مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

دالة اللوغاريتم النيبيري: التعريف و الخواص المميزة

🔊 المعلّمة تقرأ لك
الدالّة ⁦x↦1/x⁩ مستمرّة على كامل المجال ⁦]0;+∞[⁩، فهي تقبل عددا لا نهائيّا من الدوال الأصلية، لكنّ واحدة منها فقط تنعدم عند القيمة 1. فما اسم هذه الدالّة الأصلية الخاصّة، و ما الخواص التي تجعلها أداة لمقارنة عددين موجبين دون حساب أيّ تكامل في كلّ مرّة؟

الجواب في كلمة: دالّة اللوغاريتم النيبيري هي بالتحديد تلك الدالّة الأصلية الواحدة. نرمز لها بـ ln، و نعرّفها بالتكامل. و لأنّ ⁦1/x⁩ موجب دائما على ⁦]0;+∞[⁩، فإنّ ln متزايدة تماما، و هذا وحده يكفي لاستنتاج خاصّيتين تُستعملان كثيرا: تساوي لوغاريتمين يعني تساوي العددين، و ترتيب لوغاريتمين يعني نفس ترتيب العددين.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف دالّة اللوغاريتم النيبيري بوصفها دالّة أصلية خاصّة للدالّة ⁦x↦1/x⁩
  • معرفة أنّ اللوغاريتم النيبيري متزايد تماما على ⁦]0;+∞[⁩، و أنّ مشتقّته ⁦1/x⁩
  • توظيف الخاصّيتين المميّزتين: تساوي لوغاريتمين يكافئ تساوي العددين، و ترتيبهما يكافئ ترتيب العددين
  • تحديد إشارة لوغاريتم عدد حسب موقعه بالنسبة للعدد 1
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • الدالّة الأصلية لدالّة على مجال، و أنّ لكلّ دالّة مستمرّة دالّة أصلية وحيدة تأخذ قيمة معطاة عند نقطة معطاة
  • تعريف التكامل بدلالة الدالّة الأصلية
  • معنى الدالّة المتزايدة تماما، و قراءة جدول التغيّرات

1. التعريف

الدالّة ⁦x↦1/x⁩ مستمرّة على ⁦]0;+∞[⁩، فهي تقبل دوالا أصلية على هذا المجال، و من بينها دالّة أصلية وحيدة تنعدم عند القيمة 1.

تعريف: دالّة اللوغاريتم النيبيري

نسمّي هذه الدالّة الأصلية الوحيدة، المعرّفة على ⁦]0;+∞[⁩ و التي تنعدم عند 1، دالّة اللوغاريتم النيبيري، و نرمز لها بـ ln.

ln(x) = ∫₁x (1t) dt

2. النتائج المباشرة

قيمة اللوغاريتم عند الواحد

من التعريف مباشرة: التكامل من 1 إلى 1 معدوم.

ln(1) = 0
مشتقّة اللوغاريتم النيبيري

ln دالّة أصلية للدالّة ⁦x↦1/x⁩، فمشتقّتها هي هذه الدالّة نفسها.

ln′(x) = 1x

و بما أنّ ⁦1/x⁩ موجب تماما على كامل ⁦]0;+∞[⁩، فإنّ إشارة المشتقّة ثابتة، و هذا يحدّد اتّجاه التغيّر بأكمله.

إشارة المشتقّة موجبة على كامل مجال التعريف، فالدالّة ln متزايدة تماما بلا استثناء.

3. الخاصّيتان المميّزتان

الخاصّية الأولى: التساوي

نتيجة مباشرة لكون ln متزايدة تماما، فهي تقابل: لكلّ صورة سابقة وحيدة.

ln(a) = ln(b) ⟺ a = b
aعدد حقيقي موجب تماماbعدد حقيقي موجب تماما
الخاصّية الثانية: الترتيب

نفس الاستدلال: الدالّة المتزايدة تماما تحافظ على اتّجاه الترتيب في الاتّجاهين.

ln(a) < ln(b) ⟺ a < b
⭐ هاتان الخاصّيتان هما ما يجعل اللوغاريتم أداة عملية: بدل مقارنة عددين موجبين مباشرة، يمكن مقارنة لوغاريتميهما، و العكس صحيح دائما.

4. إشارة ⁦ln(x)⁩

حالة الانعدام
ln(x) = 0 ⟺ x = 1
حالة الإشارة الموجبة
ln(x) > 0 ⟺ x > 1
حالة الإشارة السالبة
ln(x) < 0 ⟺ 0 < x < 1
⛔ لا تنس أنّ اللوغاريتم غير معرّف إلا للأعداد الموجبة تماما. الإشارة السالبة لا تمتدّ إلى ⁦x ≤ 0⁩، بل تتوقّف عنده لأنّ ⁦ln(x)⁩ غير موجود هناك أصلا.
مثال 1: تعيين مجموعة تعريف دالّة لوغاريتمية بسيطة

f الدالّة المعرّفة بـ ⁦f(x) = ln(x − 3)⁩.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالّة f.

الشرط
x − 3 > 0
🔹الخطوة 1: حلّ الشرط
x − 3 > 0 ⟺ x > 3
✅النّتيجة
Df = ]3;+∞[
⭐ الخطوة الوحيدة في أيّ دراسة مجموعة تعريف تتضمّن لوغاريتما هي هذه: اكتب الشرط «العبارة الداخلة موجبة تماما»، ثمّ حلّه كأيّ متراجحة عادية.
مثال 2: تعيين مجموعة تعريف دالّة لوغاريتمية لعبارة كسرية

g الدالّة المعرّفة بـ ⁦g(x) = ln((x+2)/(x−1))⁩.

