مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

النهايات ⁦lim ln x / x = 0⁩ و ⁦lim x·ln x = 0⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك
الدالتان ln x و x تؤولان كلتاهما إلى +∞ عند +∞. فأيّهما أسرع؟ و إلى أين يؤول حاصل قسمة ln x على x، و كيف نوظف ذلك لحساب نهايات أكثر تعقيدا؟

الجواب: x أسرع بكثير. تتفوق x على ln x عند +∞، حتى يؤول حاصل قسمة ln x على x إلى 0. و بتغيير متغير بسيط، يؤول جداء x في ln x إلى 0 عند 0.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • معرفة النهاية الشهيرة ⁦lim(x→+∞) (ln x)/x = 0⁩ و معناها
  • إثبات النهاية الشهيرة ⁦lim(x→0) x × ln x = 0⁩ بتغيير المتغير
  • تعميم هاتين النهايتين على القوى xn حيث n عدد طبيعي غير معدوم
  • توظيف هاتين النهايتين لرفع حالات عدم التعيين في نهايات تتضمن جداءات أو حواصل قسمة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • نهايتا الدالة ln عند 0 و عند +∞، المدروستان في الدرس السابق
  • خواص الدالة ln، و منها ⁦ln(1/t) = −ln t⁩
  • تقنية تغيير المتغير في حساب نهاية دالة مركبة
  • حساب نهاية مجموع أو جداء بالفصل إلى حدود معروفة النهاية

1. النهاية عند +∞: مقارنة ln x بـ x

نقبل هذه النهاية الآن دون برهان: برهانها يستعمل الدالة الأسية، و نعود إليه في درس التزايد المقارن بعد دراستها. و هذه قيم تبيّن معناها.

عند ⁦x = 10⁩
ln 1010 ≈ 0,23
عند ⁦x = 100⁩
ln 100100 ≈ 0,046
عند ⁦x = 1000⁩
ln 10001000 ≈ 0,0069
عند ⁦x = 10⁶⁩
ln 10⁶10⁶ ≈ 0,000014

كلّما كبر x صغرت النسبة: ln x يكبر، لكنّه يكبر أبطأ بكثير من x.

✅النتيجة (نقبلها الآن)
lim(x → +∞) ln xx = 0

2. النهاية عند 0: جداء x في ln x

نستعمل هذه المرة تغيير متغير يعيد الجداء إلى نفس الصيغة التي قبلناها للتو.

التعويض
t = 1x
سلوك t
x → 0, x > 0 ⟹ t → +∞
العلاقة العكسية
x = 1t
إعادة كتابة الجداء
x × ln x=(1t) × ln(1t)
تبسيط اللوغاريتم
ln(1t) = -ln t
الجداء بدلالة t
x × ln x = -ln tt

العبارة الأخيرة هي نفسها النسبة التي قبلنا نهايتها للتو، مضروبة في ⁦−1⁩.

✅النتيجة
lim(x → 0, x > 0) x × ln x = 0

3. التعميم إلى القوى xn

الطريقة نفسها، مطبقة على xn بدل x، تعطي التعميمين التاليين، و نقبلهما دون برهان.

التعميم الأول
lim(x → +∞) ln xxn = 0
التعميم الثاني
lim(x → 0, x > 0) xn × ln x = 0
⭐ كلما ارتفعت القوة n في هذين التعميمين، كلما زادت سرعة التقارب نحو 0: xn تسحق ln x بقوة أكبر عندما يكبر n.
⛔ لا تخلط بين هذه الحيلة و حساب نهاية عادية: النسبة ⁦(ln x)/x⁩ أو الجداء ⁦x × ln x⁩ لا يُحسبان بتعويض القيمة مباشرة، لأنهما دائما حالة عدم تعيين. الطريق الوحيد هو تغيير المتغير أو الفصل إلى حدود معروفة النهاية.
الفارق بين x و ln x يكبر بلا حدود عند +∞، لكن حاصل قسمة ln x على x يبقى يؤول إلى 0.
مثال 1: فرق يتضمن ln x عند +∞

نلاحظ أن هذه النهاية عدم تعيين من النوع +∞ ناقص +∞.

