مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال الأصلية والتكاملات الحساب التكاملي

خواص التكامل و القيمة المتوسطة لدالة على مجال

🔊 المعلّمة تقرأ لك
ثلاث خواص وحيدة تكفيك لحساب تكامل مجموع دالتين، أو جداء عدد في دالة، أو تكامل على مجالين متجاورين، دون البحث عن أيّ دالّة أصلية جديدة في كلّ مرّة. فما هذه الخواص الثلاث، و كيف تستعمل بها تكاملات معلومة لتحسب تكاملا آخر؟ و ما الفرق بين تكامل دالة على مجال و قيمتها المتوسّطة عليه؟

الجواب في جملة واحدة: لا حاجة إلى إيجاد دالّة أصلية جديدة في كلّ مرّة. إذا عرفت تكامل f و تكامل g على نفس المجال، فالخواص الثلاث الآتية — الخطّية، الترتيب، و علاقة شال — تعطيك تكامل أيّ تركيبة منهما مباشرة. أمّا القيمة المتوسّطة فهي فكرة مختلفة قليلا: هي العدد الذي، لو كانت الدالّة ثابتة عنده، لأعطى نفس مساحة الحيّز الواقع تحت المنحنى.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • توظيف خطّية التكامل لحساب تكامل مجموع دالتين أو جداء عدد في دالة
  • توظيف خاصّية الترتيب لمقارنة تكاملين أو لتأطير تكامل لا تعرف دالّته الأصلية
  • توظيف علاقة شال لتفكيك تكامل على مجالين متجاورين أو لدمجهما
  • حساب القيمة المتوسّطة لدالّة على مجال، و تفسيرها بيانيّا كارتفاع مستطيل
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف التكامل بدلالة الدالّة الأصلية: التكامل من a إلى b يساوي الفرق بين قيمتي الدالّة الأصليّة عند b و عند a
  • حساب دالّة أصلية لدالّة بسيطة أو لمجموع دوال بسيطة
  • حلّ متراجحة من الدرجة الأولى أو الثانية، و ترتيب عددين حقيقيين

1. الخطّية

f و g دالّتان معرّفتان و مستمرّتان على مجال I.

خاصّية: تكامل المجموع

إذا كانت F دالّة أصلية لـ f و G دالّة أصلية لـ g على I، فإنّ ⁦F+G⁩ دالّة أصلية لـ ⁦f+g⁩ على I، و نطبّق تعريف التكامل على الطرفين.

∫ₐb [f(x) + g(x)] dx = ∫ₐb f(x) dx + ∫ₐb g(x) dx
خاصّية: تكامل جداء عدد في دالّة

إذا كانت F دالّة أصلية لـ f على I فإنّ kF دالّة أصلية لـ kf، بنفس المنهجية.

∫ₐb k×f(x) dx = k × ∫ₐb f(x) dx
kعدد حقيقي ثابت
مثال 1: تطبيق الخطّية على تكاملين معلومين

f و g دالّتان مستمرّتان على المجال ⁦[1;3]⁩، تكامل f عليه يساوي 2 و تكامل g عليه يساوي ⁦−5⁩.

🎯المطلوب: احسب التكاملات الثلاثة الآتية بدلالة التكاملين المعطيين، دون البحث عن الدالّتين f و g أنفسهما: تكامل مجموعهما، تكامل خمسة أمثال f، ثمّ تكامل التركيبة ⁦2f − 3g⁩.

🔹الخطوة 1: تكامل المجموع

نبدأ بتكامل المجموع، فنوزّع التكامل على الحدّين.

∫₁³ [f(x) + g(x)] dx = ∫₁³ f(x) dx + ∫₁³ g(x) dx
✅النّتيجة 1

نعوّض القيمتين المعطاتين و نجمع.

∫₁³ [f(x) + g(x)] dx=2 + (−5)=−3
🔹الخطوة 2: إخراج العدد من التكامل

ثمّ تكامل خمسة أمثال f، بإخراج العدد 5 من التكامل.