🎯المطلوب: عيّن مجموعة تعريف الدالّة g.

الشرط
x + 2x − 1 > 0
🔹الخطوة 1: تحويل الشرط إلى جداء

كسر موجب تماما يعني أنّ بسطه و مقامه لهما نفس الإشارة.

(x + 2)(x − 1) > 0
🔹الخطوة 2: الجذر الأوّل

نبحث عن الجذرين اللذين يُصفّران هذا الجداء.

x + 2 = 0 ⟺ x = −2
🔹الخطوة 3: الجذر الثاني
x − 1 = 0 ⟺ x = 1
✅النّتيجة

جداء حدّين من الدرجة الأولى يكون موجبا خارج المجال المحصور بين جذريهما.

Dg = ]−∞;−2[ ∪ ]1;+∞[
⭐ لاحظ الفرق الجوهري بين المثالين: في الأوّل قارنّا عبارة بالصفر مباشرة، و في الثاني حوّلنا شرط الكسر إلى شرط جداء أوّلا — إشارة كسر لا تُقرأ حدّا بحدّ، بل جداء بسطه في مقامه.
مثال 3: تحديد إشارة عبارة لوغاريتمية حسب قيم x

نريد تحديد إشارة العبارة ⁦ln(x − 3)⁩ حسب قيم x.

🎯المطلوب: عيّن، حسب قيم x، إشارة ⁦ln(x − 3)⁩.

مجموعة التعريف
D = ]3;+∞[
🔹الخطوة 1: حالة الإشارة السالبة أو المعدومة

نستعمل خاصّية الإشارة: اللوغاريتم سالب أو معدوم حين تكون العبارة الداخلة محصورة بين 0 و1.

ln(x − 3) ≤ 0 ⟺ 0 < x − 3 ≤ 1
🔹الخطوة 2: تبسيط الحصر الأوّل
0 < x − 3 ≤ 1 ⟺ 3 < x ≤ 4
🔹الخطوة 3: حالة الإشارة الموجبة تماما

و اللوغاريتم موجب تماما حين تكون العبارة الداخلة أكبر تماما من 1.

ln(x − 3) > 0 ⟺ x − 3 > 1
🔹الخطوة 4: تبسيط الحصر الثاني
x − 3 > 1 ⟺ x > 4
✅النّتيجة: العبارة سالبة بين 3 و4
x ∈ ]3;4[ ⟹ ln(x − 3) < 0
✅النّتيجة: العبارة معدومة عند 4
x = 4 ⟹ ln(x − 3) = 0
✅النّتيجة: العبارة موجبة بعد 4
x ∈ ]4;+∞[ ⟹ ln(x − 3) > 0
⭐ إشارة أيّ عبارة لوغاريتمية تُقرأ مباشرة من موقع العدد 1: أصغر منه فسالبة، يساويه فمعدومة، أكبر منه فموجبة. هنا العدد الداخل هو ⁦x−3⁩، فالحدّ الفاصل هو ⁦x−3=1⁩ أي ⁦x=4⁩، لا ⁦x=3⁩ الذي هو حدّ مجموعة التعريف فقط.
مثال 4: مقارنة عددين موجبين بواسطة لوغاريتميهما

نعلم أنّ 5 أكبر من 3.

🎯المطلوب: استنتج، دون حساب أيّ قيمة، ترتيب ⁦ln(5)⁩ و ⁦ln(3)⁩.

📌المعطى
5 > 3
🔹الخطوة 1: توظيف خاصّية الترتيب

نوظّف الخاصّية الثانية مباشرة: نفس الترتيب ينتقل إلى اللوغاريتمين.

5 > 3 ⟹ ln(5) > ln(3)
✅النّتيجة
ln(5) > ln(3)
⭐ هذا هو نفع الخاصّية المميّزة الثانية: تستنتج ترتيب لوغاريتمين من ترتيب عدديهما فقط، دون حاجة لأيّة آلة حاسبة أو قيمة تقريبية.
⛔ في الباكالوريا، أوّل ما يُطلب غالبا هو تعيين مجموعة التعريف قبل أيّ معادلة أو متراجحة لوغاريتمية — و هي وحدها تحمل نقاطا. و لا تخلط بين انعدام اللوغاريتم و انعدام العدد نفسه: ⁦ln(x)=0⁩ يعني ⁦x=1⁩ بالضبط، لا ⁦x=0⁩.
الخلاصة: دالّة اللوغاريتم النيبيري ln هي الدالّة الأصلية الوحيدة للدالّة ⁦x↦1/x⁩ على ⁦]0;+∞[⁩ و التي تنعدم عند 1. مشتقّتها ⁦1/x⁩ موجبة دائما، فهي متزايدة تماما، و من هذا التزايد تنتج خاصّيتان تُستعملان في كلّ تمرين: تساوي لوغاريتمين يكافئ تساوي العددين، و ترتيبهما يكافئ نفس ترتيب العددين. و إشارة ⁦ln(x)⁩ تُقرأ من موقع x بالنسبة للعدد 1: أصغر منه فسالبة، يساويه فمعدومة، أكبر منه فموجبة.

الصفحة 1/9

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net