مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الدراسة و التمثيل البياني للدالة ⁦ln⁩ و العدد ⁦e⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك
نعرف من الدرس السابق أن الدالة ln متزايدة تماما على المجال ⁦]0;+∞[⁩، لكننا لم نحدد بعد إلى أين تذهب قيمها عند طرفي هذا المجال، و لا كيف يبدو منحناها البياني. فما هما نهايتا الدالة ln عند 0 و عند +∞، و كيف نرسم منحناها بمقاربه و مماساته، و ما هو العدد e الذي تحمل الدالة الأسية اسمه لاحقا؟

الجواب في جملة: الدالة ln تنطلق من -∞ ملتصقة بمحور التراتيب، ثم تصعد بتزايد تام و بلا توقف نحو +∞. هذا الدرس يثبت هاتين النهايتين، ثم يستعملهما لبناء جدول التغيرات و رسم المنحنى، و يعرّف بالمناسبة العدد e.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • حساب نهايتي الدالة ln عند 0 و عند +∞ بتغيير متغير مناسب
  • بناء جدول تغيرات الدالة ln و تمثيلها بيانيا مع مقاربها العمودي
  • تعيين معادلة مماس منحنى ln عند نقطة معلومة و دراسة وضعية المنحنى بالنسبة له
  • التعرف على العدد e بصفته الحل الوحيد للمعادلة ⁦ln x = 1⁩
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف الدالة اللوغاريتم النيبيري بصفتها دالة أصلية للدالة ⁦x↦1/x⁩ المنعدمة عند 1
  • أن الدالة ln متزايدة تماما على ⁦]0;+∞[⁩ و أن مشتقتها هي ⁦1/x⁩
  • الصيغة العامة لمعادلة مماس منحنى دالة عند نقطة معلومة الفاصلة

1. نهايتا الدالة عند طرفي مجموعة التعريف

نقبل النهاية عند +∞ دون برهان: تزايد ln التام بلا سقف يجعلها تتجاوز أي عدد كبير مهما كان. أما النهاية عند 0 فنبرهن عليها بتغيير متغير يعيدنا إلى الحالة الأولى.

🔹النهاية عند +∞ (مقبولة)
lim(x → +∞) ln x = +∞

لإثبات النهاية عند 0، نضع t مقلوب x، فيؤول t إلى +∞ لما يؤول x إلى 0 بقيم موجبة.

التعويض
t = 1x
سلوك t
x → 0, x > 0 ⟹ t → +∞
ln بدلالة t
ln x = -ln t
✅النتيجة
lim(x → 0, x > 0) ln x = -∞

و القراءة البيانية لهذه النهاية فورية: كلما اقترب x من 0 بقيم موجبة، ابتعد ln x نحو -∞ ملتصقا بمحور التراتيب، فيكون هذا المحور مستقيما مقاربا للمنحنى.

2. جدول التغيرات و التمثيل البياني

نعلم من الدرس السابق أن الدالة ln قابلة للاشتقاق على ⁦]0;+∞[⁩ و أن مشتقتها ⁦1/x⁩ موجبة تماما هناك، و منه الدالة متزايدة تماما على كامل مجموعة تعريفها. نجمع هذا مع النهايتين السابقتين فنحصل على الصورة الكاملة للمنحنى.

محور التراتيب مستقيم مقارب للمنحنى عند 0، و المستقيم ⁦y=x-1⁩ مماس له عند النقطة ذات الفاصلة 1.

3. العدد e

الدالة ln مستمرة و متزايدة تماما على ⁦]0;+∞[⁩، و قيمها تمسح كل الأعداد الحقيقية من -∞ إلى +∞. حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة ⁦ln x = 1⁩ تقبل إذن حلا وحيدا في هذا المجال، نرمز إليه بالرمز e.

تعريف العدد e
ln e = 1
قيمة تقريبية
e ≈ 2,718281828
⭐ لاحظ موضع e على المحور: بما أن ln 2 أصغر من 1 و ln 3 أكبر من 1 (لأن الدالة متزايدة تماما)، فإن العدد e محصور بين 2 و 3، أقرب إلى 3 منه إلى 2.
مثال 1: معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة 1

نعتبر المنحنى ⁦(C)⁩ الممثل للدالة ln في معلم متعامد و متجانس.

🎯المطلوب: عيّن معادلة المماس ⁦(Δ)⁩ للمنحنى ⁦(C)⁩ عند النقطة ذات الفاصلة 1.

