الدوال الأصلية والتكاملات › الحساب التكاملي
تكامل دالة و حساب المساحات
فكرة الفصل بسيطة و قوية معا: الفرق بين قيمتي دالة أصلية عند طرفي مجال لا يتغيّر مهما اخترنا الدالة الأصلية. هذا الثبات هو ما يسمح بتسمية العدد الناتج « تكاملا » و اعتباره خاصّية للدالة الأصلية نفسها، لا للدالة الأصلية المختارة. و بمجرّد أن نملك هذه الأداة، نستعملها لحساب مساحات لا تُحسب بقواعد الهندسة الابتدائية، بما فيها المساحة المحصورة بين منحنيين.
- تعريف مساحة الحيّز الواقع تحت منحنى دالة موجبة و مستمرّة بين عددين a و b
- تعريف التكامل ∫ₐbf(x)dx و ترميزه، و بيان أنّه لا يتعلّق باختيار الدالة الأصلية
- حساب تكاملات بسيطة باستعمال دالة أصلية، بما فيها دالة معرّفة بالتقطيع
- حساب مساحة حيّز محدّد بمنحنيي دالتين، بما في ذلك الحالة التي يتغيّر فيها وضعهما النسبي داخل المجال المدروس
- تعيين دالة أصلية لدالة مألوفة أو لدالة مركّبة على الشكل u′un
- دراسة إشارة عبارة جبرية، بما فيها استعمال المميّز Δ
- حلّ معادلة من الدرجة الثانية و تحليل كثير حدود إلى جداء عاملين
1. من مساحة تحت منحنى إلى تعريف التكامل
خاصية (دون برهان). لتكن f دالة مستمرّة و موجبة على مجال I، و a و b عددين حقيقيّين من I حيث a ≤ b، و لتكن F دالة أصلية للدالة f على I. الحيّز الواقع تحت منحنى f بين العددين a و b هو الحيّز المحدّد بالمنحنى، بمحور الفواصل، و بالمستقيمين x = a و x = b.
⭐ وحدة المساحة هي مساحة المستطيل الذي رأساه المتقابلان هما نقطة الأصل و النقطة (1;1).
لنبرهن أنّ هذا العدد لا يتعلّق باختيار الدالة الأصلية، نأخذ دالتين أصليتين مختلفتين F و G لنفس الدالة f، و نتذكّر أنّهما تختلفان بثابت k فقط.
الثابت k يظهر مرّتين بنفس الإشارة فيُختصر، فالفرق واحد مهما اختلفت الدالة الأصلية المختارة.
يمكن استبدال الحرف x بأيّ حرف آخر دون أن يتغيّر التكامل، لأنّه متغيّر صامت، لا يظهر في النتيجة النهائية.
2. حساب تكاملات باستعمال دالة أصلية
🎯المطلوب: احسب التكامل ∫₀¹ (x² + 1) dx.
🎯المطلوب: احسب التكامل ∫₋₁¹ (x³ − x) dx.
الدالة f معرّفة على [−1;2] بـ f(x) = x² من أجل x من [−1;1]، و f(x) = 2x − 1 من أجل x من [1;2].
🎯المطلوب: احسب التكامل ∫₋₁² f(x) dx.
الدالة f معرّفة بعبارتين مختلفتين على جزأين من المجال، فنقسم التكامل إلى تكاملين متتاليين، كلّ واحد على الجزء الذي تُكتب فيه f بعبارة واحدة.
3. من مساحة تحت منحنى إلى مساحة بين منحنيين
إذا كانت f و g دالتين مستمرّتين على مجال [a;b] بحيث f(x) ≥ g(x) على هذا المجال، فمساحة الحيّز المحصور بين المنحنيين، بين المستقيمين x = a و x = b، تُحسب بطرح مساحة الحيّز تحت منحنى g من مساحة الحيّز تحت منحنى f.
⭐ الشرط f(x) ≥ g(x) ضروري: هو الذي يضمن أنّ الفرق f(x) − g(x) موجب، فيكون التكامل مساحة حقيقية لا عددا سالبا.
نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على ℝ بـ f(x) = x² + 1 و g(x) = −x² + 2x + 5.
🎯المطلوب: بيّن أنّه من أجل كلّ x من [−1;2]، f(x) ≤ g(x)، ثمّ احسب مساحة الحيّز المحدّد بالمنحنيين بين x = −1 و x = 2 (المستقيمان يمرّان بنقطتي تقاطع المنحنيين).
نبرهن أنّ الفرق بين العبارتين موجب على المجال المدروس كلّه، بتحليله إلى عاملين.
العامل (x + 1) موجب أو معدوم على [−1;2] و العامل (x − 2) سالب أو معدوم عليه، فجداؤهما سالب أو معدوم، مضروبا في −2 يصير موجبا أو معدوما.
نعتبر الدالتين f و g المعرّفتين على [−1;2] بـ f(x) = x² و g(x) = (5/3)x + 2/3.
🎯المطلوب: أدرس الوضع النسبي للمنحنيين (Cf) و (Cg) على [−1;2]، ثمّ احسب مساحة الحيّز المحدّد بالمنحنيين بين x = −1 و x = 2.
نبحث عن نقط تقاطع المنحنيين بحلّ المعادلة f(x) = g(x)، بعد تحويلها إلى معادلة من الدرجة الثانية.
عند x = −1، و هي نقطة من [−1؛−1/3]، نقارن قيمتي الدالتين: f(−1) = 1 أكبر من g(−1) = −1، فـ(Cf) فوق (Cg) على هذا الجزء.
عند x = 1، و هي نقطة من [−1/3؛2]، نقارن: f(1) = 1 أصغر من g(1) = 7/3، فـ(Cf) تحت (Cg) على هذا الجزء.
بما أنّ الوضع النسبي يتغيّر عند x = −1/3، لا يمكن كتابة تكامل واحد لكامل المجال: يجب تقسيمه إلى تكاملين، كلّ واحد بالفرق الموجب على جزئه.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net