مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

دراسة دوال من الشكل ⁦exp ∘ u⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك
عائدات مؤسسة تُنمذج أحيانا بعبارة أسية أسّها ليس x نفسه بل عبارة جبرية فيه، كأن يكون الأس مجموع حدين أو مربع x، فتصير دراسة الدالة تمر أولا بدراسة هذا الأس. فكيف ننقل خواص الدالة الأسية ex إلى دالة من الشكل exp∘u حيث u دالة أخرى؟

لدراسة دالة من الشكل exp∘u لا نحسب شيئا مباشرة على exp: نمرّ دوما بالدالة الداخلية u أولا، ثم ننقل النتيجة عبر خاصية الدالة الأسية ex.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تحسب نهايتي دالة من الشكل exp∘u بالمرور بنهاية الدالة الداخلية u
  • تستنتج اتجاه تغير exp∘u من اتجاه تغير u دون حساب جديد
  • تشتق دالة من الشكل exp∘u وتوجد دالة أصلية لها
  • تميز بين دالة من الشكل exp∘u ودالة من الشكل ln∘u
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • نهايتا الدالة الأسية ex عند +∞ وعند -∞
  • مبرهنة نهاية دالة مركبة
  • اشتقاق دالة مركبة على الصيغة ⁦(u∘v)′⁩

1. النهايات

لحساب نهاية exp∘u عند نقطة، نحسب أولا نهاية u عند تلك النقطة، ثم نطبق نهاية exp عند العدد أو اللانهاية التي وجدناها.

مثال 1: نهايتا دالة من الشكل exp∘u

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ ⁦f(x) = exp(-x + 2)⁩.

🎯المطلوب: أوجد نهايتي الدالة f عند -∞ وعند +∞.

🔹الخطوة 1: نهاية الأس عند -∞

نحسب أولا نهاية الأس ⁦-x+2⁩.

lim(x → -∞) (-x + 2) = +∞
🔹الخطوة 2: النهاية الأولى

نطبق نهاية exp عند +∞.

lim(X → +∞) exp(X) = +∞ ⟹ lim(x → -∞) f(x) = +∞
🔹الخطوة 3: نهاية الأس عند +∞

نحسب نهاية الأس عند +∞.

lim(x → +∞) (-x + 2) = -∞
✅النتيجة

نطبق نهاية exp عند -∞.

lim(X → -∞) exp(X) = 0 ⟹ lim(x → +∞) f(x) = 0
لا تحسب أبدا exp∘u مباشرة: مرّ دوما بنهاية الأس أولا، ثم اقرأ نهاية exp عند القيمة أو اللانهاية التي وجدتها.

2. اتجاه التغيرات

إذا كانت u دالة معرفة على مجال I، فللدالتين u و exp∘u نفس اتجاه التغير على هذا المجال؛ والسبب أن الدالة الأسية exp متزايدة تماما على ℝ كله، فهي لا تعكس أي اتجاه.

مثال 2: اتجاه تغير دالة من الشكل exp∘u

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ ⁦f(x) = exp(x² - 1)⁩.

🎯المطلوب: ادرس اتجاه تغير الدالة f على ℝ.

🔹الخطوة 1: الدالة الداخلية

نحدد الدالة الداخلية.

u(x) = x² - 1
🔹الخطوة 2: نقطة التحول

نشتق u لنعرف أين تتحول من التناقص إلى التزايد.

u′(x) = 2x ⟹ u′(x) = 0 ⟺ x = 0
✅النتيجة

f و u لهما نفس اتجاه التغير، ومشتقة f تحمل نفس إشارة ⁦u′⁩ لأن exp موجبة دائما.

f′(x) = 2x exp(x² - 1)
لا تشتق إن كان السؤال يطلب فقط اتجاه التغير: مرّ باتجاه تغير الأس u، فالنتيجة تنتقل مباشرة دون أي حساب إضافي.

بما أن الدالة الأسية موجبة دائما، فإشارة ⁦f′⁩ هي إشارة 2x بالضبط: الدالة f متناقصة على المجال الذي عناصره سالبة، ومتزايدة على المجال الذي عناصره موجبة — بالضبط اتجاه تغير u.