🎯المطلوب: احسب ⁦lim(x → +∞) (x - ln x)⁩.

🔹الخطوة 1: وضع x عاملا مشتركا

نضع x عاملا مشتركا لنُظهر النسبة ⁦(ln x)/x⁩ التي نعرف نهايتها.

x - ln x=x × (1 - ln xx)
🔹الخطوة 2: نهاية القوس

النسبة ⁦(ln x)/x⁩ تؤول إلى 0 عند +∞ حسب النهاية الشهيرة.

lim(x → +∞) (1 - ln xx) = 1
✅النّتيجة

جداء عامل يؤول إلى +∞ في عامل يؤول إلى 1 يؤول إلى +∞.

lim(x → +∞) (x - ln x) = +∞
⭐ كلما رأيت فرقا بين x و ln x عند +∞، ضع x عاملا مشتركا: x تفوز دائما لأن ⁦(ln x)/x⁩ تؤول إلى 0.
مثال 2: جداء يتضمن ln x عند 0

نوزع الجداء لنفصل حدا نعرف نهايته عن حد جديد.

🎯المطلوب: احسب نهاية ⁦(x + 2) × ln x⁩ لمّا يؤول x إلى 0 بقيم موجبة.

🔹الخطوة 1: التوزيع

نوزع الجداء على القوسين.

(x + 2) × ln x=x × ln x + 2 × ln x
🔹الخطوة 2: نهاية الحد الأول

الحد الأول يؤول إلى 0 حسب النهاية الشهيرة.

lim(x → 0, x > 0) x × ln x = 0
🔹الخطوة 3: نهاية الحد الثاني

الحد الثاني يؤول إلى -∞ لأن ln x يؤول إلى -∞.

lim(x → 0, x > 0) 2 × ln x = -∞
✅النّتيجة

مجموع حد يؤول إلى 0 و حد يؤول إلى -∞ يؤول إلى -∞.

lim(x → 0, x > 0) (x + 2) × ln x = -∞
⭐ إذا ظهر جداء يحوي مجموعا في ln x، وزّعه أولا: يتحول الجداء إلى مجموع حدين، أحدهما 0 من النهاية الشهيرة و الآخر يحسب مباشرة.
مثال 3: حاصل قسمة ln x على كثير حدود

المقام كثير حدود من الدرجة الثانية، فنقسم البسط و المقام على x² لنُظهر التعميم على xn.

🎯المطلوب: احسب نهاية ⁦(ln x)/(2x² − x + 3)⁩ عند +∞.

🔹الخطوة 1: التفكيك

نضرب و نقسم على x² لنكوّن حاصلي قسمة معروفَي النهاية.

ln x2x² - x + 3=(ln xx²) × (x²2x² - x + 3)
🔹الخطوة 2: نهاية الحاصل الأول

الحاصل الأول يؤول إلى 0 حسب التعميم على xn.

lim(x → +∞) ln xx² = 0
🔹الخطوة 3: نهاية الحاصل الثاني

الحاصل الثاني نسبة كثيرَي حدود من نفس الدرجة، فيؤول إلى نسبة معاملي الحدين الأعليين.

lim(x → +∞) x²2x² - x + 3 = 12
✅النّتيجة

جداء حد يؤول إلى 0 في حد يؤول إلى عدد ثابت يؤول إلى 0.

lim(x → +∞) ln x2x² - x + 3 = 0
⭐ أمام كسر بسطه ln x و مقامه كثير حدود، اقسم على أعلى قوة لـ x في المقام: تحصل دائما على 0 مضروبا في عدد، فتكون النتيجة 0.
مثال 4: جداء يتضمن ln x و قوتين لـ x

نوزع الجداء على حدين، كل واحد منهما على صيغة التعميم ⁦xn × ln x⁩.

