مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال اللوغاريتمية والأسية

الدالة الأسية ذات الأساس ⁦a⁩، الدوال القوى و الجذر النوني

🔊 المعلّمة تقرأ لك
رأسمال يوضع بفائدة مركبة نسبتها الشهرية معلومة ينمو بعد n شهرا بضرب رأس المال في نفس العدد n مرة؛ فإذا أردنا معرفة قيمته بعد فترة ليست عددا صحيحا من الأشهر، وجب تعريف قوة عدد موجب بأس حقيقي أي، لا بأس صحيح فقط. فكيف نعرّف قوة عدد موجب تماما بأس حقيقي أي، وما الدالة الجديدة التي ينتج عنها ذلك؟

الجواب يأتي من علاقة تعرفها من الأس الصحيح: ⁦ln(an) = n ln a⁩، ومنه ⁦an = exp(n ln a)⁩. الطرف الأيمن لا يحتاج أن يكون الأس صحيحا، فنجعل من هذه العلاقة تعريفا يشمل كل أس حقيقي.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعرف قوة عدد موجب تماما بأس حقيقي أي انطلاقا من الدالتين exp و ln
  • تعرف الدالة الأسية ذات الأساس a وتحدد اتجاه تغيرها حسب إشارة ln a
  • تعرف الجذر النوني لعدد موجب وتربطه بقوة أسها مقلوب عدد طبيعي
  • توظف قواعد حساب القوى في اختزال كتابة عدد أو حل معادلة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • خواص الدالة الأسية النيبيرية ex ونهاياتها
  • تعريف واستعمال الدالة اللوغاريتم النيبيري ln
  • اشتقاق دالة مركبة

1. تعريف القوة ذات الأس الحقيقي

التعريف

الشرط ⁦a>0⁩ ضروري لأن ln a يجب أن يكون معرفا. حالة الأس الصحيح تعطي نفس القيمة المعروفة سابقا: هذا امتداد، لا قطيعة.

ab = exp(b × ln a)
aالأساس، وهو عدد موجب تماماbالأس، وهو عدد حقيقي أي
مثال عددي

تطبيق مباشر للتعريف: نحسب أولا الجداء داخل exp، ثم صورته بالدالة الأسية.

2√3 = exp(√3 × ln 2) ≈ 3,32

وبتثبيت الأساس a وترك الأس متغيرا نحصل على دالة معرفة على ℝ كله، هي محور هذا الدرس:

الدالة الأسية ذات الأساس a
f(x)=ax=exp(x × ln a)
⭐ حالة ⁦a=e⁩ تعيد الدالة الأسية النيبيرية نفسها، لأن ln e يساوي واحدا.

2. قواعد الحساب

قواعد الأس
ln(ax) = x ln a ; ax × ay = ax+y ; a⁻y = 1ay ; axay = ax-y
قواعد الأساس
(ax)y = ax y ; (a b)x = ax × bx ; (ab)x = axbx
⛔ لا تطبق شيئا من هذا على أساس سالب: القوة ذات الأس الحقيقي لا تُعرَّف إلا لأساس موجب تماما.

3. الجذر النوني

الدالة x↦xn (n عدد طبيعي غير معدوم) مستمرة ومتزايدة تماما من الصفر إلى +∞، فهي تأخذ كل قيمة موجبة مرة واحدة بالضبط.

مبرهنة ووجود
a ≥ 0 ; n ∈ ℕ* ⟹ ∃! b ≥ 0 ; bn = a
الرمز
b = n√a
خاصية: الجذر النوني قوة
n√a = a1n (a > 0)
أمثلة عددية
⁵√0 = 0 ; ⁷√1 = 1 ; ³√8 = 2 ; ⁴√81 = 3 ; ⁴√4 = √2

4. دراسة الدالتين x↦ax و ⁦x↦n√x⁩

النهايتان عند ⁦0<a<1⁩
lim(x → -∞) ax = +∞ ; lim(x → +∞) ax = 0
النهايتان عند ⁦a>1⁩
lim(x → -∞) ax = 0 ; lim(x → +∞) ax = +∞

إشارة مشتقة ax هي إشارة ln a: إذا كان a بين الصفر والواحد فـln a سالب فالدالة متناقصة تماما، وإذا كان a أكبر من الواحد فـln a موجب فالدالة متزايدة تماما.

