مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس ⁦a⁩ و اللوغاريتم العشري

🔊 المعلّمة تقرأ لك
لعدّ عدد الأرقام في الكتابة العشرية لعدد طبيعي ضخم جدا (آلاف الأرقام) لا يمكن كتابته رقما رقما، لكن يمكن الوصول إلى عدد أرقامه بحساب واحد بسيط يعتمد على الأساس 10. ما هي دالة اللوغاريتم للأساس a بصفة عامة، و كيف تُستعمل حالتها الخاصة عندما يكون ⁦a=10⁩ (اللوغاريتم العشري) لعدّ أرقام عدد طبيعي؟

دالة اللوغاريتم للأساس a تعمم دالة ln: فهي في الحقيقة ln معادة القياس بثابت يعتمد على a. و أهم حالتين في التطبيقات هما ⁦a=e⁩ (نجد ln نفسها) و ⁦a=10⁩ (اللوغاريتم العشري).

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف دالة اللوغاريتم للأساس a بدلالة الدالة ln
  • معرفة الخواص الجبرية للوغاريتم بالأساس a و اتجاه تغيرها حسب قيمة a
  • تعريف اللوغاريتم العشري كحالة خاصة عندما يكون الأساس 10
  • استعمال اللوغاريتم العشري لتعيين عدد الأرقام في الكتابة العشرية لعدد طبيعي
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف و خواص دالة اللوغاريتم النيبيري ln (الجمع، الفرق، القوة)
  • اتجاه تغير دالة مركبة
  • القسمة الإقليدية و الجزء الصحيح لعدد حقيقي

1. تعريف دالة اللوغاريتم للأساس a

تعريف اللوغاريتم بالأساس a

الشرط ⁦a≠1⁩ ضروري لأن ⁦ln(1)=0⁩ يجعل القسمة غير معرفة، و a يجب أن يكون موجبا تماما لكي يكون له لوغاريتم نيبيري. الدالة اللوغاريتمية بهذا الأساس معرفة، مثل ln، على الأعداد الموجبة تماما.

loga(x) = ln(x)ln(a)
aعدد حقيقي موجب تماما و مختلف عن 1
حالة الأساس e

لأن ⁦ln(e)=1⁩، فإن القسمة على ⁦ln(a)⁩ لا تغيّر شيئا: دالة اللوغاريتم للأساس e هي ln نفسها.

loge(x) = ln(x)

عندما يكون الأساس a يساوي 10، تسمى الدالة اللوغاريتمية بهذا الأساس دالة اللوغاريتم العشري و نرمز إليها بالرمز log وحده (بدون كتابة الأساس).

2. الخواص الجبرية للوغاريتم بالأساس a

هذه الخواص تُستنتج مباشرة من خواص ln، بقسمة كل حد على ⁦ln(a)⁩.

الخاصية 1
loga(x×y) = loga(x) + loga(y)
الخاصية 2
loga(1y) = −loga(y)
الخاصية 3
loga(xy) = loga(x) − loga(y)
الخاصية 4
loga(xn) = n × loga(x)

3. اتجاه التغيرات و التمثيل البياني

بما أن اللوغاريتم بالأساس a يساوي ⁦ln(x)⁩ مضروبة في الثابت ⁦1/ln(a)⁩، فإن إشارة ⁦ln(a)⁩ هي التي تحدد اتجاه تغير هذه الدالة.

الحالة ⁦0<a<1⁩
0 < a < 1 ⟹ ln(a) < 0
الحالة ⁦a>1⁩
a > 1 ⟹ ln(a) > 0

إذن اللوغاريتم بالأساس a متناقص تماما إذا كان a بين 0 و 1، و متزايد تماما إذا كان a أكبر من 1.

مشتقة اللوغاريتم بالأساس a
(loga)′(x) = 1x × ln(a)
✅النّتيجة: جدول تغيرات اللوغاريتم بالأساس a عندما ⁦a>1⁩
x01a+∞
⁦loga(x)⁩−∞01+∞
القيمتان 1 و 0 المكتوبتان فوق ⁦x=a⁩ و ⁦x=1⁩ تقابلان ⁦loga(a)=1⁩ و ⁦loga(1)=0⁩، الصحيحتان مهما كان الأساس a.
مثال 1: معادلة بلوغاريتم أساسه أصغر من 1

نعتبر المعادلة ⁦logb(2x + 2) = logb(x + 3)⁩، حيث الأساس b أصغر من 1.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

📌المعطى

نرمز للأساس بـ b لتفادي كتابته كسرا في كل مرة.

b = 0,5
🔹الخطوة 1: شرط الطرف الأول

يشترط أن يكون الطرف الأول موجبا تماما.

2x + 2 > 0 ⟹ x > −1
🔹الخطوة 2: شرط الطرف الثاني

و كذلك الطرف الثاني.

x + 3 > 0 ⟹ x > −3
🔹الخطوة 3: مجموعة التعريف

نأخذ تقاطع الشرطين.