🔹الخطوة 1: قيمة الدالة

نحسب قيمة الدالة ln عند نقطة التماس.

ln 1 = 0
🔹الخطوة 2: قيمة المشتقة

نحسب قيمة مشتقة الدالة ln عند نقطة التماس.

ln'(1)=11=1
🔹الخطوة 3: الصيغة العامة

نكتب الصيغة العامة لمعادلة مماس منحنى عند نقطة فاصلتها 1.

y=ln'(1) × (x - 1) + ln 1
🔹الخطوة 4: التعويض

نعوض القيمتين المحسوبتين في الخطوتين السابقتين.

y=1 × (x - 1) + 0
✅النّتيجة

نبسط العبارة.

y = x - 1
⭐ لاحظ أن هذه المعادلة تعتمد على قيمتين ثابتتين فقط: ⁦ln 1 = 0⁩ و ⁦ln'(1) = 1⁩، و هما اللتان تحددان مماس المنحنى عند هذه النقطة بالذات.
مثال 2: مماس المنحنى عند e و وضعيته بالنسبة له

نعتبر المنحنى ⁦(C)⁩ الممثل للدالة ln، و النقطة A التي فاصلتها العدد e.

🎯المطلوب: عيّن معادلة المماس ⁦(Δ)⁩ للمنحنى ⁦(C)⁩ عند النقطة A، ثم استنتج وضعية المنحنى ⁦(C)⁩ بالنسبة لهذا المماس.

🔹الخطوة 1: قيمة المشتقة عند e

نحسب مشتقة ln عند e.

ln'(e) = 1e
🔹الخطوة 2: الصيغة العامة

نطبق الصيغة العامة لمعادلة مماس عند نقطة فاصلتها e.

y=ln'(e) × (x - e) + ln e
🔹الخطوة 3: التعويض و النشر

نعوض بـ ⁦ln'(e)=1/e⁩ و ⁦ln e=1⁩ ثم ننشر العبارة.

y=(1e) × (x - e) + 1
🔹الخطوة 4: تبسيط معادلة المماس

نبسط العبارة الناتجة.

y = xe
🔹الخطوة 5: الدالة المساعدة

ندرس وضعية المنحنى بالنسبة لمماسه بواسطة الدالة f المعرفة بالفرق بينهما.

f(x) = ln x - xe
🔹الخطوة 6: مشتقة الدالة المساعدة

نحسب مشتقة الدالة المساعدة f.

f'(x)=1x - 1e
🔹الخطوة 7: توحيد المقام

نوحد المقام في عبارة المشتقة.

f'(x)=e - xe × x
🔹الخطوة 8: دراسة الإشارة

المقام ⁦e×x⁩ موجب تماما على ⁦]0;+∞[⁩، فإشارة ⁦f'(x)⁩ هي إشارة البسط e - x.

f'(x) ≥ 0 ⟺ x ≤ e
🔹الخطوة 9: القيمة العظمى

الدالة f تتزايد إلى غاية e ثم تتناقص، فتبلغ هناك أعظم قيمة لها.

f(e)=ln e - ee=1 - 1=0
🔹الخطوة 10: إشارة f

القيمة العظمى للدالة f معدومة، إذن f سالبة أو معدومة على كامل مجموعة تعريفها.

f(x) ≤ 0
✅النّتيجة

نعوض عن ⁦f(x)⁩ بعبارتها الأصلية فنحصل على وضعية المنحنى بالنسبة لمماسه.

ln x ≤ xe
⭐ النتيجة تعني أن المنحنى ⁦(C)⁩ يقع تحت المماس ⁦(Δ)⁩ في كل نقطة من مجموعة التعريف، ما عدا نقطة التماس نفسها. و هذه هي نفس الطريقة التي نستعملها كل مرة لدراسة وضعية منحنى بالنسبة لمماس: نبني دالة الفرق، ندرس إشارتها، ثم نستنتج.
مثال 3: نهايتا دالة كسرية عند حافتي مجموعة تعريفها

نعتبر الدالة f المعرفة على ⁦]0;e[ ∪ ]e;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = (1 + ln x)/(1 - ln x)⁩.

🎯المطلوب: أدرس نهايتي الدالة f عند 0 و عند +∞.