إشارة ln a هي التي تختار الجدول: بين الصفر و الواحد تتناقص الدالة من ⁦+∞⁩ إلى الصفر، و فوق الواحد تتزايد من الصفر إلى ⁦+∞⁩.
⭐ الأساسان 2 و0,5 معكوسان ⁦(0,5=1/2)⁩، فمنحنياهما متناظران بالنسبة إلى محور التراتيب.
مشتقة الدالة الجذر النوني
fₙ′(x)=(1n) × x1n - 1
⛔ الدالة الجذر النوني، من أجل ⁦n ≥ 2⁩، غير قابلة للاشتقاق عند الصفر، رغم أنها معرفة عنده ومتصلة.
مثال 1: اختزال كتابة عدد بأس نسبي

نعتبر العدد A الآتي، ونريد اختزال كتابته.

🎯المطلوب: اختزل كتابة العدد A.

📌المعطى
A = 25614
🔹الخطوة 1: توحيد الأساس

نكتب 256 قوة لعدد أولي.

256 = 2⁸
🔹الخطوة 2: ضرب الأسين

قاعدة قوة القوة: نضرب الأسين.

A=(2⁸)14=284
✅النتيجة
A=2²=4
القاعدة الذهبية: وحّد الأساس أولا، فيصبح كل شيء جمعا أو ضربا في الأس فقط.
مثال 2: اختزال جداء قوتين

نعتبر العدد C الآتي، ونريد اختزال كتابته.

🎯المطلوب: اختزل كتابة العدد C.

📌المعطى
C=3-13 × 923
🔹الخطوة 1: توحيد الأساس

نكتب 9 قوة للعدد 3.

9 = 3²
🔹الخطوة 2: قوة القوة

نطبق قاعدة قوة القوة على العامل الثاني.

923=(3²)23=343
🔹الخطوة 3: جمع الأسين

الأساس واحد الآن، فنجمع الأسين.

C=3-13 × 343=3-13 + 43
✅النتيجة
C=333=3¹=3
بمجرد أن يصير الأساس واحدا في كل عوامل الجداء، تتحول كل عملية إلى جمع أو طرح في الأس فقط.
مثال 3: اختزال قوة بأس عشري سالب

نعتبر العدد B الآتي، ونريد اختزال كتابته.

🎯المطلوب: اختزل كتابة العدد B.

📌المعطى
B = (0,25)-1,5
🔹الخطوة 1: توحيد الأساس

نكتب 0,25 كسرا ثم قوة للعدد 2.

0,25=14=2⁻²
🔹الخطوة 2: ضرب الأسين

نطبق قاعدة قوة القوة.

B=(2⁻²)-1,5=2(-2)×(-1,5)
🔹الخطوة 3: حساب الأس

نحسب جداء الأسين.

(-2) × (-1,5) = 3
✅النتيجة
B=2³=8
أساس عشري كـ 0,25 يُكتب دائما أولا كسرا بسيطا، ثم قوة لعدد صحيح صغير.
مثال 4: مشتقة الدالة الجذر النوني

نعتبر الدالة fₙ المعرفة على المجال الذي عناصره موجبة تماما بقوة x أسها مقلوب عدد طبيعي.

🎯المطلوب: أوجد الدالة المشتقة للدالة fₙ، ثم استنتج اتجاه تغيرها.

📌المعطى
fₙ(x) = x1n
🔹الخطوة 1: الكتابة الأسية

نكتب fₙ بواسطة الدالة الأسية exp لنتمكن من الاشتقاق.

fₙ(x) = exp((1n) ln x)
🔹الخطوة 2: المشتقة

نشتق دالة من الشكل exp∘u.

fₙ′(x)=(1n) × (1x) × exp((1n) ln x)
🔹الخطوة 3: التبسيط

نعيد الأسية إلى كتابتها الأصلية بالجذر النوني.

fₙ′(x)=(1n) × x1n - 1
✅النتيجة
fₙ′(x) > 0
نفس طريقة اشتقاق الدالة القوة بأس صحيح تبقى صالحة هنا: النتيجة شكلها واحد، سواء كان الأس صحيحا أو كسريا.

المشتقة موجبة تماما من أجل كل x موجب تماما، فالدالة الجذر النوني إذن متزايدة تماما على مجالها.

