الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال الأصلية والتكاملات الدوال الأصلية

الدوال الأصلية لدالة على مجال

🔊 المعلّمة تقرأ لك

تعرف مشتقّة دالة معطاة فتحسبها مباشرة بتطبيق القواعد. تخيّل الآن المسار المعاكس: المعطى الوحيد بين يديك هو نتيجة الاشتقاق، أي المشتقّة نفسها، و المطلوب هو الرجوع إلى الدالة الأصل. فكيف نبحث عن دالة انطلاقا من مشتقّتها، و هل تكون هذه الدالة وحيدة؟

سنعرّف في هذا الدرس عملية الرجوع من المشتقّة إلى الدالة، و نسمّيها الدالة الأصلية. سنرى أنّها ليست وحيدة إلّا إذا فرضنا شرطا إضافيا يحدّد ثابتا واحدا.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

التعرّف على مفهوم الدالة الأصلية لدالة معطاة على مجال، و التحقّق منها بحساب المشتقّة
معرفة أنّ دالتين أصليتين لنفس الدالة على نفس المجال تختلفان بثابت فقط
تعيين الدالة الأصلية الوحيدة التي تحقّق شرطا ابتدائيا معيّنا
إثبات أنّ دالتين معطاتين أصليتان لنفس الدالة بطريقتين مختلفتين

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب مشتقّة دالة بقواعد الاشتقاق المعروفة
التعبير عن مجموعة تعريف دالة و صياغتها على شكل مجال أو اتّحاد مجالات

1. تعريف الدالة الأصلية لدالة على مجال

لتكن f دالة معرّفة على مجال I. نسمّي دالة أصلية للدالة f على المجال I كلّ دالة F قابلة للاشتقاق على I تحقّق الشرط الآتي:

تعريف الدالة الأصلية

انتبه: الدالة القابلة للاشتقاق هنا هي F لا f، لأنّ F هي التي تُشتقّ في هذا الشرط.

F'(x) = f(x)

مثال 1: التحقّق من دالة أصلية

🎯المطلوب: تحقّق أنّ الدالتين F و G أدناه دالتان أصليتان لنفس الدالة f على ℝ.

📌المعطى

f(x) = 2x − 3

🔹الخطوة 1: مشتقّة الدالة الأولى

نحسب مشتقّة الدالة الأولى و نقارنها بـ f.

F(x) = x² − 3x + 1 ⟹ F'(x) = 2x − 3

✅النّتيجة 1

F'(x) = f(x)

🔹الخطوة 2: مشتقّة الدالة الثانية

نفعل نفس الشيء مع دالة ثانية تختلف عن الأولى بثابت غير نسبي.

G(x) = x² − 3x − √2 ⟹ G'(x) = 2x − 3

✅النّتيجة 2

G'(x) = f(x)

⭐ الثابت العددي، مهما كانت طبيعته (صحيح أو جذر)، يختفي عند الاشتقاق: هذا هو سرّ وجود أكثر من دالة أصلية واحدة لنفس الدالة.

2. مجموعة الدوال الأصلية لدالة

خاصّية 1 (تُقبل دون برهان): إذا كانت f دالة مستمرّة على مجال I فإنّها تقبل دوالا أصلية على I.

خاصّية 2: إذا كانت F دالة أصلية للدالة f على المجال I، فإنّ كلّ الدوال الأصلية للدالة f على I هي الدوال المعرّفة على الشكل الآتي، حيث k عدد حقيقي ثابت:

مجموعة الدوال الأصلية

F(x) + k

نتيجة: دالتان أصليتان لنفس الدالة على نفس المجال تختلفان بثابت فقط.

مثال 2: تعيين مجموعة الدوال الأصلية

🎯المطلوب: عيّن كلّ الدوال الأصلية للدالة f المعرّفة على ℝ بالعبارة أعلاه.

📌المعطى

f(x) = 3x² + 4x − 2

🔹الخطوة 1: دالة أصلية واحدة

نبحث عن دالة واحدة مشتقّتها f، بقراءة قاعدة الاشتقاق بالمقلوب على كلّ حدّ.

F(x) = x³ + 2x² − 2x

🔹الخطوة 2: التحقّق

F'(x) = 3x² + 4x − 2

✅النّتيجة: كلّ الدوال الأصلية

F(x)=x³ + 2x² − 2x + k

3. الدالة الأصلية التي تحقّق شرطا معيّنا

إذا أضفنا إلى الشرط أنّ الدالة الأصلية يجب أن تأخذ قيمة معيّنة عند نقطة محدّدة من المجال، فإنّ الدالة الأصلية التي تحقّق هذا الشرط تصير وحيدة: الشرط الإضافي يحدّد قيمة الثابت k بدقّة، بحلّ معادلة من الدرجة الأولى فيه وحده.