🔹الخطوة 1: القسمة على ln x

نقسم البسط و المقام على ln x لنُظهر مقلوب ln x الذي نعرف سلوكه عند الحافتين.

f(x)=1ln x + 11ln x - 1
🔹الخطوة 2: نهاية مقلوب ln x

مقلوب ln x يؤول إلى 0 سواء اقترب x من 0 بقيم موجبة أو من +∞، لأن ln x يؤول في الحالتين إلى ما لا نهاية.

lim(x → 0, x > 0) 1ln x = lim(x → +∞) 1ln x = 0
✅النّتيجة

نعوض هذه النهاية في عبارة f بعد القسمة.

lim(x → 0, x > 0) f(x) = lim(x → +∞) f(x) = -1
⭐ الحيلة نفسها في كل مرة يظهر فيها كسر يحوي ln x في بسطه و مقامه: اقسم على ln x، لأن مقلوبه يؤول دائما إلى 0 عند ⁦0⁺⁩ و عند +∞.
مثال 4: نهايتا نفس الدالة عند نقطة داخلية لمجموعة التعريف

نعود إلى الدالة f المعرفة على ⁦]0;e[ ∪ ]e;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = (1 + ln x)/(1 - ln x)⁩.

🎯المطلوب: أدرس نهايتي الدالة f عند e، من جهة اليسار و من جهة اليمين.

🔹الخطوة 1: نهاية البسط

نحسب نهاية البسط عند e: مجموع مستمر عند نقطة من مجموعة تعريفه.

lim(x → e) (1 + ln x) = 2
🔹الخطوة 2: نهاية المقام

نحسب نهاية المقام عند e، فنجدها معدومة لأن ⁦ln e = 1⁩.

lim(x → e) (1 - ln x) = 0
🔹الخطوة 3: إشارة المقام على اليسار

على يسار e لدينا x أصغر من e، إذن ln x أصغر من 1، فيكون المقام موجبا تماما هناك.

x < e ⟹ 1 - ln x > 0
✅النّتيجة: على اليسار

بسط يؤول إلى 2 و مقام يؤول إلى 0 بقيم موجبة، فالنسبة تؤول إلى +∞.

lim(x → e, x < e) f(x) = +∞
🔹الخطوة 4: إشارة المقام على اليمين

على يمين e لدينا x أكبر من e، إذن ln x أكبر من 1، فيكون المقام سالبا تماما هناك.

x > e ⟹ 1 - ln x < 0
✅النّتيجة: على اليمين

بسط يؤول إلى 2 و مقام يؤول إلى 0 بقيم سالبة، فالنسبة تؤول إلى -∞.

lim(x → e, x > e) f(x) = -∞
⭐ عند e يتغير سلوك المقام: 1-ln x موجب قبل e و سالب بعده، و هذا وحده ما يقلب إشارة النهاية من +∞ إلى -∞. ادرس دائما إشارة المقام على كل جانب قبل أن تحكم على نهاية من هذا النوع.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في دراسة دالّة فيها ln: «احسب النهايتين عند 0 وعند +∞»، و«اكتب معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة 1»، و«ادرس وضعية المنحنى بالنسبة إلى مماسه». جهّز ثلاثة عناصر: ① النهايتان: ln x تؤول إلى +∞ عند +∞، وإلى −∞ لمّا يؤول x إلى 0 بقيم موجبة، ومنها المقارب العمودي الذي هو محور التراتيب ؛ ② المماسان: عند الفاصلة 1 معادلته ⁦y = x − 1⁩، وعند الفاصلة e معادلته ⁦y = x/e⁩، والمنحنى تحت مماسه في الحالتين ؛ ③ العدد e: الحلّ الوحيد للمعادلة ⁦ln x = 1⁩، أي ⁦ln e = 1⁩، وقيمته التقريبية 2,718. ⚠️ الخطأ الشائع: كتابة نهاية ln x عند 0 دون ذكر أنّ x يؤول إليه بقيم موجبة ؛ الدالّة غير معرّفة على يسار 0. ⚠️ وخطأ ثانٍ: الخلط بين ⁦ln 1 = 0⁩ و ⁦ln e = 1⁩ عند كتابة معادلة المماس.
الخلاصة: الدالة ln تنطلق من -∞ ملتصقة بمحور التراتيب عند 0، ثم تتزايد تزايدا تاما و بلا توقف نحو +∞. مماسها عند النقطة ذات الفاصلة 1 معادلته ⁦y=x-1⁩، و عند النقطة ذات الفاصلة e معادلته ⁦y=x/e⁩، و في الحالتين يبقى المنحنى تحت مماسه. و العدد e هو الحل الوحيد للمعادلة ⁦ln x = 1⁩، قيمته التقريبية 2,718281828.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net