مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الاحتمالات الاحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية

الأمل الرياضياتي و التباين و الانحراف المعياري

🔊 المعلّمة تقرأ لك
لاعبان يلعبان لعبة حظّ عدّة مرّات، أحدهما يربح أحيانا و يخسر أحيانا أخرى: بعد عدد كبير جدّا من المرّات، هل تميل النتيجة الإجمالية لصالح أحدهما؟ فكيف نلخّص، بعدد واحد، ما يكسبه اللاعب في المتوسط على المدى الطويل، و مدى تذبذب أرباحه حول هذا المتوسط؟

الأمل الرياضياتي، التباين و الانحراف المعياري لقانون احتمال هي بالضبط ما درسته في الإحصاء تحت اسم المعدل و التباين، لكن بدل التواترات نستعمل الاحتمالات. هذا يجعل منها أدوات تتنبّأ بسلوك تجربة قبل إجرائها، لا بعده فقط.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • حساب الأمل الرياضياتي μ لقانون احتمال، و تفسيره كمعدل على المدى الطويل
  • حساب التباين V و الانحراف المعياري σ لقانون احتمال، بالدستورين
  • تطبيق خاصيتي الأمل الرياضياتي عند تغيير القيم بإضافة أو ضرب عدد ثابت
  • استعمال هذه الأعداد الثلاثة للحكم على عدالة لعبة حظّ
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • تعريف قانون احتمال، و شرطاه: ⁦0 ≤ pᵢ ≤ 1⁩ و ⁦Σpᵢ = 1⁩
  • حساب المعدل الموزون في الإحصاء: ⁦Σ(nᵢ×xᵢ)/Σnᵢ⁩
  • حساب التباين و الانحراف المعياري لسلسلة إحصائية

1. الأمل الرياضياتي

نعتبر قانون احتمال لمتغيّر X يأخذ القيم x₁ ، x₂ ، ...... ، xₙ بالاحتمالات p₁ ، p₂ ، ...... ، pₙ على الترتيب. الأمل الرياضياتي لهذا القانون هو العدد μ، معدل موزون بأوزان الاحتمالات.

الأمل الرياضياتي

⭐ اقرأها كمعدل موزون: كل قيمة xᵢ توزن بوزنها الطبيعي، أي احتمال ظهورها.

μ = Σᵢ pᵢ xᵢ
μالأمل الرياضياتي، القيمة المتوسّطة على المدى الطويل

2. التباين و الانحراف المعياري

μ وحده لا يكفي: قانونان مختلفان جدّا يمكن أن يعطيا نفس μ. التباين V يقيس مدى تشتّت القيم xᵢ حول μ.

التباين، الدستور الأول

كل انحراف ⁦(xᵢ−μ)⁩ يُرفع للمربّع حتى لا تتلاشى الانحرافات الموجبة مع السالبة، ثمّ يُوزن باحتمال ظهوره.

V = Σᵢ pᵢ (xᵢ − μ)²
التباين، الدستور الثاني

⭐ صيغة معادلة للأولى، أسرع في الحساب غالبا: نحسب معدل مربّعات القيم أولا، ثمّ نطرح مربّع الأمل الرياضياتي.

V = Σᵢ pᵢ xᵢ² − μ²
الانحراف المعياري

σ بنفس وحدة xᵢ (بخلاف V التي وحدتها مربّع وحدة xᵢ)، و لهذا يُفضَّل غالبا لوصف التشتّت بشكل ملموس.

σ = √V
  1. إضافة عدد ثابت a لكل القيم xᵢ: يُضاف a إلى الأمل الرياضياتي، و لا يتغيّر التباين
  2. ضرب كل القيم xᵢ في عدد ثابت a: يُضرب الأمل الرياضياتي في a، و يُضرب التباين في a²
⛔ لا تخلط بين خاصيتي التغيير. الإضافة تُزيح المعدل و لا تُغيّر التشتّت حول المعدل الجديد؛ الضرب يُكبّر أو يُصغّر المعدل و التشتّت معا.
مثال 1: الأمل الرياضياتي و التباين و الانحراف المعياري لرمية نرد

يرمي لاعب حجر نرد متوازنا: يربح 10 دنانير إذا حصل على مضاعف للعدد 3، و يخسر 5 دنانير في الحالات الأخرى.