مثال 3: تعيين الدالة الأصلية بشرط ابتدائي

🎯المطلوب: عيّن الدالة الأصلية F للدالة f المعرّفة على ℝ بالعبارة أعلاه و التي تحقّق الشرط ⁦F(2) = −1⁩.

📌المعطى

f(x) = 2x − 1 ; F(2) = −1

🔹الخطوة 1: كلّ الدوال الأصلية

نكتب أوّلا الشكل العامّ لكلّ الدوال الأصلية.

F(x) = x² − x + k

🔹الخطوة 2: تعويض الشرط

نعوّض x بالقيمة 2 و ⁦F(x)⁩ بالقيمة ⁦−1⁩، فنحصل على معادلة في k وحده.

F(2) = −1 ⟺ 4 − 2 + k = −1

🔹الخطوة 3: حلّ المعادلة في k

k = −3

✅النّتيجة

F(x) = x² − x − 3

⭐ عوّض x بالقيمة x₀ و ⁦F(x)⁩ بالقيمة y₀ في الشكل العامّ، ثمّ احلّ المعادلة الناتجة في k وحده.

مثال 4: إثبات أنّ دالتين أصليتان لنفس الدالة بطريقتين

🎯المطلوب: بيّن، باستعمال طريقتين مختلفتين، أنّ الدالتين F و G أعلاه دالتان أصليتان لنفس الدالة على المجال ⁦]2;+∞[⁩.

📌المعطى

F(x) = x² − 2x + 3x − 2 ; G(x) = 2x − 1x − 2 + x

🔹الخطوة 1: الطريقة الأولى — المشتقّتان

الطريقة الأولى: نحسب مشتقّة كلّ دالة و نقارنهما.

F'(x) = x² − 4x + 1(x − 2)² ; G'(x) = x² − 4x + 1(x − 2)²

✅النّتيجة 1

F'(x) = G'(x)

🔹الخطوة 2: الطريقة الثانية — الفرق

الطريقة الثانية: نحسب الفرق بين الدالتين، و نبيّن أنّه ثابت.

F(x) − G(x)=−2(x − 2)x − 2

✅النّتيجة 2

F(x) − G(x) = −2

⭐ طريقتان لنفس النتيجة: إمّا حساب المشتقّتين و مقارنتهما، و إمّا حساب الفرق و التحقّق أنّه ثابت. اختر الأسهل حسابيا حسب الحالة.

4. التفسير البياني

التمثيلات البيانية للدوال الأصلية لنفس الدالة تُستنتج من أحدها بواسطة انسحابات شعاعها عمودي، أي أنّها منحنيات متطابقة الشكل مرصوفة فوق بعضها البعض. من بين كلّ هذه المنحنيات، واحد فقط يمرّ من نقطة معطاة سلفا، و هو الذي يحدّده الشرط الابتدائي.

أربعة منحنيات متطابقة على شكل حرف S، فوق بعضها البعض بانسحاب عمودي، و منحنى واحد منها فقط يمرّ بالنقطة ذات الإحداثيين x0 و y0. — ⭐ كلّ هذه المنحنيات لها نفس المشتقّة، لكن منحنى واحدا فقط منها يمرّ بالنقطة المعطاة.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في سؤالين قصيرين: «بيّن أنّ الدالّة F دالّة أصلية للدالّة f على المجال I»، و«عيّن الدالّة الأصلية لـ f التي تحقّق شرطا معطى». جهّز ثلاثة عناصر: ① التحقّق بالاشتقاق: احسب ⁦F′(x)⁩ وقارنها بـ ⁦f(x)⁩ على المجال — هذا وحده يكفي، ولا حاجة إلى البحث عن F ؛ ② مجموعة الدوالّ الأصلية: كلّها من الشكل ⁦F(x) + k⁩، ودالّتان أصليتان لنفس الدالّة على نفس المجال تختلفان بثابت فقط، فيكفي أن تبيّن أنّ فرقهما ثابت ؛ ③ الشرط الابتدائي: عوّض بالقيمة المعطاة في ⁦F(x) + k⁩، واستخرج k، ثمّ اكتب عبارة الدالّة كاملة. ⚠️ الخطأ الشائع: نسيان الثابت k، أو الوقوف عند قيمته دون كتابة عبارة الدالّة الأصلية المطلوبة. ⚠️ وخطأ ثانٍ: إغفال المجال ؛ الدالّة الأصلية تُعيَّن على مجال تكون فيه f مستمرّة.

الخلاصة: دالة f المستمرّة على مجال I تقبل عددا لا نهائيا من الدوال الأصلية عليه، تختلف كلّها بثابت فقط. للتحقّق من أنّ دالة معطاة أصلية لأخرى، نحسب مشتقّتها و نقارنها بالدالة المعطاة. و لتعيين دالة أصلية وحيدة من بينها، نضيف شرطا ابتدائيا يحدّد قيمة الثابت.

الصفحة 1/8