∫₁³ 5×f(x) dx = 5 × ∫₁³ f(x) dx
✅النّتيجة 2
∫₁³ 5×f(x) dx=5 × 2=10
🔹الخطوة 3: التركيبة الخطّية

و أخيرا التركيبة الخطّية ⁦2f − 3g⁩، بتطبيق الخاصّيتين معا.

∫₁³ [2×f(x) − 3×g(x)] dx=2×∫₁³ f(x) dx − 3×∫₁³ g(x) dx
✅النّتيجة 3
∫₁³ [2×f(x) − 3×g(x)] dx=2×2 − 3×(−5)=19
⭐ لاحظ أنّك لم تحتج إلى معرفة عبارتي f و g و لا دالّتيهما الأصليّتين — الخطّية تكفي وحدها. هذا هو كلّ نفعها: تفكّك تكاملا معقّدا إلى تكاملات معلومة.

2. الترتيب

a و b عددان حقيقيان من I حيث ⁦a ≤ b⁩.

خاصّية: تكامل دالّة موجبة

إذا كانت F دالّة أصلية لـ f فإنّ ⁦F′ = f ≥ 0⁩، فتكون F متزايدة على ⁦[a;b]⁩، و منه ⁦F(b) ≥ F(a)⁩، أي أنّ التكامل موجب.

x ∈ [a;b] ; f(x) ≥ 0 ⟹ ∫ₐb f(x) dx ≥ 0
خاصّية: مقارنة تكاملين

نطبّق الخاصّية السابقة على الدالّة ⁦g − f⁩، الموجبة على ⁦[a;b]⁩.

x ∈ [a;b] ; f(x) ≤ g(x) ⟹ ∫ₐb f(x) dx ≤ ∫ₐb g(x) dx
⛔ خاصّية الترتيب تفترض ⁦a ≤ b⁩ صراحة. إن انعكس ترتيب حدّي المجال، لا تُطبَّق الخاصّية على حالتها هذه، بل يُنظر أوّلا في اتّجاه الحدّين.
مثال 2: الترتيب لتأطير تكامل

f الدالّة المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = 1/(1+x²)⁩، و هي ليست من الدوال التي نعرف لها دالّة أصلية مألوفة.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالّة f محصورة بين 0 و1 على المجال ⁦[0;1]⁩، ثمّ استنتج تأطيرا لتكاملها.

📌المعطى
f(x) = 11 + x²
🔹الخطوة 1: مقارنة المقامين

مربّع أيّ عدد حقيقي موجب أو معدوم، فالمقام أكبر من أو يساوي 1 على كامل ⁦[0;1]⁩.

1 + x² ≥ 1
🔹الخطوة 2: مقارنة المقلوبين

نأخذ مقلوب الطرفين، فينعكس اتّجاه المتراجحة لأنّ الطرفين موجبان تماما؛ و المقلوب موجب تماما لأنّ المقام موجب تماما.

0 < 11 + x² ≤ 1
🔹الخطوة 3: تكامل الطرفين

نطبّق خاصّية الترتيب على المتراجحة السابقة، بتكامل الطرفين على ⁦[0;1]⁩.

∫₀¹ 0 dx ≤ ∫₀¹ [11+x²] dx ≤ ∫₀¹ 1 dx
🔹الخطوة 4: حساب تكاملَي الطرفين

نحسب تكاملَي الطرفين، و هما أبسط من التكامل المطلوب.

∫₀¹ 0 dx = 0 ; ∫₀¹ 1 dx = [x]₀¹ = 1
✅النّتيجة
0 ≤ ∫₀¹ [11+x²] dx ≤ 1
⭐ هذا هو نفع الترتيب: يؤطّر تكاملا لدالّة لا تعرف دالّتها الأصلية، بمجرّد مقارنتها بدالّة أبسط.

3. علاقة شال

علاقة شال

إذا كانت F دالّة أصلية لـ f، فالطرف الأيسر يساوي ⁦[F(b)−F(a)] + [F(c)−F(b)]⁩، يتلاشى فيه الحدّ الأوسط و يبقى ⁦F(c) − F(a)⁩، أي التكامل من a إلى c.

