دراسة دوال › مسائل حول دراسة دوال عددية
حل مسائل: الدراسة الكاملة لدالة ناطقة
سندرس في هذه المسألة نموذجين لدراسة دالة ناطقة دراسة كاملة، سؤالا سؤالا، بنفس ترتيب أيّ موضوع بكالوريا: مجموعة التعريف، فالنهايات و المقاربات، فالمشتقّة و التغيّرات، فخاصّية إضافية للمنحنى. في النموذج الأوّل تتحلّل المشتقّة مباشرة إلى عوامل معروفة الإشارة. في النموذج الثاني تتعقّد عبارة المشتقّة، فنستعين بدالة مساعدة ندرسها على حدة قبل الرجوع إلى الدالة الأصليّة. كلّ خطوة تستعمل نتيجة الخطوة التي قبلها.
- حساب نهايات دالة ناطقة عند أطراف مجموعة تعريفها و استنتاج مقارباتها العمودية
- دراسة اتّجاه تغيّر دالة ناطقة و بناء جدول تغيّراتها الكامل
- إثبات وجود مستقيم مقارب مائل بكتابة الدالة على شكل مجموع حدّ خطّي و حدّ يؤول إلى الصفر
- تحديد وضعية منحنى بالنسبة لمستقيمه المقارب المائل باستعمال إشارة الفرق
- إثبات وجود حلّ وحيد لمعادلة على مجال، و حصره، ثمّ التحقّق من وجود مركز تناظر
- الاستعانة بدالة مساعدة لتحديد إشارة مشتقّة لا تتحلّل مباشرة إلى عوامل معروفة
- تحديد وضعية منحنى بالنسبة لمماسه عند نقطة، و التعرّف على نقطة الانعطاف
- حساب النهايات عند أطراف مجموعة التعريف، و نهاية دالة ناطقة عند اللانهاية
- اشتقاق دالة ناطقة بقاعدة اشتقاق قسمة دالتين
- معنى المستقيم المقارب العمودي و المستقيم المقارب الأفقي
1. معطيات المسألة
المقام x²−1 ينعدم من أجل x=−1 و x=1، فهاتان القيمتان مطروحتان من ℝ.
2. النهايات و المستقيمات المقاربة العمودية
🎯المطلوب: احسب نهايات الدالة f عند أطراف مجموعة تعريفها، ثمّ استنتج المستقيمات المقاربة الموازية لمحور التراتيب.
البسط من الدرجة الثالثة و المقام من الدرجة الثانية: عند اللانهاية تتصرّف الدالة كحاصل قسمة حدّيهما الأعليين، أي كـ x.
على يسار −1، البسط سالب و المقام موجب صغير جدّا فيؤول إلى 0⁺.
نفس الفكرة عند 1، مع تغيّر إشارة المقام من جهة إلى أخرى.
3. اتّجاه التغيّر و المماس
🎯المطلوب: أدرس اتّجاه تغيّر الدالة f انطلاقا من مشتقّتها، شكّل جدول تغيّراتها الكامل، ثمّ اكتب معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة 0.
المقام مربّع فهو موجب تماما على مجموعة التعريف، و x² موجب أو معدوم دائما: فإشارة المشتقّة هي إشارة العامل x²−3 وحده.
نعوّض −√3 في عبارة الدالة بعد تبسيطها.
معادلة المماس عند نقطة فاصلتها 0 تحتاج قيمة الدالة و قيمة مشتقّتها عند 0 معا.
4. الكتابة الجديدة و المستقيم المقارب المائل
🎯المطلوب: بيّن أنّه من أجل كلّ x من مجموعة تعريف الدالة f، f(x) = x + 1 + x/(x²−1)، ثمّ أثبت أنّ المستقيم (Δ) الذي معادلته y = x + 1 مستقيم مقارب مائل لمنحنى f، و ادرس وضعية المنحنى بالنسبة له.
ننشر الجداء ثمّ نضيف x، فنقارن الناتج بالبسط الأصلي.
الحدّ الإضافي x/(x²−1) يؤول إلى 0 عند كلتا اللانهايتين، لأنّ درجة المقام أكبر من درجة البسط.
وضعية المنحنى بالنسبة لـ(Δ) هي بالضبط إشارة الحدّ الإضافي x/(x²−1)، لأنّ الفرق بين الدالة و (Δ) هو هذا الحدّ نفسه.
5. وجود حلّ للمعادلة و مركز التناظر
🎯المطلوب: بيّن أنّ المعادلة f(x) = 0 تقبل حلّا وحيدا α في المجال ]−1;1[، احصره بسعة 0,1، ثمّ تحقّق من وجود مركز تناظر لمنحنى f.