3. الاشتقاق ودالة أصلية

مشتقة exp∘u
(exp∘u)′(x) = u′(x) × exp(u(x))
مثال 3: اشتقاق دالة من الشكل exp∘u

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ ⁦f(x) = exp(x² + x + 1)⁩.

🎯المطلوب: أوجد الدالة المشتقة للدالة f.

🔹الخطوة 1: u ومشتقتها

نحدد u ومشتقتها.

u(x) = x² + x + 1 ; u′(x) = 2x + 1
✅النتيجة

نطبق قاعدة اشتقاق exp∘u.

f′(x)=(2x + 1)exp(x² + x + 1)
اكتب دائما ⁦u′(x)⁩ أولا، ثم اضربه في ⁦exp(u(x))⁩ نفسها دون تغيير الأس.
مثال 4: إيجاد دالة أصلية بالتعرف على الصيغة

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ بـ ⁦f(x) = -2x exp(-x²)⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن الدالة F المعرفة بـ ⁦F(x) = exp(-x²)⁩ دالة أصلية للدالة f على ℝ.

🔹الخطوة 1: u ومشتقتها

نضع ⁦u(x) = -x²⁩ ونحسب مشتقتها.

u(x) = -x² ; u′(x) = -2x
🔹الخطوة 2: مشتقة F

نشتق F ونقارنها بـ f.

F′(x)=u′(x)exp(u(x))=-2x exp(-x²)
✅النتيجة

⁦F′⁩ تساوي f تماما، فـ F دالة أصلية لها.

F′(x) = f(x)
للتعرف على صيغة ⁦u′(x)exp(u(x))⁩، ابحث أولا عن الأس ⁦u(x)⁩، ثم تحقق أن العامل الباقي هو مشتقتها بالضبط، لا أكثر ولا أقل.
مثال 5: نهايتا دالة تجمع بين الأسية واللوغاريتم

نعتبر الدالة f المعرفة على المجال الذي عناصره موجبة تماما بـ ⁦f(x) = exp(2 + ln x)⁩.

🎯المطلوب: أوجد نهايتي الدالة f عند 0 وعند +∞.

🔹الخطوة 1: إعادة الكتابة

نلاحظ أن الأس ⁦2+ln x⁩ يمكن تفكيكه بخاصية تحويل المجموع إلى جداء.

f(x)=exp(2) × exp(ln x)=e² × x
🔹الخطوة 2: النهاية عند 0

نحسب نهاية العبارة المبسطة e²x عند 0.

lim(x → 0) e² x = 0
🔹الخطوة 3: النهاية عند +∞
lim(x → +∞) e² x = +∞
أمام أس على شكل مجموع، حاول أولا فصله بخاصية ⁦exp(a+b) = exp(a) × exp(b)⁩: أحيانا تختفي الدالة exp∘u لتصبح عبارة بسيطة جدا.
⭐ اتجاه تغير exp∘u يتبع اتجاه تغير الأس u بالضبط: تناقص ثم تزايد، والدالة الأسية لا تغير هذا الاتجاه لأنها متزايدة دائما.
⛔ لا تخلط بين exp∘u (الدالة الخارجية أسية) ودالة من الشكل ln∘u (الدالة الخارجية لوغاريتمية): قواعد النهايات والمشتقة مختلفة تماما بين الحالتين، رغم تشابه الكتابة.
⭐ في كل خطوة من هذا الدرس، النقطة الحاسمة هي التعرف على الدالة الداخلية u أولا: بمجرد كتابتها صراحة، تصبح النهاية واتجاه التغير والمشتقة نتيجة مباشرة لخواصها هي.
في الامتحان، اكتب صراحة عبارة الدالة الداخلية ⁦u(x)⁩ قبل أي حساب على exp∘u: التنصيص عليها هو ما يُثبت أنك فهمت المركب، لا مجرد الجواب النهائي.
الخلاصة: دراسة exp∘u تُختزل دوما إلى دراسة الأس u: نهاية u تعطي نهاية exp∘u، اتجاه تغير u يعطي اتجاه تغير exp∘u، ومشتقة exp∘u هي دوما ⁦u′⁩ مضروبة في exp∘u نفسها.

الصفحة 1/6

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net