الاحتمالات › الاحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية
قانون احتمال مرفق بتجربة عشوائية
عندما نكرّر تجربة عشوائية عددا كبيرا من المرّات، تقترب تواترات النتائج من أعداد ثابتة: هذه الأعداد الثابتة هي احتمالات النتائج، و مجموعها كلّها هو قانون الاحتمال المرفق بالتجربة. هذا الدرس يبني هذا المفهوم، ثمّ يعطي أداة لبنائه (الشجرة المثقلة) و أداة للتحقّق منه (اختبار التلاؤم).
- تعريف قانون احتمال مرفق بتجربة عشوائية ذات عدد منتهٍ من النتائج
- التحقّق من صحّة قانون احتمال بواسطة شرطيه: كل احتمال بين 0 و 1، و مجموعها يساوي 1
- بناء قانون احتمال بواسطة شجرة مثقلة عند تكرار تجربة عدّة مرّات
- قياس التلاؤم بين توزيع ملاحظ فعليا و قانون توزيع منتظم بواسطة العدد d²
- حساب احتمال حادثة في حالة تساوي الاحتمال: عدد الحالات الملائمة على الممكنة
- قراءة تواتر نتيجة في جدول إحصائي: عدد مرّات ظهورها على عدد التجارب
- ضرب احتمالات فروع مستقلّة على شجرة مثقلة
1. تعريف قانون احتمال
نعتبر تجربة عشوائية نتائجها الممكنة هي x₁ ، x₂ ، ...... ، xₙ، عددها منتهٍ. لكلّ نتيجة xᵢ نرفق عددا pᵢ يسمّى احتمالها. الجدول الذي يربط كلّ نتيجة باحتمالها يسمّى قانون احتمال التجربة.
⭐ كلّ جدول أرقام لا يصلح قانون احتمال: يجب أن يكون كلّ عدد بين 0 و 1، و أن يكون مجموعها كلّها يساوي 1 بالضبط — لا أكثر و لا أقلّ.
2. بناء قانون احتمال بواسطة شجرة مثقلة
عندما تتكوّن التجربة من عدّة مراحل متتالية و مستقلّة، نبني شجرة مثقلة: من كلّ عقدة تنطلق فروع تحمل احتمالات مراحل التجربة، و احتمال الوصول إلى ورقة (نهاية مسلك) هو جداء احتمالات الفروع التي يمرّ بها المسلك.
صندوق يحوي 3 كريات حمراء و كريتين زرقاوين لا نميّز بينها باللمس. نسحب كرية نلاحظ لونها ثمّ نعيدها إلى الصندوق، ثمّ نسحب كرية ثانية بنفس الطريقة.
🎯المطلوب: أنشئ الشجرة المثقلة لهذه التجربة، ثمّ اكتب قانون احتمال عدد الكريات الحمراء المسحوبة.
نكتب احتمال كلّ لون عند سحبة واحدة: 3 كريات حمراء و2 زرقاء من 5 كريات كلّها.
نتحقّق أنّ هذين الاحتمالين يكوّنان قانونا صحيحا لسحبة واحدة.
نعيد الكرية المسحوبة إلى الصندوق، فتبقى احتمالات السحبة الثانية هي نفسها.
نضرب احتمال اللون الأول في احتمال اللون الثاني، بأيّ ترتيب جاءا.
نفس الحساب في الاتجاه المعاكس، و الجداء يعطي نفس العدد.
و أخيرا المسلك الذي لا يظهر فيه الأحمر إطلاقا.
نتحقّق أنّ مجموع احتمالات المسالك الأربعة يساوي 1، و هذا يثبت أنّ الشجرة صحيحة.
نسمّي X عدد الكريات الحمراء المسحوبة، فيمكن أن تكون 0 أو 1 أو 2. المسلك BB هو الوحيد الذي لا يحوي أيّ كرية حمراء.
المسلكان RB و BR يعطيان كلاهما كرية حمراء واحدة بالضبط، و لا يتقاطعان، فنجمع احتماليهما.
و المسلك RR هو الوحيد الذي يحوي كريتين حمراوين.
3. التحقّق من قانون احتمال معطى
في بعض التمارين يُعطى جدول قانون احتمال ناقصا رقما واحدا، و يُطلب إيجاده: يكفي استعمال الشرط الثاني، مجموع الاحتمالات يساوي 1، لأنّ الاحتمالات الأخرى معروفة.
قانون احتمال يعطي p₁=0,1 و p₃=0,3 و p₄=0,2 لثلاث نتائج، و يترك احتمال النتيجة الثانية مجهولا و يرمز له بـ m.
🎯المطلوب: أوجد قيمة m حتى يكون الجدول قانون احتمال صحيحا.
نكتب الاحتمالات المعطاة، و m هو الاحتمال المجهول.
نستعمل الشرط الثاني: مجموع كل الاحتمالات يساوي 1.
نجمع الحدود المعروفة الثلاثة أولا.
نطرح 0,6 من الطرفين لنعزل m.
4. قياس التلاؤم مع قانون توزيع منتظم
قانون التوزيع المنتظم على n نتيجة هو القانون الذي يعطي كل نتيجة نفس الاحتمال 1/n. لمعرفة هل تجربة حقيقية (رمي نرد، سحب رقم...) تتبع فعلا توزيعا منتظما، نقارن التواترات الملاحظة بالاحتمال النظري 1/n بواسطة العدد d²، و هو مجموع مربّعات الفروق.
⭐ كلّما اقترب d² من 0، اقترب التوزيع الملاحظ من التوزيع المنتظم. القيمة وحدها لا تكفي: نقارنها بعتبة مرجعية مبنية بالمحاكاة.
رمينا حجر نرد 300 مرّة، فحصلنا على التواترات التالية للأوجه من 1 إلى 6 على الترتيب: 48 ، 52 ، 49 ، 51 ، 50 ، 50 رمية.
🎯المطلوب: احسب المسافة d² بين هذا التوزيع الملاحظ و التوزيع المنتظم على ستّة أوجه.
نتحقّق أنّ التواترات الست تشكّل توزيعا كاملا فعلا.
نحوّل كل عدد رميات إلى تواتر بقسمته على المجموع 300.
الاحتمال النظري لوجه واحد من ستّة أوجه متساوية الاحتمال.
نحسب مربّع الفرق للوجه الأول فقط، كمثال على الطريقة.
نكرّر نفس الحساب على الأوجه الستّة و نجمع النتائج الستّة.
قانون احتمال يعطي لأربع نتائج الاحتمالات 0,4 و0,3 و0,2 و0,1 على الترتيب.
🎯المطلوب: بيّن أنّ هذا القانون ليس قانون توزيع منتظم.
نكتب احتمالات القانون المعطى.
قانون التوزيع المنتظم على 4 نتائج يعطي كل واحدة نفس الاحتمال.
نلاحظ أنّ الاحتمالات الأربعة المعطاة ليست متساوية فيما بينها.
نقارن الاحتمال الأول وحده بالاحتمال المنتظم المرجعي: عدم التساوي كافٍ للحكم.
الصفحة 1/8
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net