الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الدالة الأسية: التعريف و الكتابة ⁦e^x⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك

رأينا أن دالة اللوغاريتم النيبيري ln دالة متزايدة تماما تأخذ كل قيمة حقيقية مرة واحدة بالضبط، انطلاقا من عدد موجب تماما. فكيف نُعرّف الدالة العكسية لِـ ln، و لماذا نرمز إليها بالكتابة e^x؟

الدالة الأسية هي الدالة العكسية لدالة اللوغاريتم النيبيري: بدل الانطلاق من عدد موجب تماما y و حساب ⁦ln(y)⁩، ننطلق من عدد حقيقي x كيفي و نبحث عن العدد الموجب تماما y الذي لوغاريتمه يساوي x.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تعريف الدالة الأسية exp كدالة عكسية لدالة اللوغاريتم النيبيري ln
معرفة العلاقة بين الرمزين ⁦exp(x)⁩ و e^x
معرفة الخواص الأساسية للدالة الأسية: الإشارة، الرتابة، و التكافؤان ⁦e^a=e^b⁩ و ⁦e^a<e^b⁩
حل معادلات و متراجحات بسيطة تتضمن الدالة الأسية أو ln

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

تعريف و رتابة دالة اللوغاريتم النيبيري ln
الخاصيتان ⁦ln(a)=ln(b)⟺a=b⁩ و ⁦ln(a)<ln(b)⟺a<b⁩

1. التعريف

تعريف الدالة الأسية

y = exp(x) ⟺ x = ln(y)

لكل عدد حقيقي x يوجد عدد موجب تماما وحيد y يحقق هذه المعادلة (لأن ln متزايدة تماما و تأخذ كل القيم الحقيقية): هذا ما يجعل exp دالة معرفة على كل ℝ.

2. الرمز e^x

خاصية

لأن ⁦ln(e)=1⁩، فإن ⁦ln(eⁿ)=n×ln(e)=n×1=n⁩، لكل عدد صحيح نسبي n.

ln(eⁿ) = n

✅النّتيجة: exp للأعداد الصحيحة

exp(n) = eⁿ

الاصطلاح

نعمم الترميز e^x إلى كل عدد حقيقي x (لا فقط الأعداد الصحيحة)، و نقرأ e^x: أسية x.

exp(x) = e^x

3. خواص أساسية

الخاصية 1: الإشارة

e^x > 0

الخاصية 2: التعريف بالترميز الجديد

y = e^x ⟺ x = ln(y)

الخاصية 3

ln(e^x) = x

الخاصية 4

e^ln(x) = x

مثال: القيمة في 0

ln(1) = 0 ⟹ e⁰ = 1

مثال: القيمة في 1

ln(e) = 1 ⟹ e¹ = e

الخاصية 5: المساواة

e^a = e^b ⟺ a = b

الخاصية 6: الرتابة

e^a < e^b ⟺ a < b

الخاصيتان 5 و 6 تعنيان أن الدالة الأسية متزايدة تماما على ℝ، تماما كما أن ln متزايدة تماما على الأعداد الموجبة تماما.

مثال 1: معادلة أسية بمساواة الأسين

نعتبر المعادلة ⁦e^{x² + 3x − 3} = e^2x − 1⁩، أُسّاها كثيرا حدود من الدرجة الثانية و من الدرجة الأولى.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

🔹الخطوة 1: مساواة الأسين

نطبق التكافؤ ⁦e^a=e^b ⟺ a=b⁩ مباشرة على الأسين.

x² + 3x − 3 = 2x − 1

🔹الخطوة 2: تبسيط المعادلة

ننقل كل الحدود إلى طرف واحد.

x² + x − 2 = 0

🔹الخطوة 3: المميز

نحسب المميز.

