⁦⁦]−2;1[⁩⁩، فالدالة متناقصة تماما هناك.

f′(x) < 0 ⟹ f↘
🔹الخطوة 4: حساب ⁦f(−2)⁩ و ⁦f(1)⁩

نحسب قيمتي ⁦f⁩ عند طرفي هذا المجال.

f(−2) = 21 , f(1) = −6
🔹الخطوة 5: التحقق أن 8 محصور

⁦8⁩ محصور فعلا بين هاتين القيمتين.

−6 ≤ 8 ≤ 21
🔹الخطوة 6: شرط الاستمرارية (f كثير حدود)

⁦f⁩ كثير حدود فهي مستمرة على ⁦ℝ⁩، و بصفة خاصة على ⁦⁦[−2;1]⁩⁩: الاستمرارية متوفرة.

[−2;1] ⊂ ℝ
✅النّتيجة

الشروط الثلاثة مجتمعة (استمرارية، ⁦8⁩ محصور، رتابة تامة) تسمح بتطبيق النتيجة كاملة.

∃! c∈[−2;1], f(c) = 8
⭐ الوحدانية تحتاج حجة إضافية على الوجود: الرتابة التامة. لو اكتفينا بالاستمرارية و تغير الإشارة، لضمنّا وجود حل واحد على الأقل، لكن لم نكن لنعرف إن كان وحيدا. الرتابة التامة هي التي تمنع وجود حل ثانٍ.

3. تعيين حصر للحل بحاسبة بيانية

المبرهنة و نتيجتها تثبتان وجود الحل، لكنهما لا تحسبانه. لتقريب قيمته بسعة معينة، نستعمل حاسبة بيانية أو مجدولا: نُضيّق المجال تدريجيا، بمقارنة إشارة ⁦⁦f(x) − k⁩⁩ عند قيم متقاربة أكثر فأكثر.

مثال 3: تضييق الحصر إلى سعة ⁦10⁻²⁩

نُكمل التمرين السابق على الدالة ⁦⁦f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 1⁩⁩، حيث ⁦c⁩ هو الحل الوحيد للمعادلة ⁦⁦f(x) = 8⁩⁩ في ⁦⁦[−2;1]⁩⁩.

🎯المطلوب: باستعمال حاسبة بيانية، أوجد حصرا لهذا الحل سعته ⁦⁦10⁻²⁩⁩.

📌المعطى: المجال الأولي

نبدأ من المجال ⁦⁦[−2;1]⁩⁩ الذي أثبتنا فيه الوجود و الوحدانية في المثال السابق، حيث ⁦f⁩ متناقصة تماما.

c ∈ [−2;1]
🔹الخطوة 1: قراءة f عند ⁦−0,54⁩ و ⁦−0,53⁩

باستعمال حاسبة بيانية، نُظهر قيمتي ⁦f⁩ عند نقطتين متقاربتين بخطوة ⁦⁦10⁻²⁩⁩.

f(−0,54) = 8,039872 , f(−0,53) = 7,904946
🔹الخطوة 2: مقارنة القيمتين بـ 8

⁦8⁩ محصور بين هاتين القيمتين، و بما أن ⁦f⁩ متناقصة تماما، فإن ⁦c⁩ محصور بين ⁦⁦−0,54⁩⁩ و ⁦⁦−0,53⁩⁩.

7,904946 < 8 < 8,039872
✅النّتيجة

نستنتج الحصر المطلوب، من سعة بالضبط ⁦⁦10⁻²⁩⁩.

−0,54 < c < −0,53
⭐ الرتابة التامة، التي أثبتت الوحدانية، هي نفسها التي تسمح بتضييق الحصر بثقة. بما أن ⁦f⁩ متناقصة تماما، فكل تضييق في المجال حول ⁦c⁩ يقابله تضييق مطابق في القيم بين ⁦f⁩ عند طرفيه: لا حاجة لإعادة إثبات شيء عند كل خطوة تضييق.

