النهايات
العمليات على النهايات، النهاية بالمقارنة و نهاية دالة مركّبة
الجواب في جملتين: إن كانت الدالّة مركّبة من دالّتين تعرف نهايتيهما، فسلسلة النهايتين تعطي النهاية المطلوبة مباشرة؛ و إن كانت الدالّة محصورة بين دالّتين تؤولان إلى نفس العدد، فهي تؤول إليه أيضا، دون أن نعرف عبارتها. هذا الدرس يبني الأداتين، ثمّ يبيّن أنّ التأطير وحده — دون تساوي في الوجهة — لا يكفي أبدا.
- التعرّف على الدالّة المركّبة من دالّتين u و v و كتابتها بالرمز v∘u
- تطبيق مبرهنة نهاية دالّة مركّبة بتحديد u و v و سلسلة النهايتين
- استعمال نظرية الحصر لاستنتاج نهاية دالّة محصورة بين دالّتين
- التمييز بين تأطير يحسم النهاية و تأطير لا يسمح بأيّ استنتاج
- حساب نهاية دالّة مرجعية (كثير حدود، دالّة ناطقة، جذر تربيعي) عند اللانهاية، من دروس السنة الثانية
- مفهوم الدالّة و مجال تعريفها
1. الدالّة المركّبة من دالّتين
عندما تُطبَّق دالّة على نتيجة دالّة أخرى، نحصل على دالّة جديدة تسمّى الدالّة المركّبة. و لكي يصحّ هذا التركيب، يجب أن تقع كلّ قيمة تُعطيها الدالّة الأولى داخل مجال تعريف الدالّة الثانية.
u معرّفة على مجال I و v معرّفة على مجال J: لا يصحّ تطبيق v على u(x) إلّا إذا وقعت هذه القيمة داخل J.
⭐ اقرأ الرمز v∘u من اليمين إلى اليسار: نطبّق u أوّلا على x، ثمّ نطبّق v على النتيجة التي نحصل عليها.
و رمز v∘u ليس هو رمز u∘v: التركيب يتغيّر بتغيّر ترتيب الدالّتين، و المثال الآتي يبيّن ذلك بحساب صريح.
u و v دالّتان معرّفتان على مجموعة الأعداد الحقيقية.
🎯المطلوب: احسب (v∘u)(x) و (u∘v)(x)، ثمّ قارن بين الدالّتين المركّبتين.
نعوّض عبارة u مكان x في v.
ننشر و نبسّط.
نعوّض عبارة v مكان x في u.
ننشر المربّع ثمّ نبسّط.
نقارن الدالّتين المركّبتين عند نفس القيمة، مثلا عند الصفر: −6×0+10 يساوي 10، بينما 18×0−12×0−1 يساوي −1.
2. نهاية الدالّة المركّبة
لحساب نهاية دالّة مركّبة، لا حاجة لتبسيط عبارتها: يكفي معرفة نهايتَي الدالّتين الأصليّتين، متتاليتين.
⭐ سلسلة من نهايتين تنتج نهاية ثالثة: النهاية الأولى تحدّد إلى أين تذهب u، و النهاية الثانية تحدّد إلى أين تذهب v عند تلك الوجهة بالذات.
و الأعداد a و b و c قد تكون منتهية أو تساوي +∞ أو −∞: النتيجة نفسها تبقى صحيحة في كلّ الحالات.
الدالّة f تبدو معقّدة، لكنّها مركّبة من دالّتين بسيطتين.
🎯المطلوب: أدرس نهاية الدالّة f عند +∞.
نلاحظ أنّ f تُحسب على مرحلتين: كسر جبريّ، ثمّ جذر تربيعيّ.
نهاية كسر جبريّ عند اللانهاية هي نهاية حدّي أعلى درجة في البسط و في المقام.
نطبّق v، أي الجذر التربيعيّ، على الوجهة التي بلغتها u.
نجمع النهايتين وفق مبرهنة نهاية الدالّة المركّبة.
