الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

حل مسائل حول دراسة دوال لوغاريتمية و أسية

🔊 المعلّمة تقرأ لك

ورشة إنتاج مصاريفها الثابتة اليومية وكلفتها الهامشية للوحدة معطاتان بعبارتين أسيتين، والمسير يريد معرفة عند أي إنتاج يبدأ الربح ويتوقف. فكيف نحلل مسألة كاملة تتضمن دالة أسية أو لوغاريتمية: من العبارة الجبرية إلى القرار العملي؟

حل مسألة كاملة لا يضيف نظرية جديدة: هو تطبيق ما تعرفه سلسلة مرتبة، سؤالا سؤالا. نبدأ بمسألة اقتصادية، ثم مسألة دراسة دالة، ثم مسألة استمثال.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

تربط دالة الكلفة الإجمالية بدالة الكلفة الهامشية بواسطة علاقة الدالة الأصلية
تدرس اتجاه تغير كلفة الوحدة وتحدد قيمتها الحدية الصغرى بدراسة إشارة مشتقتها
تحل معادلة أسية ناتجة عن مساواة كلفة بثمن لتحديد حدود الربح
تدرس دالة تتضمن الأسية ضمن مسألة كاملة: زوجية، نهايات، مقارب مائل
تحل مسألة استمثال بإرجاعها إلى دراسة إشارة دالة مساعدة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

خواص الدالتين الأسية واللوغاريتمية ونهاياتهما
اشتقاق حاصل قسمة ودالة مركبة
إيجاد دالة أصلية لعبارة أسية أو لوغاريتمية بسيطة

1. مسألة الكلفة: دالة أصلية ودالة مساعدة

نعتبر ورشة إنتاجها اليومي محصور بين الصفر و900 وحدة، مصاريفها الثابتة اليومية 7500 دينار، وثمن بيع الوحدة 45 دينارا. كلفتها الهامشية للوحدة x معطاة بالدالة g، وكلفتها الإجمالية بالدالة f، حيث:

📌المعطى

f(x) = 7500 × exp(0,002 x) ; g(x) = 15 × exp(0,002 x)

مثال 1: الكلفة الإجمالية دالة أصلية للكلفة الهامشية

ندرس نفس الدالتين f وg المعرفتين أعلاه على المجال الذي عناصره بين الصفر و900.

🎯المطلوب: بيّن أن الدالة f دالة أصلية للدالة g.

🔹الخطوة 1: اشتقاق f

نشتق f بتطبيق قاعدة اشتقاق ⁦exp(0,002x)⁩.

f′(x) = 7500 × 0,002 × exp(0,002 x)

🔹الخطوة 2: حساب المعامل

نحسب الجداء العددي.

7500 × 0,002 = 15

✅النتيجة

f′(x)=15 × exp(0,002 x)=g(x)

كلما طُلب إثبات أن f دالة أصلية لـ g، اشتق f فحسب وقارن الناتج بـ g حرفيا.

2. الكلفة المتوسطة للوحدة، وقيمتها الحدية

نعرف الكلفة المتوسطة للوحدة h بالعلاقة ⁦h(x) = f(x)/x⁩ على نفس المجال.

مثال 2: القيمة الحدية الصغرى للكلفة المتوسطة

ندرس اتجاه تغير الدالة h المعرفة بـ ⁦h(x) = f(x)/x⁩ على المجال الذي عناصره بين الصفر و900.

🎯المطلوب: ادرس اتجاه تغير الدالة h، واستنتج أنها تقبل قيمة حدية صغرى.

🔹الخطوة 1: البسط بعد التوحيد

نشتق h بتطبيق قاعدة اشتقاق حاصل القسمة، ونعوض f وg.

h′(x)=exp(0,002 x) × 15x - 7500x²

🔹الخطوة 2: القوس المحدد للإشارة

الأسية والمربع موجبان دائما، فإشارة ⁦h′⁩ هي إشارة القوس فقط.

15x - 7500

🔹الخطوة 3: نقطة الانعدام

القوس ينعدم عند القيمة التي تجعل 15x يساوي 7500.

15x - 7500 = 0 ⟺ x = 500

✅النتيجة

نعوض ⁦x=500⁩ في h، فيبسط 7500 على 500 إلى 15.

h(500) = 15 × exp(1) ≈ 40,77

إشارة حاصل قسمة مشتقة توجد دوما بتبسيط البسط أولا وإخراج عامل موجب مشترك، فيبقى فقط دراسة إشارة الباقي.

القوس 15x-7500 سالب قبل 500 وموجب بعده، فالدالة h متناقصة على المجال الذي عناصره بين الصفر و500، ثم متزايدة على المجال الذي عناصره بين 500 و900: تقبل إذن قيمة حدية صغرى وحيدة عند 500.