D = ]−1;+∞[
🔹الخطوة 4: حل المعادلة

بما أن اللوغاريتم بهذا الأساس متباين تماما (b مختلف عن 1)، فمساواة الصورتين تعني مساواة الأصلين.

2x + 2 = x + 3 ⟹ x = 1
✅النّتيجة

نتحقق أن الحل ينتمي إلى D.

1 ∈ D ⟹ S = {1}
⭐ في أي معادلة لوغاريتمية، ابدأ دائما بتعيين مجموعة التعريف قبل أي تبسيط.
مثال 2: متراجحة بأساس أصغر من 1

نعتبر المتراجحة ⁦logb(2x + 2) > logb(x + 3)⁩ بنفس الأساس ⁦b=0,5⁩ من المثال السابق.

🎯المطلوب: حلّ هذه المتراجحة.

📌المعطى: الأساس

نستعمل نفس الأساس من المثال السابق.

b = 0,5
📌المعطى: مجموعة التعريف

و نفس مجموعة التعريف من المثال السابق.

D = ]−1;+∞[
🔹الخطوة 1: عكس اتجاه المتراجحة

بما أن b أصغر من 1، فاللوغاريتم بهذا الأساس متناقص تماما، فهذه المتراجحة بين الصورتين تعكس المتراجحة بين الأصلين.

2x + 2 < x + 3
🔹الخطوة 2: حل المتراجحة

نبسط هذه المتراجحة.

x < 1
✅النّتيجة

نأخذ تقاطع هذا الحل مع مجموعة التعريف D.

S = ]−1;1[
⭐ عندما يكون الأساس أصغر من 1، اعكس دائما اتجاه المتراجحة عند حذف اللوغاريتم من الطرفين.
مثال 3: معادلة من الدرجة الثانية في ⁦log(x)⁩

نعتبر المعادلة ⁦2×[log(x)]²+log(x)−6=0⁩ (⁦log⁩ هو اللوغاريتم العشري).

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

📌المعطى

نضع ⁦X = log(x)⁩ لتحويل المعادلة إلى معادلة من الدرجة الثانية في X.

2 × [log(x)]² + log(x) − 6=0
🔹الخطوة 1: التعويض

بالتعويض ⁦X=log(x)⁩ نحصل على معادلة الدرجة الثانية التالية.

2 X² + X − 6 = 0
🔹الخطوة 2: المميز

نحسب المميز.

Δ=1² − 4×2×(−6)=49
🔹الخطوة 3: الحل الأول

جذر المميز موجب، فللمعادلة حلان.

X′=−1 − 74=−2
🔹الخطوة 4: الحل الثاني

و الحل الثاني.

X″=−1 + 74=32
🔹الخطوة 5: الحل من ⁦X′⁩

من ⁦X′=−2⁩ نستنتج x بتعريف log مباشرة.

log(x) = −2 ⟹ x = 10−2
🔹الخطوة 6: الحل من ⁦X″⁩

من ⁦X″=3/2⁩ نكتب log بدلالة ln ثم نرفع الطرفين إلى القوة 2.

ln(x)ln(10) = 32 ⟹ x² = 10³
✅النّتيجة النهائية

نأخذ الجذر الموجب لأن x يجب أن يكون موجبا تماما.

x = √(10³) ⟹ S = {10−2 ; √(10³)}
⭐ أمام معادلة من الدرجة الثانية في ⁦log(x)⁩، ضع دائما ⁦X=log(x)⁩ أولا، ثم عد إلى x بعد إيجاد قيم X.
مثال 4: اتجاه تغير دالة تحتوي log بأساس 2

نعتبر الدالة f المعرّفة على ⁦]1;+∞[⁩ بـ ⁦f(x) = log₂(x − 1) − k⁩، حيث k عدد حقيقي ثابت.

🎯المطلوب: عيّن اتجاه تغير الدالة f.

🔹الخطوة 1: مشتقة f

نشتق العبارة اللوغاريتمية بالأساس 2 بتطبيق مشتقة اللوغاريتم بالأساس a المرفقة بمشتقة دالة مركبة.

f′(x)=1(x − 1) × ln(2)
✅النّتيجة

⁦x−1⁩ موجب تماما على هذا المجال، و ⁦ln(2)⁩ موجب تماما، فالمقام كله موجب تماما.

f′(x) > 0
⭐ لاحظ أيضا أن منحنى f هو صورة منحنى اللوغاريتم بالأساس 2 بانسحاب: هذا يفسر مباشرة لماذا يحافظان على نفس اتجاه التغير، دون حتى حساب المشتقة.

مشتقة f موجبة تماما على ⁦]1;+∞[⁩، إذن f متزايدة تماما على هذا المجال.

4. اللوغاريتم العشري و عدّ الأرقام

نعلم أنه لكل عدد طبيعي غير معدوم N، يوجد عدد طبيعي وحيد n يحقق ⁦10n ≤ N < 10n⁺¹⁩، و ⁦n+1⁩ هو بالضبط عدد الأرقام في الكتابة العشرية لِـ N.