4. النتيجة على مجال غير محدود

النتيجة تبقى صالحة على مجال غير محدود مثل ℝ، و جدول التغيرات يكفي لقراءتها: إذا كانت f مستمرة و متزايدة تماما على ℝ (⁦f′(x) > 0⁩)، و نهايتها ⁦−∞⁩ عند ⁦−∞⁩ و ⁦+∞⁩ عند ⁦+∞⁩، فإن المعادلة ⁦f(x) = k⁩ تقبل حلا وحيدا من أجل كل عدد حقيقي k. النهايتان تقومان هنا مقام القيمتين ⁦f(a)⁩ و ⁦f(b)⁩: كل عدد حقيقي k محصور بينهما.

سهم واحد صاعد من ⁦−∞⁩ إلى ⁦+∞⁩: كل عدد حقيقي k تبلغه الدالة مرة واحدة بالضبط.
✅نتيجة المبرهنة على ℝ (f مستمرة و متزايدة تماما على ℝ)
limx→−∞ f(x) = −∞ ; limx→+∞ f(x) = +∞ ⟹ ∀k∈ℝ, ∃! x₀∈ℝ, f(x₀) = k
مثال 4: حل وحيد على ℝ كلها

لتكن الدالة f المعرفة على ℝ بـ ⁦f(x) = x³ + 3x − 5⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن المعادلة ⁦f(x) = 0⁩ تقبل حلا وحيدا في ℝ.

🔹الخطوة 1: المشتقة

f كثير حدود، فهي مستمرة و قابلة للاشتقاق على ℝ.

f′(x) = 3x² + 3
🔹الخطوة 2: الرتابة (متزايدة تماما)

مربع موجب مضاف إليه 3: المشتقة موجبة تماما على ℝ كلها، فالدالة متزايدة تماما عليها.

3x² + 3 > 0 ⟹ f↗
🔹الخطوة 3: النهاية عند ⁦−∞⁩

عند اللانهاية، كثير الحدود يسلك سلوك حدّه الأعلى درجة.

limx→−∞ f(x) = limx→−∞ x³ = −∞
🔹الخطوة 4: النهاية عند ⁦+∞⁩
limx→+∞ f(x) = limx→+∞ x³ = +∞
✅النّتيجة (حسب نتيجة المبرهنة على ℝ)

العدد 0 محصور بين النهايتين ⁦−∞⁩ و ⁦+∞⁩، و الدالة مستمرة و متزايدة تماما على ℝ.

∃! α∈ℝ, f(α) = 0
⭐ على ℝ لا توجد قيمتا طرفين نحسبهما: النهايتان في جدول التغيرات هما اللتان تحصران k. اكتب إذن النهايتين مع الرتابة التامة، ثم استشهد بالنتيجة.
⛔ في الباكالوريا، لا تُقبل نصف علامة من دون كتابة الشروط الثلاثة كاملة: استمرارية ⁦f⁩ على المجال المغلق، القيمتان عند طرفيه مع مقارنتهما بـ ⁦k⁩، ثم عبارة صريحة تستشهد بمبرهنة القيم المتوسطة (أو نتيجتها إن كانت الوحدانية مطلوبة). لا تكتفِ بجملة «يوجد حل بيانيا» دون كتابة الحساب الذي يثبته.
الخلاصة: مبرهنة القيم المتوسطة تضمن وجود حل على الأقل لمعادلة ⁦⁦f(x) = k⁩⁩، بشرط وحيد هو استمرارية ⁦f⁩ على مجال مغلق ⁦⁦[a;b]⁩⁩ يحصر ⁦k⁩ بين قيمتي طرفيه. إضافة الرتابة التامة لـ ⁦f⁩ على نفس المجال تضمن أن هذا الحل وحيد، و جدول التغيرات يصبح دليل الوجود و الوحدانية معا. تعيين قيمة الحل بدقة، أو حصره بسعة معينة، يبقى عمل حاسبة بيانية، لا عمل المبرهنة.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net