3. حل معادلة الكلفة: حدود الربح

المؤسسة تبيع الوحدة بـ45 دينارا، فنبحث عن الإنتاج الذي تساوي عنده الكلفة الهامشية هذا الثمن.

مثال 3: حل معادلة أسية لإيجاد نقطة تقاطع الثمن مع الكلفة الهامشية

نريد حلّ المعادلة ⁦g(x) = 45⁩ في المجال الذي عناصره بين الصفر و900.

🎯المطلوب: حلّ المعادلة ⁦g(x) = 45⁩.

🔹الخطوة 1: تبسيط المعادلة

نعوض g بعبارتها ونقسم على 15.

exp(0,002 x) = 3

🔹الخطوة 2: تطبيق اللوغاريتم

نطبق اللوغاريتم النيبيري على الطرفين.

0,002 x = ln 3

🔹الخطوة 3: عزل x

نعزل x بقسمة طرفي المساواة على 0,002.

x = ln 30,002

🔹الخطوة 4: كتابة القسمة ضربا في المقلوب

القسمة على 0,002 تكافئ الضرب في مقلوبه، و ⁦1/0,002 = 500⁩.

x = 500 × ln 3

✅النتيجة

x₀ = 500 × ln 3 ≈ 549,3

أمام معادلة ⁦exp(kx) = λ⁩ حيث λ موجب، طبق اللوغاريتم النيبيري مباشرة على الطرفين بعد عزل الأسية.

⭐ بما أن h تتناقص من +∞ إلى 15e ثم تتزايد إلى ما بعد 45، فإنها تساوي 45 مرتين بالضبط: مرة قبل القيمة الحدية 500 ومرة بعدها. بين هاتين القيمتين تكون الكلفة المتوسطة ⁦h(x)⁩ أصغر من 45، فيكون الربح ⁦45x-f(x)⁩ موجبا.

4. دراسة زوجية دالة ومقاربها المائل

ننتقل الآن إلى دالة أخرى تتضمن الأسية، لنطبق منهجية دراسة الدوال على مسألة كاملة.

📌المعطى

f(x)=x + 1 - 2e^xe^x + 1

مثال 4: إثبات أن دالة فردية

نعتبر نفس الدالة f المعرفة أعلاه على ℝ.

🎯المطلوب: بيّن أن الدالة f فردية.

🔹الخطوة 1: كتابة ⁦f(-x)⁩

نحسب ⁦f(-x)⁩ بتعويض x بـ-x في العبارة.

f(-x)=-x + 1 - 2e⁻^xe⁻^x + 1

🔹الخطوة 2: الضرب في e^x

نضرب البسط والمقام في e^x لإزالة الأس السالب.

2e⁻^xe⁻^x + 1 = 21 + e^x

🔹الخطوة 3: تبسيط ⁦f(-x)⁩

نعوض في ⁦f(-x)⁩.

f(-x)=-x + 1 - 21 + e^x

🔹الخطوة 4: المجموع

نجمع ⁦f(x)⁩ و ⁦f(-x)⁩: الحدان الخطيان يتلاشيان ويبقى فرق كسرين بنفس المقام.

f(x) + f(-x)=2 - 2(e^x + 1)e^x + 1

✅النتيجة

f(x) + f(-x) = 0

لإثبات الزوجية أو الفردية، اجمع أو اطرح ⁦f(x)⁩ و⁦f(-x)⁩ مباشرة بدل مقارنتهما حدا حدا: التبسيط الجبري يظهر النتيجة أسرع.

مثال 5: المقارب المائل عند +∞

نعتبر نفس الدالة f، ونريد دراسة سلوك منحناها عند +∞.

🎯المطلوب: بيّن أن المستقيم الذي معادلته ⁦y=x-1⁩ مقارب مائل لمنحنى الدالة f عند +∞.

🔹الخطوة 1: إعادة الكتابة

نعيد كتابة البسط: ⁦2e^x = 2(e^x + 1) − 2⁩، ثمّ نقسم كلّ حدّ على المقام.

2e^xe^x + 1=2 - 2e^x + 1

🔹الخطوة 2: عزل الفرق

نعوض في f فيظهر الفرق مع المستقيم ⁦y=x-1⁩ صراحة.

f(x) - (x - 1) = 2e^x + 1

🔹الخطوة 3: نهاية الفرق

نحسب نهاية هذا الفرق عند +∞: المقام يؤول إلى +∞ فالكسر يؤول إلى الصفر.

lim(x → +∞) 2e^x + 1 = 0

✅النتيجة

lim(x → +∞) [f(x) - (x - 1)] = 0

لإثبات أن مستقيما ⁦y=ax+b⁩ مقارب مائل، اكتب الفرق ⁦f(x)-(ax+b)⁩ صراحة، وأثبت أن نهايته عند اللانهاية المطلوبة هي الصفر.