∫ₐb f(x) dx + ∫bc f(x) dx = ∫ac f(x) dx
حين تكون f موجبة، التكامل مساحة: مساحة الحيّز من a إلى c هي مجموع مساحتي الجزأين على جانبي b.
⭐ علاقة شال صحيحة أيّا كان ترتيب الأعداد a و b و c، بخلاف خاصّية الترتيب التي تفرض ⁦a ≤ b⁩ صراحة.
✅نتيجة: تكامل على مجال منعدم الطول

من تعريف التكامل مباشرة: ⁦F(a) − F(a) = 0⁩.

∫ₐa f(x) dx = 0
✅نتيجة: عكس حدّي التكامل

نأخذ ⁦c = a⁩ في علاقة شال، فيصير الطرف الأيمن معدوما، فينتقل التكامل الذي حدّاه معكوسان إلى الطرف الآخر بإشارة سالبة.

∫ₐb f(x) dx = − ∫ba f(x) dx
مثال 3: علاقة شال لدالّة معرّفة بقطعتين

f دالّة معرّفة على المجال ⁦[−1;2]⁩ بقطعتين، تتّصلان عند النقطة 1 — كلتاهما تساوي 1 هناك.

🎯المطلوب: احسب تكامل الدالّة f على كامل المجال ⁦[−1;2]⁩.

📌المعطى: القطعة الأولى
f(x) = x² ; x ∈ [−1;1]
📌المعطى: القطعة الثانية
f(x) = 2x − 1 ; x ∈ [1;2]
🔹الخطوة 1: تفكيك التكامل بعلاقة شال

نفكّك المجال ⁦[−1;2]⁩ عند النقطة 1، بالضبط حيث تتغيّر عبارة الدالّة.

∫₋₁² f(x) dx = ∫₋₁¹ f(x) dx + ∫₁² f(x) dx
🔹الخطوة 2: حساب التكامل الأوّل

نحسب التكامل الأوّل بدالّته الأصليّة ⁦x³/3⁩.

∫₋₁¹ x² dx=[x³3]₋₁¹=13 − (−13)=23
🔹الخطوة 3: حساب التكامل الثاني

ثمّ التكامل الثاني بدالّته الأصليّة ⁦x² − x⁩.

∫₁² (2x − 1) dx=[x² − x]₁²=(4−2) − (1−1)=2
✅النّتيجة

نجمع التكاملين الجزئيّين.

∫₋₁² f(x) dx=23 + 2=83
⭐ النقطة التي نفكّك عندها المجال هي بالضبط النقطة التي تتغيّر عندها عبارة الدالّة — لا نقطة أخرى. و التحقّق من اتّصال القطعتين عند تلك النقطة هو ما يبرّر استعمال علاقة شال.

4. القيمة المتوسّطة لدالّة على مجال

القيمة المتوسّطة فكرة مختلفة عن الخواص الثلاث السابقة: هي عدد واحد يلخّص الدالّة على كامل المجال، لا تركيبة من تكاملات معلومة.

تعريف: القيمة المتوسّطة لدالّة على مجال

f دالّة معرّفة و مستمرّة على مجال I، و a و b عددان حقيقيان من I حيث ⁦a < b⁩.

m=(1b − a) × ∫ₐb f(x) dx
mالقيمة المتوسّطة للدالّة f على مجالها

إذا كانت f موجبة على ⁦[a;b]⁩، فإنّ تكاملها هو مساحة الحيّز الواقع تحت منحناها بين a و b. و بما أنّ m مضروبا في طول المجال يساوي هذا التكامل نفسه، فإنّ m هي بالضبط ارتفاع المستطيل الذي قاعدته طول المجال، و الذي له نفس مساحة ذلك الحيّز.

القيمة المتوسّطة m هي ارتفاع المستطيل الذي له نفس مساحة الحيّز الواقع تحت المنحنى بين a و b.
مثال 4: حساب القيمة المتوسّطة لدالّة بسيطة

f الدالّة المعرّفة على ℝ بـ ⁦f(x) = 2x − 1⁩.