🎯المطلوب: احسب نهاية ⁦(x² + x) × ln x⁩ لمّا يؤول x إلى 0 بقيم موجبة.

🔹الخطوة 1: التوزيع

نوزع الجداء على القوسين.

(x² + x) × ln x=x² × ln x + x × ln x
🔹الخطوة 2: نهاية الحد الأول

الحد الأول يؤول إلى 0 حسب التعميم على xn.

lim(x → 0, x > 0) x² × ln x = 0
🔹الخطوة 3: نهاية الحد الثاني

الحد الثاني يؤول إلى 0 حسب النهاية الشهيرة نفسها.

lim(x → 0, x > 0) x × ln x = 0
✅النّتيجة

مجموع حدين يؤولان معا إلى 0 يؤول إلى 0.

lim(x → 0, x > 0) (x² + x) × ln x = 0
⭐ كل حد على صيغة ⁦xn × ln x⁩ يؤول إلى 0 عند ⁦0⁺⁩ مهما كانت قيمة n، بشرط أن تكون n عددا طبيعيا غير معدوم.
⭐ تحقق عددي (من إعدادنا) يقنعك بسرعة تقارب هاتين النهايتين: من أجل ⁦x = 10⁶⁩، ⁦(ln x)/x⁩ تقارب ⁦1,4×10⁻⁵⁩، و ⁦x × ln x⁩ عند ⁦x=10⁻⁶⁩ تقارب ⁦-1,4×10⁻⁵⁩ — كلاهما قريب جدا من 0.
في البكالوريا تظهر هاتان النهايتان داخل حساب نهاية أكبر، حين تصادفك حالة عدم تعيين فيها ln x مع قوّة لـ x: «احسب نهاية f عند +∞» أو «عند 0». جهّز ثلاثة عناصر: ① النهايتان الشهيرتان: ⁦(ln x)/x⁩ تؤول إلى 0 عند +∞، و ⁦x × ln x⁩ تؤول إلى 0 لمّا يؤول x إلى 0 بقيم موجبة، وتتعمّمان إلى ⁦xn⁩ لكلّ عدد طبيعي غير معدوم n ؛ ② الحيلة: افصل الحدّ الذي يحوي ln x عن الباقي، بالقسمة أو بالتوزيع: ⁦x − ln x = x × (1 − (ln x)/x)⁩، و ⁦(x + 2) × ln x⁩ يساوي ⁦x × ln x + 2 × ln x⁩ ؛ ③ إن طُلب الإثبات (بعد درس الدالة الأسية): تغيير المتغيّر ⁦t = ln x⁩ أي ⁦x = et⁩، فتصير ⁦(ln x)/x = t/et⁩ ؛ وعند 0 نضع ⁦t = 1/x⁩. ⚠️ الخطأ الشائع: محاولة حساب ⁦(ln x)/x⁩ أو ⁦x × ln x⁩ بالتعويض المباشر ؛ هما دائما حالة عدم تعيين، والطريق هو تغيير المتغيّر أو الفصل إلى حدود معروفة النهاية. ⚠️ وخطأ ثانٍ: استعمال النهاية التي عند +∞ في جوار 0، أو العكس.
الخلاصة: عند +∞، x تتفوق على ln x، حتى إن ⁦(ln x)/x⁩ تؤول إلى 0 (نتيجة نقبلها الآن، و نبرهن عليها بعد درس الدالة الأسية). و عند 0، جداء x في ln x يؤول إلى 0 رغم أن ln x نفسه يؤول إلى -∞. و هاتان النهايتان تتعمّمان إلى xn لأي قوة طبيعية، و تُستعملان دائما بنفس الحيلة: افصل الحد الذي يحوي ln x عن الباقي، بالقسمة أو بالتوزيع.

الصفحة 1/8

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net