Δ=1² − 4×1×(−2)=9

🔹الخطوة 4: الحل الأول

جذر المميز 3، فالحل الأول هو:

x′=−1 − 32=−2

🔹الخطوة 5: الحل الثاني

و الحل الثاني هو:

x″=−1 + 32=1

✅النّتيجة

مجموعة الحلول هي إذن:

S = {−2 ; 1}

⭐ أمام معادلة من الشكل ⁦e^u=e^v⁩، لا حاجة لأخذ ln: يكفي مساواة الأسين u و v مباشرة.

مثال 2: متراجحة أسية بمقارنة الأسين

نعتبر المتراجحة ⁦e^5x + 3 > e^3x − 1⁩، أُسّاها كثيرا حدود من الدرجة الأولى.

🎯المطلوب: حلّ هذه المتراجحة.

🔹الخطوة 1: مقارنة الأسين

نطبق التكافؤ ⁦e^a<e^b ⟺ a<b⁩ على الأسين.

5x + 3 > 3x − 1

🔹الخطوة 2: حل المتراجحة

نبسط المتراجحة.

2x > −4

✅النّتيجة

نقسم الطرفين على 2 (عدد موجب، الاتجاه لا يتغير).

S = ]−2;+∞[

مثال 3: معادلة أسية بأخذ ln للطرفين

نعتبر المعادلة ⁦e^2x − 1 = 3⁩، طرفها الأيمن عدد موجب تماما.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

🔹الخطوة 1: أخذ ln للطرفين

نأخذ ln لطرفي المعادلة، فيختفي الأس بخاصية ⁦ln(e^t)=t⁩.

2x − 1 = ln(3)

✅النّتيجة

نحل من أجل x.

x = 1 + ln(3)2

⭐ أمام معادلة من الشكل ⁦e^u=λ⁩ حيث λ موجب تماما، خذ ln لطرفيها مباشرة.

مثال 4: متراجحة أسية تتضمن عددا سالبا

نعتبر المتراجحة ⁦e^x + 2 > a⁩، حيث a عدد حقيقي سالب.

🎯المطلوب: حلّ هذه المتراجحة.

🔹الخطوة 1: استعمال خاصية الإيجابية

الطرف الأيسر دالة أسية، و هي موجبة تماما مهما كانت قيمة x.

e^{x + 2} > 0

✅النّتيجة

و العدد الموجب تماما أكبر تماما من أي عدد سالب.

S = ℝ

⭐ تذكر دائما الخاصية الأولى: e^x موجب تماما مهما كانت قيمة x، حتى قبل أي حساب.

مثال 5: معادلة لوغاريتمية بالانتقال إلى الدالة الأسية

نعتبر المعادلة ⁦ln(2x−1) = 2⁩.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة.

🔹الخطوة 1: مجموعة التعريف

نحدد أولا مجموعة التعريف: يجب أن يكون ⁦2x−1⁩ موجبا تماما.

2x − 1 > 0 ⟹ D = ]1/2;+∞[

🔹الخطوة 2: تطبيق الدالة الأسية

نطبق الدالة الأسية على الطرفين لإزالة ln (لأن تطبيق الدالة الأسية على ⁦ln(t)⁩ يعطي t مباشرة).

2x − 1 = e²

🔹الخطوة 3: حل المعادلة

نحل من أجل x.

x = e² + 12

✅النّتيجة

نتحقق من انتماء الحل إلى D.

e² + 12 ∈ D ⟹ S = {e² + 12}

⭐ الخاصيتان 3 و 4 هما الأداتان اللتان تسمحان بالانتقال بين معادلة أسية و معادلة لوغاريتمية: خذ ln لإزالة الأس، أو طبّق exp لإزالة ln.

⚠️ تطبيق الدالة الأسية على ⁦ln(x)⁩ لا يُعرَّف إلا لِـ x موجب تماما (لأن ⁦ln(x)⁩ نفسه يحتاج ⁦x>0⁩)، بينما ⁦ln(e^x)⁩ معرفة لكل عدد حقيقي x.

مخطط بشكل حلقة بين مربعين: الأول يحمل x و يرسل سهما بعنوان exp نحو الثاني الذي يحمل y، و الثاني يرسل سهم عودة بعنوان ln نحو الأول، ليبين أن الدالتين تعكس إحداهما الأخرى. — exp و ln تعكس إحداهما عمل الأخرى: إن كان ⁦y=exp(x)⁩ فإن ⁦x=ln(y)⁩، و العكس صحيح.