خاصية عدد الأرقام
d(N) = 1 + E(log(N))
dعدد الأرقام في الكتابة العشرية لِـ NEالجزء الصحيح لعدد حقيقي
مثال 5: عدد أرقام العدد 2006 مرفوعا للأس 2007

نعتبر العدد الطبيعي ⁦N = 2006⁩ مرفوعا للأس 2007.

🎯المطلوب: عيّن عدد الأرقام في الكتابة العشرية للعدد N.

🔹الخطوة 1: حساب ⁦E(log(N))⁩

نحسب اللوغاريتم العشري للأساس ثم نضربه في الأس.

2007 × log(2006) = 6627,778…
🔹الخطوة 2: الجزء الصحيح

نأخذ الجزء الصحيح من هذا العدد.

E(2007 × log(2006)) = 6627
✅النّتيجة

نطبق الخاصية ⁦d(N) = 1+E(log(N))⁩.

d(2006²⁰⁰⁷) = 6628
⭐ لا حاجة لكتابة N رقما رقما: اللوغاريتم العشري يعطي عدد أرقامه بحساب واحد فقط.
مثال 6: محيط مستطيل بدلالة اللوغاريتم العشري

نعتبر مستطيلا رؤوسه O أصل المعلم، ⁦A(x;0)⁩، ⁦B(x;log(x))⁩، و ⁦x>1⁩ (لكي يكون ⁦log(x)>0⁩ و الشكل مستطيلا حقيقي الأبعاد).

🎯المطلوب: احسب بدلالة x محيط هذا المستطيل.

🔹الخطوة 1: تعيين النقطة C

النقطة C يجب أن تجعل من الشكل الرباعي مستطيلا، أي أن يكون شعاع OC مساويا لشعاع AB.

C(0 ; log(x))
🔹الخطوة 2: طولا الضلعين

طول الضلع الأفقي هو الفاصلة x، و طول الضلع الرأسي هو ⁦log(x)⁩ (لـ ⁦x>1⁩).

OA = x ; OC = log(x)
✅النّتيجة

محيط المستطيل يساوي ضعف مجموع طولي ضلعين متتاليين.

P = 2×(x + log(x))
⭐ لاحظ أن خواص log الجمع و الفرق و القوة هي نفسها خواص ln، لأن log ليست سوى ln مقسومة على الثابت ⁦ln(10)⁩.
⚠️ لا تنسَ أبدا الشرط ⁦a≠1⁩ في تعريف اللوغاريتم بالأساس a: فلو كان ⁦a=1⁩، لكان المقام ⁦ln(a)⁩ معدوما و القسمة غير ممكنة.
كل منحنيات loga تمر من النقطة ⁦(1;0)⁩ — لأن ⁦loga(1)=0⁩ مهما كان الأساس — لكن اتجاه تغيرها يختلف: متزايدة إذا كان ⁦a>1⁩، متناقصة إذا كان a أصغر من 1.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس في أسئلة من نوع أمثلته: «حلّ معادلة أو متراجحة لوغاريتمية»، و«عيّن عدد أرقام عدد طبيعي كبير جدّا في كتابته العشرية». جهّز ثلاثة عناصر: ① التعريف: ⁦loga(x) = ln(x)/ln(a)⁩ من أجل a موجب تماما ومختلف عن 1، واتّجاه تغيّرها يتبع إشارة ⁦ln(a)⁩: متزايدة إذا كان ⁦a > 1⁩، ومتناقصة إذا كان ⁦0 < a < 1⁩ ؛ ② الخواصّ الجبرية كخواصّ ⁦ln: loga(x × y) = loga(x) + loga(y)⁩، و ⁦loga(xn) = n × loga(x)⁩ ؛ ومعادلة من الدرجة الثانية في ⁦log(x)⁩ تُحلّ بوضع ⁦X = log(x)⁩ ؛ ③ عدّ الأرقام: عدد أرقام N يساوي ⁦1 + E(log N)⁩، حيث log اللوغاريتم العشري و E الجزء الصحيح. ⚠️ الخطأ الشائع: نسيان قلب اتّجاه المتراجحة حين يكون الأساس أصغر من 1، لأنّ الدالّة عندئذ متناقصة. ⚠️ وخطأ ثانٍ: نسيان الشرط ⁦a ≠ 1⁩ ؛ لو كان ⁦a = 1⁩ لانعدم المقام ⁦ln(a)⁩.
الخلاصة: اللوغاريتم بالأساس a يساوي ⁦ln(x)/ln(a)⁩، فهو يعمم اللوغاريتم النيبيري إلى أي أساس a موجب تماما و مختلف عن 1، و اتجاه تغيرها يتبع إشارة ⁦ln(a)⁩. الحالة ⁦a=10⁩ تسمى اللوغاريتم العشري log، و خاصيتها الأهم عمليا هي أن عدد أرقام عدد طبيعي N في الكتابة العشرية يساوي ⁦1+E(log N)⁩ — أداة تعدّ أرقام عدد ضخم جدا دون كتابته رقما رقما.

الصفحة 1/11

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net