⛔ الفرق ⁦2/(e^x+1)⁩ موجب تماما دائما، فمنحني الدالة يبقى دوما فوق مقاربه المائل عند +∞: لا تكتفِ بإيجاد المقارب، بل حدد أيضا موضع المنحني بالنسبة إليه.

5. مسألة استمثال: أقرب نقطة من المنحنى إلى الأصل

نختم بمسألة استمثال نموذجية: نبحث عن النقطة الأقرب إلى نقطة الأصل O على منحنى الدالة اللوغاريتم النيبيري.

مثال 6: دراسة دالة مساعدة لإيجاد جذر وحيد

لنقطة M من إحداثيتيها ⁦(x ; ln x)⁩ على منحنى اللوغاريتم النيبيري، مربع المسافة OM يساوي ⁦f(x)=x²+(ln x)²⁩. ندرس أولا الدالة المساعدة g المعرفة على المجال الذي عناصره موجبة تماما بـ ⁦g(x) = x² + ln x⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن المعادلة ⁦g(x) = 0⁩ تقبل حلا وحيدا α في هذا المجال.

🔹الخطوة 1: اشتقاق g

نشتق g: مجموع حدين موجبين، فالمشتقة موجبة تماما.

g′(x) = 2x + 1x

✅النتيجة

g′(x) > 0

🔹الخطوة 2: النهايتان

نحسب نهايتي g عند طرفي مجالها.

lim(x → 0) g(x) = -∞ ; lim(x → +∞) g(x) = +∞

🔹الخطوة 3: الحل الوحيد

g متصلة ومتزايدة تماما من -∞ إلى +∞، فتنعدم مرة واحدة بالضبط.

∃! α ; g(α) = 0

دالة متصلة ومتزايدة تماما من قيمة سالبة إلى قيمة موجبة تنعدم مرة واحدة بالضبط: هذا مبدأ يتكرر في كل مسألة استمثال تقريبا.

مثال 7: حل مسألة الاستمثال بدراسة إشارة الدالة المساعدة

نعتبر الدالة f المعرفة على نفس المجال بـ ⁦f(x) = x² + (ln x)²⁩.

🎯المطلوب: ادرس اتجاه تغير الدالة f، ثم استنتج حل مسألة إيجاد أقرب نقطة من الأصل.

🔹الخطوة 1: اشتقاق f بعد التوحيد

نشتق f بعد توحيد حدودها على مقام واحد.

f′(x) = 2x² + 2 ln xx

🔹الخطوة 2: إخراج عامل مشترك

نخرج العدد 2 عاملا مشتركا في البسط: يظهر فيه ⁦g(x)⁩ بالضبط.

f′(x) = 2(x² + ln x)x

✅النتيجة

x موجب تماما دائما، فإشارة ⁦f′⁩ توافق إشارة ⁦g(x)⁩، وقد أثبتنا أنها تنعدم عند α.

f′(α) = 0

في كل مسألة استمثال، حوّل السؤال الهندسي إلى دراسة دالة جبرية (هنا مربع المسافة)، وابحث عن قيمتها الحدية بدراسة إشارة مشتقتها.

الدالة f إذن متناقصة على المجال الذي عناصره بين الصفر وα، ثم متزايدة بعده، فتقبل قيمة حدية صغرى وحيدة عند α. وهذه القيمة الصغرى هي أصغر ما يمكن أن يبلغه مربع المسافة OM، فتكون النقطة M ذات الفاصلة α هي الأقرب إلى نقطة الأصل على المنحنى.

منحنى الدالة اللوغاريتم النيبيري مع نقطة واحدة عليه هي الأقرب إلى نقطة الأصل، موصولة إليها بقطعة مستقيمة قصيرة. — ⭐ النقطة الأقرب من الأصل هي نقطة التماس بين المنحنى ودائرة مركزها الأصل ونصف قطرها المسافة الصغرى.

⭐ في أي مسألة اقتصادية أو هندسية، ابدأ بترجمة السؤال إلى دالة جبرية واضحة، ثم طبق منهجية دراسة الدوال المعتادة: نهايات، اتجاه تغير، ثم استنتاج الجواب العملي.

المسائل المطولة في الامتحان تُقيّم سؤالا سؤالا: لا تنتظر الوصول إلى الجواب النهائي لتكتب، فكل خطوة صحيحة معزولة تُحسب لك حتى لو تعثرت في خطوة لاحقة.

الخلاصة: حل مسألة تتضمن دالة أسية أو لوغاريتمية يمر دوما بنفس المسار: عبارة جبرية واضحة، دراسة كاملة بالنهايات واتجاه التغير، ثم قراءة النتيجة العملية أو الهندسية التي تطلبها المسألة.

الصفحة 1/10