🎯المطلوب: احسب القيمة المتوسّطة للدالّة f على المجال ⁦[1;2]⁩.

📌المعطى
m=(12 − 1) × ∫₁² (2x − 1) dx
🔹الخطوة 1: حساب التكامل

نحسب دالّة أصلية للعبارة ⁦2x−1⁩، ثمّ نطبّق حدّي المجال.

∫₁² (2x − 1) dx=[x² − x]₁²=(4 − 2) − (1 − 1)=2
✅النّتيجة
m = 2
⭐ حين يكون طول المجال يساوي 1 (هنا ⁦b−a=1⁩)، تتطابق القيمة المتوسّطة مع التكامل نفسه — تذكّر أنّ هذه حالة خاصّة، لا قاعدة عامّة.
مثال 5: الرّبح المتوسّط لورشة إنتاج

ورشة تنتج أدوات تُجمَّع في مجموعات من مائة أداة، بكمّية إنتاج يوميّة x محصورة بين 1 و8 (بالمجموعات). الربح بآلاف الدنانير معطى بدالّة f، و دالّتها الأصلية معلومة مسبقا: ⁦F(x) = x² − x − 1/x⁩.

🎯المطلوب: احسب الرّبح المتوسّط المحقّق من أجل كلّ مجموعة من مائة أداة، على المجال ⁦[1;8]⁩.

📌المعطى
Bm=(18 − 1) × ∫₁⁸ f(x) dx
🔹الخطوة 1: تطبيق حدّي التكامل على الدالّة الأصليّة

نستعمل الدالّة الأصليّة F التي تحدّد الربح الإجمالي، لحساب التكامل بحدّيه.

∫₁⁸ f(x) dx=[x² − x − 1x]₁⁸
🔹الخطوة 2: القيمة عند الحدّ الأعلى

نحسب قيمة الدالّة الأصليّة عند الحدّ الأعلى.

F(8)=64 − 8 − 18=55,875
🔹الخطوة 3: القيمة عند الحدّ الأدنى

ثمّ عند الحدّ الأدنى.

F(1)=1 − 1 − 1=−1
🔹الخطوة 4: التكامل

نطرح القيمتين.

∫₁⁸ f(x) dx=55,875 − (−1)=56,875
🔹الخطوة 5: القيمة المتوسّطة

نقسم على طول المجال، أي على 7.

Bm=56,8757=8,125
⭐ الرّبح المتوسّط هنا ليس معدّل أرباح أيّام متعاقبة، بل عدد واحد يلخّص الربح على كامل مجال الإنتاج — تماما كما تلخّص القيمة المتوسّطة أيّ دالّة على مجالها. و بما أنّ المعطيات بآلاف الدنانير، فإنّ 8,125 تعادل 8125 دينارا لكلّ مجموعة من مائة أداة.
⛔ في الباكالوريا تُستعمل الخواص الثلاث مباشرة دون إثباتها من جديد: اذكر اسم الخاصّية التي تستعملها (الخطّية، الترتيب، أو علاقة شال) قبل تطبيقها، فالمصحّح ينقّط الخطوة لا الجواب وحده. و في تمارين شعبة التسيير و الاقتصاد، تُحسب القيمة المتوسّطة غالبا كربح أو تكلفة متوسّطة: لا تنس تحويل الوحدة إن كانت المعطيات بآلاف الدنانير.
الخلاصة: ثلاث خواص تفكّك أيّ تكامل معقّد دون إيجاد دالّة أصلية جديدة — الخطّية توزّع التكامل على المجموع و تُخرج العدد الثابت، الترتيب يقارن تكاملين أو يؤطّر تكاملا بمقارنة الدالّتين، و علاقة شال تفكّك المجال أو تدمجه، و منها ينتج أنّ التكامل على مجال منعدم الطول معدوم، و أنّ عكس حدّي التكامل يعكس إشارته. أمّا القيمة المتوسّطة فهي فكرة أخرى: عدد واحد يلخّص الدالّة على مجالها، و بيانيّا هو ارتفاع المستطيل الذي له نفس مساحة الحيّز تحت المنحنى.

الصفحة 1/10

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net