على المجال ]−1;1[ المقام x²−1 لا ينعدم، فالمعادلة f(x)=0 تكافئ انعدام البسط وحده.
الدالة متناقصة تماما على ]−1;1[ حسب جدول التغيّرات، فتغيّر إشارة واحد يكفي لضمان حلّ وحيد.
نتحقّق مما إذا كانت f(x)+f(−x) ثابتة على مجموعة التعريف؛ إن كانت كذلك فمركز التناظر موجود عند تلك القيمة الثابتة على 2.
6. مسألة ثانية: الاستعانة بدالة مساعدة
نعالج الآن مسألة ثانية من نفس النوع، لكنّ مشتقّة دالتها المدروسة لا تتحلّل هذه المرّة مباشرة إلى عوامل معروفة الإشارة. الحلّ هو إدخال دالة مساعدة، نرمز لها بـ g، ندرسها بشكل مستقلّ أوّلا، ثمّ نستعمل نتيجة دراستها لتحديد إشارة مشتقّة الدالة الأصليّة.
ندرس هذه الدالة على نفس المجال ]−1;+∞[ الذي ستُعرّف عليه الدالة الأصليّة لاحقا.
7. دراسة الدالة المساعدة g
🎯المطلوب: أدرس اتّجاه تغيّر الدالة g، بيّن أنّ المعادلة g(x) = 0 تقبل حلّا وحيدا α محصورا بين 1,6 و 1,7، ثمّ استنتج إشارة g(x) على ]−1;+∞[.
ننشر 6x(x − 1) للتأكّد أنّها نفس عبارة المشتقّة.
المعامل 6 موجب، فإشارة g′ هي إشارة الجداء x(x−1): موجبة قبل 0 و بعد 1، سالبة بينهما.
القيمة القصوى المحلّية سالبة، فالدالة g سالبة على كامل ]−1;1]. على [1;+∞[ هي مستمرّة و متزايدة تماما من −2 إلى +∞، فتتغيّر إشارتها مرّة واحدة فقط، ما يضمن حلّا وحيدا للمعادلة g(x) = 0.
8. حدود الدالة الثانية f و مقارباتها
نعتبر من جديد دالة نرمز لها أيضا بـ f، لكنّها دالة أخرى مختلفة تماما عن دالة المسألة الأولى، معرّفة على نفس المجال ]−1;+∞[.
🎯المطلوب: بيّن أنّ نهاية الدالة f عند −1 من اليمين تساوي +∞، ثمّ احسب نهايتها عند +∞، و أعط تفسيرا بيانيّا للنتيجتين.
عند الاقتراب من −1 من اليمين، البسط 1−x يؤول إلى 2 و المقام x³+1 يؤول إلى 0 و هو موجب.
البسط من الدرجة الأولى و المقام من الدرجة الثالثة، فالحدّ الأعلى في المقام يهيمن و النسبة تؤول إلى الصفر.
9. مشتقّة f بدلالة الدالة المساعدة و جدول التغيّرات
🎯المطلوب: بيّن أنّه من أجل كلّ x من ]−1;+∞[، مشتقّة f تُكتب بدلالة الدالة المساعدة g، ثمّ استنتج اتّجاه تغيّر الدالة f و شكّل جدول تغيّراتها.
نطبّق قاعدة اشتقاق قسمة دالتين على الدالتين u و v المعرّفتين أعلاه.
ننشر الحدّين ثمّ نختزل الحدود المتشابهة.
نلاحظ أنّ هذا البسط هو بالضبط عبارة الدالة المساعدة g، و المقام هو مربّع v(x).
المقام جداء عددين متساويين فهو موجب تماما على كامل مجموعة التعريف، فإشارة f′ هي بالضبط إشارة g المدروسة في المثال السابق.
بما أنّ α ليس له كتابة جبريّة بسيطة، بل حصر فقط، فإنّ القيمة الحدّية الصغرى لـ f تُحسب تقريبيا هي الأخرى بالآلة الحاسبة.
نحسب قيمة الدالة و قيمة مشتقّتها معا عند نقطة الفاصلة 0 لتعيين معادلة المماس.
10. وضعية المنحنى بالنسبة لمماسه و نقطة الانعطاف
🎯المطلوب: تحقّق أنّه من أجل كلّ x من ]−1;1[، f(x) − (−x + 1) = x³(x − 1)/(x³ + 1)، ثمّ ادرس إشارة هذا الفرق و استنتج وضعية المنحنى بالنسبة لمماسه (Δ).
نعوّض بعبارة f، ثمّ نوحّد المقام بضرب الحدّ x−1 في x³+1.
على ]−1;1[، المقام x³+1 موجب و العامل (x−1) سالب دائما، فإشارة الفرق هي إشارة −x³ فقط.
الصفحة 1/12
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net