المشتقة موجبة تماما بعد الصفر، فالدالة الجذر النوني متزايدة تماما على مجالها، رغم أنها غير قابلة للاشتقاق عند الصفر.

و يُقارَن جذران على منحنييهما: منحنيا الدالتين ⁦x ↦ √x⁩ و ⁦x ↦ ³√x⁩ يمرّان كلاهما بالمبدأ ⁦(0 ; 0)⁩، و يتقاطعان في النقطة ⁦(1 ; 1)⁩، و بعد هذه النقطة يكون منحنى ⁦√x⁩ فوق منحنى ⁦³√x⁩: فالجذر التربيعي يبلغ 2 عند ⁦x = 4⁩، بينما لا يبلغه الجذر التكعيبي إلا عند ⁦x = 8⁩.

قراءة على المنحنيين
√4 = 2 ; ³√8 = 2
بعد النقطة ⁦(1 ; 1)⁩ يرتفع الجذر التربيعي أسرع: يبلغ القيمة اثنين عند أربعة، و لا يبلغها الجذر التكعيبي إلا عند ثمانية.
مثال 5: حل معادلة أسية بتغيير المتغير

نريد حلّ المعادلة ⁦3x + 2×3⁻x = 3⁩ في مجموعة الأعداد الحقيقية.

🎯المطلوب: حلّ المعادلة ⁦3x + 2×3⁻x = 3⁩.

🔹الخطوة 1: الضرب في 3x

نضرب المعادلة في 3x الموجب تماما لنتخلص من الأس السالب.

32x - 3 × 3x + 2=0
🔹الخطوة 2: تغيير المتغير

نضع X مساويا لـ3x الموجب تماما.

X = 3x ⟹ X² - 3X + 2 = 0
🔹الخطوة 3: حل معادلة X

نحل المعادلة من الدرجة الثانية في X.

Δ = 1 ⟹ X = 1 ; X = 2
🔹الخطوة 4: العودة إلى x

نعود إلى x بحل ⁦3x=1⁩ ثم ⁦3x=2⁩.

3x = 1 ⟹ x = 0 ; 3x = 2 ⟹ x = ln2ln3
✅النتيجة
S = {0 ; ln2ln3}
كل معادلة تجمع بين ax و ⁦a⁻x⁩ تُحل بالضرب في ax أولا، ثم بوضع ⁦X=ax⁩ لتصير معادلة من الدرجة الثانية عادية.
مثال 6: تناظر منحنيي 4x و⁦(0,25)x⁩

نعتبر الدالتين f وg المعرفتين على ℝ بـ ⁦f(x)=4x⁩ و⁦g(x)=(0,25)x⁩.

🎯المطلوب: بيّن أن منحنيي f وg متناظران بالنسبة إلى محور التراتيب.

🔹الخطوة 1: كتابة ⁦g(-a)⁩

نكتب ⁦g(-a)⁩ بدلالة الأسية exp لنتمكن من التبسيط.

g(-a)=(0,25)-a=exp(-a × ln(0,25))
🔹الخطوة 2: تبسيط اللوغاريتم

نلاحظ أن 0,25 يساوي مقلوب 4، فلوغاريتمه معاكس للوغاريتم 4.

ln(0,25) = -ln4 ⟹ g(-a) = exp(a × ln4)
✅النتيجة
g(-a)=4a=f(a)
التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب يُثبت دوما بحساب ⁦g(-a)⁩ وإظهار أنه يساوي ⁦f(a)⁩ بالضبط، لا ⁦g(a)⁩.
⭐ لا تخلط بين ax (الأساس ثابت والأس متغير) وxn (الأساس متغير والأس ثابت): سلوكهما عند اللانهاية مختلف جذريا.
في الامتحان، إذا ظهرت معا ax و⁦a⁻x⁩ في نفس المعادلة أو المتراجحة، اكتب فورا ⁦X=ax⁩ مع الشرط ⁦X>0⁩: هذا يحول المسألة إلى معادلة من الدرجة الثانية مألوفة.
الخلاصة: القوة ذات الأس الحقيقي تُعرَّف بـ ⁦ab=exp(b ln a)⁩، وتعطي الدالة الأسية ذات الأساس a التي يحدد إشارة ln a اتجاه تغيرها، والجذر النوني هو ببساطة الحالة الخاصة بأس مقلوب عدد طبيعي.

الصفحة 1/11

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net