🎯المطلوب: احسب الأمل الرياضياتي μ، ثمّ التباين V، ثمّ الانحراف المعياري σ لربح اللاعب X.

📌المعطى: قانون احتمال X

نكتب قانون احتمال الربح X: مضاعف 3 على نرد سداسي يظهر مرّتين من ستّة.

x₁ = 10 ; p₁ = 13 , x₂ = −5 ; p₂ = 23
🔹الخطوة 1: التحقّق من القانون

نتحقّق أنّ الاحتمالين يشكّلان قانونا صحيحا قبل أيّ حساب.

13 + 23=1
🔹الخطوة 2: حساب الأمل الرياضياتي

نضرب كل قيمة في احتمالها و نجمع.

μ=10×(13) + (−5)×(23)=0
🔹الخطوة 3: حساب التباين

نستعمل الدستور الثاني: معدل المربّعات ناقص مربّع الأمل الرياضياتي.

V=10²×(13) + (−5)²×(23) − 0²=50
✅النّتيجة

نأخذ الجذر التربيعي للتباين.

σ=√50=5√2
⭐ ⁦μ = 0⁩ يعني أنّ اللعبة عادلة على المدى الطويل: لا اللاعب يربح و لا يخسر في المتوسط، رغم أنّ كل رمية بمفردها إمّا ربح أو خسارة.
العمود الأطول ⁦(2/3)⁩ عند القيمة السالبة، لكن الأمل الرياضياتي يقع عند 0 لأنّ القيمة الموجبة أكبر مطلقا.
مثال 2: أمل ربح لاعبَين من نفس قانون احتمال

يدفع لاعبان A و B مبلغين مختلفين لدخول لعبة، ثمّ يُرمى حجرا نرد رباعيان و يُدفع لهما ضعف مجموع الرقمين الظاهرين. قانون احتمال ربح A معطى في الجدول.

🎯المطلوب: احسب أمل ربح اللاعب A، ثمّ استنتج أمل ربح اللاعب B علما أنّ ربحه يساوي ربح A منقوصا منه 4 دنانير.

📌المعطى: قانون احتمال ربح اللاعب A

نكتب جدول القانون الذي يعطيه دفع حجري نرد رباعيين مرقّمين من 1 إلى 4.

xᵢ = −2 ; 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 | pᵢ = 116 ; 216 ; 316 ; 416 ; 316 ; 216 ; 116
🔹الخطوة 1: التحقّق من القانون

نتحقّق أنّ مجموع الاحتمالات السبعة يساوي 1 قبل أيّ حساب آخر.

116+216+316+416+316+216+116=1
🔹الخطوة 2: حساب أمل ربح اللاعب A

نضرب كل قيمة في احتمالها و نجمع الحدود السبعة.

μ=−2+0+6+16+18+16+1016=4
🔹الخطوة 3: تطبيق خاصية الإضافة

ربح اللاعب B هو ربح A مطروحا منه فرق المبلغين المدفوعين، أي 4 دنانير: كل قيمة xᵢ تنزاح بنفس المقدار الثابت.

μB = μA − 4
✅النّتيجة

نعوّض القيمة التي وجدناها للاعب A.

μB=4 − 4=0
⭐ لاحظ استعمال الخاصية بدل إعادة كل الحساب: بما أنّ ربح B هو ربح A زائد ثابت ⁦(−4)⁩، كفانا تطبيق خاصية الإضافة على μ الذي حسبناه أصلا.
مثال 3: التحقّق من تساوي دستوري التباين

قانون احتمال يعطي القيم 2 و5 و8 بالاحتمالات 0,2 و0,5 و0,3 على الترتيب.

🎯المطلوب: تحقّق أنّ الدستورين يعطيان نفس قيمة التباين V لهذا القانون.

📌المعطى: قانون احتمال Y

نكتب قانون احتمال بثلاث قيم، بأرقام مختلفة عن الأمثلة السابقة.

y₁ = 2 ; p₁ = 0,2 , y₂ = 5 ; p₂ = 0,5 , y₃ = 8 ; p₃ = 0,3
🔹الخطوة 1: الأمل الرياضياتي

نضرب كل قيمة في احتمالها و نجمع الحدود الثلاثة.

μ=0,2×2 + 0,5×5 + 0,3×8=5,3
🔹الخطوة 2: التباين بالدستور الأول

نطبّق الدستور الأول: كل انحراف عن μ مربّعا، موزونا باحتماله.