في البكالوريا يأتي هذا الدرس في أسئلة قصيرة داخل التمرين: «حلّ في ℝ المعادلة أو المتراجحة» وفيها ⁦e^x⁩ أو ln، وهي أدوات تحتاجها بعدها في دراسة الدالّة. جهّز ثلاثة عناصر: ① التعريف: ⁦y = e^x⁩ يكافئ ⁦x = ln(y)⁩، فالدالّة الأسية هي الدالّة العكسية لـ ln، معرّفة على ℝ وقيمها موجبة تماما ؛ ② التكافؤان: ⁦e^a = e^b⁩ يكافئ ⁦a = b⁩، و ⁦e^a < e^b⁩ يكافئ ⁦a < b⁩، وهما يحلّان كلّ معادلة أو متراجحة أسية بسيطة ؛ ③ العلاقتان: ⁦ln(e^x) = x⁩ لكلّ عدد حقيقي x، و ⁦e^ln x = x⁩ من أجل ⁦x > 0⁩ فقط، مع ⁦e⁰ = 1⁩ و ⁦e¹ = e⁩. ⚠️ الخطأ الشائع: كتابة ⁦e^ln x = x⁩ دون شرط ؛ هذه العلاقة لا تُعرَّف إلّا من أجل x موجب تماما، لأنّ ⁦ln(x)⁩ نفسه يحتاج ⁦x > 0⁩. ⚠️ وخطأ ثانٍ: البحث عن حلّ لمعادلة من الشكل ⁦e^x⁩ = عدد سالب أو معدوم ؛ ⁦e^x > 0⁩ دائما، فلا حلّ لها.

الخلاصة: الدالة الأسية exp هي الدالة العكسية لِـ ln، معرفة على كل ℝ و تأخذ قيما موجبة تماما فقط. نكتبها e^x لكل عدد حقيقي x، و هي متزايدة تماما: ⁦e^a=e^b⁩ يكافئ ⁦a=b⁩، و ⁦e^a<e^b⁩ يكافئ ⁦a<b⁩. هاتان الخاصيتان الأخيرتان هما اللتان تحلان كل معادلة أو متراجحة أسية بسيطة، تماما كما كانت خاصيتا ln تحلان المعادلات اللوغاريتمية.

الصفحة 1/9

📍 خلال السنة

🟦 ف1 · 🟩 ف2 · 🟪 ف3 · 📝 امتحانات الأسابيع 14/27/36 · 🎓 بكالوريا

📌 لتتذكّر

الخلاصة: الدالة الأسية exp هي الدالة العكسية لِـ ln، معرفة على كل ℝ و تأخذ قيما موجبة تماما فقط. نكتبها e^x لكل عدد حقيقي x، و هي متزايدة تماما: ⁦e^a=e^b⁩ يكافئ ⁦a=b⁩، و ⁦e^a<e^b⁩ يكافئ ⁦a<b⁩. هاتان الخاصيتان الأخيرتان هما اللتان تحلان كل معادلة أو متراجحة أسية بسيطة، تماما كما كانت خاصيتا ln تحلان المعادلات اللوغاريتمية.

تعريف الدالة الأسية

y = exp(x) ⟺ x = ln(y)

خاصية

ln(eⁿ) = n

الاصطلاح

exp(x) = e^x

الخاصية 1: الإشارة

e^x > 0

الخاصية 2: التعريف بالترميز الجديد

y = e^x ⟺ x = ln(y)

الخاصية 3

ln(e^x) = x

الخاصية 4

e^ln(x) = x

مثال: القيمة في 0

ln(1) = 0 ⟹ e⁰ = 1

الدالة الأسية: التعريف و الكتابة ⁦e^x⁩

1. التعريف

2. الرمز ex

3. خواص أساسية

2. الرمز e^x