الإحصاء
التعديل الخطي: مستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا
الجواب في جملة واحدة: من بين كل المستقيمات، يوجد مستقيم وحيد يجعل مجموع مربعات المسافات بينه وبين نقط السحابة أصغريا: هو مستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا. هذا الدرس يبدأ بمقارنة مستقيمين على مثال ملموس، ثمّ يعطي القاعدة العامة لحساب مستقيم الانحدار، ويقارنه بطريقتين أسرع منه لكن أقلّ دقّة.
- قياس قرب مستقيم من سحابة نقط بواسطة مجموع مربعات الانحرافات
- معرفة معاملي مستقيم الانحدار a و b بواسطة التغاير والتباين
- حساب معادلة مستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا لسلسلة معطاة
- معرفة أثر تغيير وحدة المتغيّرين على معاملي مستقيم الانحدار
- تعريف النقطة المتوسطة G لسحابة نقط وحساب إحداثييها
- حساب معامل توجيه مستقيم يشمل نقطتين معلومتين
1. قياس قرب مستقيم من سحابة: الانحراف ومجموع مربعاته
لمستقيم مرشّح ولكل نقطة Mᵢ من السحابة، لتكن Pᵢ نقطة المستقيم ذات نفس الفاصلة. المسافة العمودية بين Mᵢ و Pᵢ تقيس مدى بُعد تلك النقطة عن المستقيم. مجموع مربعات هذه المسافات على كل نقط السحابة يقيس قرب المستقيم من السحابة كلّها في آن واحد.
2. مثال تمهيدي: مقارنة مستقيمين
نعتمد على سحابة تمثّل عدد المستفيدين من السكن عبر السنوات، ونقارن بين مستقيمين مرشّحين.
| xᵢ (السنة) | yᵢ | الانحراف عن (D₁) | مربّع الانحراف عن (D₁) | الانحراف عن (D₂) | مربّع الانحراف عن (D₂) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1999 | 124,2 | 0,00 | 0,0000 | 1,32 | 1,7424 |
| 2000 | 131,1 | 1,16 | 1,3456 | 3,10 | 9,6100 |
| 2002 | 138,9 | −2,52 | 6,3504 | 0,66 | 0,4356 |
| 2003 | 141,6 | −5,56 | 30,9136 | −1,76 | 3,0976 |
| 2004 | 152,9 | 0,00 | 0,0000 | 4,42 | 19,5364 |
نعتمد على انحرافات النقط المحسوبة في الجدول أعلاه عن كل من (D₁) و (D₂).
🎯المطلوب: قارن بين (D₁) و (D₂) باستعمال معدل مربعات الانحرافات.
نجمع مربعات الانحرافات عن (D₁) في العمود الرابع من الجدول.
نقسم على عدد النقط.
نجمع مربعات الانحرافات عن (D₂) في العمود السادس.
نقسم على عدد النقط.
بما أنّ معدل مربعات الانحرافات عن (D₂) أصغر، فهو المستقيم الأقرب إلى السحابة.
3. مبدأ المربعات الدنيا ومعادلة مستقيم الانحدار
نقبل أنّه من بين كل المستقيمات، يوجد مستقيم وحيد يجعل S أصغريا: يسمّى مستقيم الانحدار بالمربعات الدنيا. معادلته المختصرة من الشكل y=ax+b، وهو يشمل دائما النقطة المتوسطة G للسحابة.
لسلسلة نسبة النجاح عبر السنوات، بسط الصيغة (التغاير) يساوي تقريبا 30,094 ومقامها (التباين) يساوي تقريبا 84,816.
🎯المطلوب: عيّن معادلة مستقيم الانحدار لسلسلة نسبة النجاح.
نقسم التغاير على التباين.
نعوّض a و x و ȳ في قاعدة b.
نجمع المعاملين في معادلة واحدة.
4. تعديلات أخرى أسرع: مستقيم الأطراف ومستقيم ماير
توجد طريقتان أسرع من مستقيم الانحدار، لكنّهما أقلّ دقّة عموما: مستقيم الأطراف يشمل أوّل وآخر نقطة من السحابة فقط، ومستقيم ماير يقسّم السحابة إلى مجموعتين ويمرّ بنقطتيهما المتوسطتين الجزئيتين G₁ و G₂.
| السنة منذ 1970، xᵢ | 8 | 14 | 22 | 24 | 30 | 34 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| حصّة التكاليف، yᵢ (%) | 4,4 | 5,2 | 4,3 | 3,2 | 3,3 | 2,8 |
🎯المطلوب: عيّن معادلتي مستقيم الأطراف ومستقيم ماير ومستقيم الانحدار لهذه السلسلة، ثمّ حدّد أيّها أقرب إلى السحابة.
نحسب معامل توجيه المستقيم الذي يشمل أوّل وآخر نقطة، M₁(8;4,4) و M₆(34;2,8).
نعوّض بإحداثيي M₁ نفسها، لا بمعدلي السلسلة، لإيجاد الحدّ الثابت.
نأخذ معدل أوّل ثلاث نقط.
نأخذ معدل آخر ثلاث نقط.
نحسب معامل توجيه المستقيم (G₁G₂).
نعوّض بإحداثيي G₁.
نحسب معامل توجيه مستقيم الانحدار بواسطة التغاير والتباين.
نعوّض في قاعدة الحدّ الثابت.
نحسب مجاميع مربعات الانحرافات الثلاثة بنفس طريقة المثال 1: S₁ لمستقيم الأطراف، S₂ لمستقيم ماير، S₃ لمستقيم الانحدار.
بما أنّ 1,284 هو الأصغر بين المجاميع الثلاثة، فمستقيم الانحدار هو الأقرب إلى السحابة بين المستقيمات الثلاثة.
5. أثر تغيير وحدة المتغيّرين على معاملي الانحدار
إذا وضعنا Z = X/100 و V = Y/100، فإنّ معامل توجيه مستقيم الانحدار الجديد لا يتغيّر، بينما حدّه الثابت يُقسم على 100.
| Xᵢ | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 |
|---|---|---|---|---|---|
| Yᵢ | 30 | 35 | 41 | 44 | 47 |
🎯المطلوب: عيّن معادلة مستقيم الانحدار للسلسلة (X;Y) ثمّ استنتج معادلته بعد تغيير الوحدة Z=X/100 و V=Y/100.
بالآلة الحاسبة، معامل توجيه مستقيم انحدار Y بدلالة X.
الحدّ الثابت لنفس المستقيم.
معامل التوجيه لا يتغيّر بتغيير الوحدة على المحورين معا.
الحدّ الثابت يُقسم على 100.
نجمع المعاملين الجديدين في معادلة واحدة.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net