V=0,2×(2−5,3)² + 0,5×(5−5,3)² + 0,3×(8−5,3)²=4,41
🔹الخطوة 3: التباين بالدستور الثاني

نطبّق الآن الدستور الثاني: معدل المربّعات ناقص مربّع الأمل الرياضياتي.

V=0,2×2² + 0,5×5² + 0,3×8² − 5,3²=4,41
✅النّتيجة

الدستوران أعطيا نفس العدد بالضبط، كما تنصّ عليه الملاحظة النظرية.

4,41 = 4,41
⭐ اختر الدستور الأنسب حسب المعطى: الدستور الثاني أسرع عندما تكون μ عددا بسيطا، لأنّه يتجنّب حساب الفروق ⁦(xᵢ−μ)⁩ واحدا واحدا.
مثال 4: أثر ضرب القيم في عدد ثابت على μ

نعرّف من قانون احتمال Y (الذي أمله الرياضياتي 5,3) متغيّرا جديدا Z يساوي ضعف Y منقوصا منه 3.

🎯المطلوب: استنتج الأمل الرياضياتي لـ Z دون إعادة حساب قانون احتماله بالكامل.

📌المعطى: أمل القانون الأصلي

نستأنف قانون احتمال Y من المثال السابق، الذي وجدنا أمله الرياضياتي.

μ(Y) = 5,3
🔹الخطوة 1: تعريف المتغيّر الجديد

نبني متغيّرا جديدا Z يضاعف كل قيمة و يطرح 3 وحدات.

Z = 2×Y − 3
🔹الخطوة 2: تطبيق خاصيتي الضرب و الإضافة

نطبّق خاصيتي الضرب في ثابت ثمّ الإضافة معا على الأمل الرياضياتي.

μ(Z)=2×μ(Y) − 3=2×5,3 − 3
✅النّتيجة

نحسب الجداء ثمّ نطرح.

μ(Z)=10,6 − 3=7,6
⭐ هذا هو ربح الخاصيتين: بدل إعادة بناء جدول Z كاملا ثمّ ضرب كل قيمة في احتمالها من جديد، يكفي تطبيق الضرب ثمّ الإضافة على ⁦μ(Y)⁩ الذي عندنا.
في البكالوريا يأتي هذا الدرس بعد تعيين قانون الاحتمال: «احسب الأمل الرياضياتي μ، ثمّ التباين V، ثمّ الانحراف المعياري σ»، وقد يُطلب أمل ربح لاعب ثانٍ ربحُه تحويل بسيط لربح الأوّل. جهّز ثلاثة عناصر: ① الأمل الرياضياتي: ⁦μ = Σ pi xi⁩، معدّل موزون بالاحتمالات، ويُقرأ معدّلا على المدى الطويل ؛ ② التباين بدستوريه: ⁦V = Σ pi (xi − μ)²⁩ أو ⁦V = Σ pi xi² − μ²⁩، ثمّ ⁦σ = √V⁩ وهو بنفس وحدة القيم ؛ ③ خاصّيتا التحويل: إضافة ثابت إلى كلّ القيم تضيفه إلى μ ولا تغيّر V، وضربها في a يضرب μ في a ويضرب V في a²، فمن ⁦Z = 2Y − 3⁩ يأتي ⁦μ(Z) = 2μ(Y) − 3⁩ دون إعادة الحساب. ⚠️ الخطأ الشائع: الخلط بين الخاصّيتين ؛ الإضافة تزيح المعدّل ولا تغيّر التشتّت، والضرب يغيّر الاثنين معا. ⚠️ وخطأ ثانٍ: نسيان طرح μ² في الدستور الثاني، أو تقديم V على أنّه σ.
الخلاصة: الأمل الرياضياتي ⁦μ=Σpᵢxᵢ⁩ هو معدل قانون احتمال على المدى الطويل، و التباين V (بدستوريه المتكافئين) و الانحراف المعياري ⁦σ=√V⁩ يقيسان مدى تشتّت القيم حوله. إضافة عدد ثابت تُزيح μ دون أن تُغيّر V، بينما ضرب عدد ثابت يُغيّر μ بنفس العامل و يُغيّر V بمربّعه — خاصيتان توفّران إعادة حساب كامل عند كل تحويل بسيط لقانون احتمال معروف.

الصفحة 1/7

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net