الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

التزايد المقارن و النهايات ⁦lim e^x / x = +∞⁩ و ⁦lim x·e^x = 0⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك

في دراسة الكلفة الهامشية لمؤسسة نجد أحيانا عبارات تجمع بين قوة الكمية المنتجة x والدالة الأسية e^x، فتشتد الحاجة إلى معرفة أيّ الحدّين يفرض سلوك العبارة كلها عند القيم الكبيرة. فأيّ الحدّين يتغلّب عند اللانهاية، الدالة الأسية أم كثير الحدود؟

الجواب يحمله سطران، لا أكثر: نسبة e^x على x تؤول إلى +∞ عند +∞، وجداء x في e^x يؤول إلى الصفر عند -∞. الأسية تتغلب دائما على أي قوة لـ x، مهما كان معامل هذه القوة كبيرا.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تذكر النهايتين الأساسيتين ⁦lim(e^x/x)⁩ عند +∞ و ⁦lim(x e^x)⁩ عند -∞
تبرهن على النهاية الأولى بواسطة دالة وسيطة ومشتقتيها الأولى والثانية
تعمم النهايتين على القسمة والجداء مع xⁿ عوض x
تحسب نهايات فرق أو جداء بين حدّ أسي وحدّ كثير حدود بإخراج العامل المهيمن

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

نهايتا الدالة الأسية e^x عند +∞ وعند -∞
اشتقاق الدالة الأسية ودراسة إشارة دالة بواسطة مشتقتها
مبدأ النهايات بالمقارنة

1. برهان النهاية الأولى: e^x تتغلب على x

الخاصيتان الأساسيتان

lim(x → +∞) e^xx = +∞ ; lim(x → -∞) x e^x = 0

مثال 1: برهان النهاية الأولى بدالة وسيطة

ندرس على المجال الذي بدايته الصفر الدالة f المعرفة بـ ⁦f(x) = e^x - x²/2⁩.

🎯المطلوب: بيّن أنّ الدالة f موجبة على هذا المجال، ثمّ استنتج نهاية النسبة ⁦e^x/x⁩ عند +∞.

🔹الخطوة 1: المشتقتان الأولى والثانية

نشتق f مرتين متتاليتين لنصل إلى إشارة معروفة.

f′(x) = e^x - x ; f″(x) = e^x - 1

🔹الخطوة 2: إشارة المشتقة الثانية

من أجل x موجب e^x أكبر من أو يساوي واحد، فالمشتقة الثانية موجبة.

f″(x) ≥ 0

🔹الخطوة 3: إشارة المشتقة الأولى

مشتقة ثانية موجبة تعني أن ⁦f′⁩ متزايدة، وقيمتها الأولى ⁦f′(0)⁩ موجبة.

f′(0) = 1 ⟹ f′(x) ≥ 0

🔹الخطوة 4: إشارة f

مشتقة أولى موجبة تعني أن f متزايدة، وقيمتها الأولى ⁦f(0)⁩ موجبة.

f(0) = 1 ⟹ f(x) ≥ 0

🔹الخطوة 5: القسمة على x

f موجبة تعني e^x أكبر من أو يساوي نصف مربع x؛ نقسم على x الموجب تماما.

e^x ≥ x²2 ⟹ e^xx ≥ x2

✅النتيجة

lim(x → +∞) x2 = +∞ ⟹ lim(x → +∞) e^xx = +∞

هذا السلّم بدرجتين -مشتقة ثانية ثم مشتقة أولى ثم الدالة نفسها- هو الطريقة القياسية لإثبات متباينة بين دالتين لا تتقاطعان.

مثال 2: برهان النهاية الثانية بتغيير المتغير

نريد حساب نهاية الجداء x e^x عند -∞، انطلاقا من النهاية التي أثبتناها في المثال الأول.

🎯المطلوب: أثبت أن نهاية الجداء x e^x عند -∞ تساوي الصفر.

🔹الخطوة 1: تغيير المتغير

نضع X مساويا لمعاكس x، فيؤول X إلى +∞ لما يؤول x إلى -∞.

X = -x

🔹الخطوة 2: العبارة بدلالة X

نعوض في الجداء: e^x تصبح ⁦e^−X⁩ بدلالة X.

x e^x = -X e^-X

🔹الخطوة 3: إعادة الكتابة كنسبة

نكتب هذا الجداء على شكل نسبة كي نستعمل النهاية المعروفة.

-X e^-X = -Xe^X

🔹الخطوة 4: نهاية المقلوب

نعلم من المثال الأول أن ⁦e^x/x⁩ يؤول إلى +∞ عند +∞، فمقلوب هذه النسبة يؤول إلى الصفر.

lim(X → +∞) Xe^X = 0

✅النتيجة

lim(x → -∞) x e^x = lim(X → +∞) -Xe^X = 0

كل نهاية عند -∞ تخصّ الدالة الأسية تُرَدّ بهذا التغيير البسيط ⁦X = -x⁩ إلى نهاية معروفة عند +∞.

2. التعميم على xⁿ

التعميم (خاصيتان بدون برهان)

نفس السلوك يتكرر مهما كانت درجة كثير الحدود n؛ برهانهما يخرج عن هذا الدرس فنقبلهما دون برهان، تماما كما يفعل الكتاب.

lim(x → +∞) e^xxⁿ = +∞ ; lim(x → -∞) xⁿ e^x = 0

3. لماذا نقول: الأسية تسحق كل قوة

و تُقارن كذلك x باللوغاريتم النيبيري ln x، فتخرج بترتيب واحد يلخص الباب كله: الأسية تسبق أي قوة لـ x، وأي قوة لـ x تسبق اللوغاريتم النيبيري. الرسم الموالي يقرأ هذا الترتيب رأي العين.