3. النهايات بالمقارنة
توجد حالات لا نعرف فيها عبارة الدالّة صراحة، لكنّنا نعرف أنّها محصورة بين دالّتين أو مقارنة بدالّة أخرى: عندئذ نستنتج نهايتها من نهايتَي الدالّتين المعروفتين، دون حساب عبارتها.
⭐ إذا كانت f محصورة بين حدّين يؤولان إلى نفس العدد l، فهي تُجبَر على أن تؤول إلى l أيضا.
f أكبر من أو تساوي دالّة تؤول إلى +∞: فهي مجبرة على الذهاب إلى +∞ أيضا، دون أن نحتاج عبارتها.
تمتدّ هذه الخواصّ الثلاث إلى حالة النهاية عند −∞ و إلى حالة النهاية عند عدد حقيقي، بنفس الصياغة.
دالّة f محصورة بين دالّتين معروفتَي النهاية، من أجل كلّ x سالب تماما.
🎯المطلوب: عيّن نهاية الدالّة f عند −∞.
نهاية كسر جبريّ عند اللانهاية هي نهاية حدّي أعلى درجة.
الحدّان يؤولان إلى نفس العدد، فنطبّق نظرية الحصر.
و يمكن كذلك تحديد موقع المنحني الممثّل لهذه الدالّة بالنسبة إلى المنحنيين المرسومين للدالّتين الحادّتين، كما يبيّنه الشكل الآتي.
دالّة f معرّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية.
🎯المطلوب: عيّن نهاية f عند −∞، ثمّ بيّن هل يمكن استنتاج نهايتها عند +∞.
نهاية دالّة تآلفية عند −∞.
f أصغر من أو تساوي دالّة تؤول إلى −∞، فهي مجبرة على الذهاب إلى −∞ أيضا.
نفس التأطير، لكن عند +∞ هذه المرّة.
هذه الدالّة نفسها تحقّق الفرض بالمساواة، و نهايتها +∞: إذن +∞ احتمال ممكن، لكنّه غير محتوم بالفرض وحده.
4. العمليات على النهايات: المجموع و الجداء
نهاية المجموع f + g عند a، حيث a عدد حقيقي أو +∞ أو −∞: إذا كانت النهايتان عددين l و l′ فنهاية المجموع l + l′. و إذا كانت إحداهما عددا l و الأخرى +∞ فنهاية المجموع +∞، و إن كانت الأخرى −∞ فنهايته −∞. و مجموع نهايتين +∞ هو +∞، و مجموع نهايتين −∞ هو −∞. أمّا إذا كانت إحداهما +∞ و الأخرى −∞ فلا تكفي النهايتان وحدهما للاستنتاج: نقول إنّها حالة عدم تعيين، و نرمز لها ح ع ت.
الدالّة f مجموع دالّتين نعرف نهايتيهما عند +∞.
🎯المطلوب: أدرس نهاية الدالّة f عند +∞.
نهاية كسر جبريّ عند اللانهاية هي نهاية حدّي أعلى درجة في البسط و في المقام.
عدد زائد +∞ يعطي +∞.
نهاية الجداء f × g عند a: إذا كانت النهايتان عددين l و l′ فنهاية الجداء l × l′. و إذا كانت إحداهما عددا l غير معدوم و الأخرى +∞ أو −∞، فنهاية الجداء لانهائية، و إشارة l هي التي تحكم: l > 0 تُبقي إشارة اللانهاية، و l < 0 تقلبها. و جداء نهايتين لانهائيتين لانهائيّ بقاعدة الإشارات نفسها: (+∞) × (+∞) = +∞، و (+∞) × (−∞) = −∞، و (−∞) × (−∞) = +∞. أمّا إذا كانت إحدى النهايتين 0 و الأخرى لانهائية، فهي حالة عدم تعيين.
الدالّة f معرّفة على [0 ; +∞[، و هي جداء عاملين نعرف نهايتيهما عند +∞.
🎯المطلوب: أدرس نهاية الدالّة f عند +∞.
نهاية كسر جبريّ عند اللانهاية هي نهاية حدّي أعلى درجة في البسط و في المقام.
العدد −3 سالب، فجداؤه في +∞ يعطي −∞: إشارة l هي التي تحكم.
الصفحة 1/11
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net