خمسة منحنيات في معلم واحد: الأسية eˣ ترتفع أسرع من x³ ثم x² ثم x، ولوغاريتم x يبقى في الأسفل — وهذا هو ترتيب سرعة التزايد عند اللانهاية. — الترتيب من الأعلى نحو الأسفل يلخص الفقرة كلها: الأسية تسبق القوة، والقوة تسبق اللوغاريتم.

مثال 3: نهاية فرق بين أسية وكثير حدود

نريد حساب نهاية الفرق e^x - x عند +∞.

🎯المطلوب: احسب نهاية الفرق e^x - x عند +∞.

🔹الخطوة 1: إخراج العامل المشترك

نضع x عاملا مشتركا لنُظهر النسبة ⁦e^x/x⁩ التي نعرف نهايتها.

e^x - x = x(e^xx - 1)

🔹الخطوة 2: نهاية القوس

النسبة ⁦e^x/x⁩ تؤول إلى +∞ فالقوس كله يؤول إلى +∞.

lim(x → +∞) (e^xx - 1) = +∞

✅النتيجة

lim(x → +∞) (e^x - x) = +∞

أمام فرق بين أسية وكثير حدود، أخرج دائما x عاملا مشتركا لتظهر الصيغة الشهيرة ⁦e^x/x⁩.

مثال 4: نهاية جداء عند -∞

نريد حساب نهاية الجداء ⁦(2x - 1)e^x⁩ عند -∞.

🎯المطلوب: احسب نهاية الجداء ⁦(2x - 1)e^x⁩ عند -∞.

🔹الخطوة 1: النشر

ننشر الجداء إلى حدين، كل واحد منهما من الصيغة الشهيرة.

(2x - 1)e^x = 2x e^x - e^x

🔹الخطوة 2: نهاية كل حد

الحد الأول جداء x في e^x فيؤول إلى الصفر، والحد الثاني e^x يؤول إلى الصفر أيضا.

lim(x → -∞) 2x e^x = 0 ; lim(x → -∞) e^x = 0

✅النتيجة

lim(x → -∞) (2x - 1)e^x = 0

انشر الجداء أولا: كل حد يعود بعدها إلى إحدى الصيغتين الشهيرتين.

مثال 5: نهاية نسبة بين أسية وكثير حدود من الدرجة الثانية

نريد حساب نهاية النسبة ⁦2e^x/(x² + x + 1)⁩ عند +∞.

🎯المطلوب: احسب نهاية النسبة ⁦2e^x/(x² + x + 1)⁩ عند +∞.

🔹الخطوة 1: العامل المشترك في المقام

نخرج x² عاملا مشتركا في المقام، فتظهر عبارة تؤول إلى واحد.

x² + x + 1=x²(1 + 1x + 1x²)

🔹الخطوة 2: إعادة الكتابة

نعيد كتابة النسبة كجداء بين ⁦e^x/x²⁩ وعبارة تؤول إلى واحد.

2e^xx² + x + 1=(2e^xx²) × (11 + 1x + 1x²)

🔹الخطوة 3: نهاية كل عامل

الحد الأول يؤول إلى +∞ (تعميم النهاية الشهيرة بـ ⁦n=2⁩)، والحد الثاني يؤول إلى واحد.

lim(x → +∞) e^xx² = +∞ ; lim(x → +∞) 11 + 1x + 1x² = 1

✅النتيجة

lim(x → +∞) 2e^xx² + x + 1 = +∞

في نسبة بين أسية وكثير حدود، ضع كثير الحدود على شكل xⁿ مضروبا في عبارة تؤول إلى واحد، ثم طبق الصيغة الشهيرة.

⭐ تعرف على الصيغة أولا قبل أي حساب: نسبة أسية على x أو كثير حدود منها هي دائما واحدة من الصيغتين الشهيرتين، وسيطة أو مباشرة.

⛔ لا تكتب أبدا +∞ على +∞ أو صفر ضرب لانهاية ثم تتوقف: هذه ليست نتيجة، بل دعوة إلى إخراج عامل مهيمن باستعمال إحدى الصيغتين الشهيرتين.

في الامتحان، اذكر صراحة اسم الصيغة الشهيرة التي تستعملها قبل كتابة نتيجة النهاية؛ الخطوة الوسطى هي التي تُنقّط، لا النتيجة وحدها.

الخلاصة: عند اللانهاية، الدالة الأسية e^x تسبق أي قوة لـ x سبقا لا يُدرك، سواء كتبت النسبة أو الجداء. صيغتان تُحفظان: ⁦e^x/x⁩ يؤول إلى +∞ عند +∞، و x e^x يؤول إلى الصفر عند -∞، وتعميمهما إلى xⁿ يحل كل نهاية من هذا النوع بعد إخراج العامل المهيمن.

الصفحة 1/7

التزايد المقارن و النهايات ⁦lim e^x / x = +∞⁩ و ⁦lim x·e^x = 0⁩

1. برهان النهاية الأولى: ex تتغلب على x

2. التعميم على xn

3. لماذا نقول: الأسية تسحق كل قوة

1. برهان النهاية الأولى: e^x تتغلب على x

2. التعميم على xⁿ