مدرستي
الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الاحتمالات الاحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية

استقلال حادثتين

🔊 المعلّمة تقرأ لك
في مسابقة يجيب الطالب عن سؤالين اثنين بإجابة صحيحة أو خاطئة، فنعرّف حادثتين تتعلّقان بشكل إجاباته معا. حين يزيد عدد الأسئلة إلى ثلاثة، يتغيّر الجواب عن سؤال استقلال الحادثتين نفسيهما. فكيف نتأكّد رياضيا أنّ وقوع إحدى الحادثتين لا يغيّر شيئا في احتمال وقوع الأخرى، بدل الاكتفاء بالحدس؟

الجواب في كلمة: نقارن دائما احتمال تقاطع الحادثتين بجداء احتماليهما كلّ على حدة. إن تساوى الطرفان فالحادثتان مستقلتان، و إن اختلفا فليستا كذلك — و لا مجال للحدس في هذا القرار.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:
  • تعريف استقلال حادثتين بواسطة الاحتمال الشرطي أو بواسطة جداء الاحتمالين
  • التمييز عمليا بين حادثتين مستقلتين و حادثتين غير مستقلتين بمقارنة احتمال تقاطعهما بجداء احتماليهما
  • تطبيق المبدأ الضربي لحساب احتمال قائمة نتائج تجارب متتابعة و مستقلة
  • التحقّق من استقلال حادثتين انطلاقا من جدول احتمالات مرفق بتجربة
🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:
  • حساب احتمال حادثة في تجربة متساوية الاحتمال، بعدّ عناصر مجموعة النتائج
  • حساب احتمال تقاطع حادثتين بعدّ عناصر هذا التقاطع
  • قراءة جدول مزدوج الدخول و حساب احتمال هامشي منه

1. تعريف استقلال حادثتين

نقول عن حادثتين A و B أنّهما مستقلتان عندما لا يغيّر وقوع إحداهما شيئا في احتمال وقوع الأخرى، أي عندما يكون الاحتمال الشرطي لإحداهما علما بوقوع الأخرى مساويا لاحتمالها هي نفسها بمعزل عن أيّ شرط.

تعريف الاستقلال (بالاحتمال الشرطي)
pA(B) = p(B)
الصيغة المكافئة الأخرى (بالاحتمال الشرطي)
pB(A) = p(A)
الصيغة المكافئة الثالثة (بالجداء)
p(A∩B) = p(A)×p(B)
⭐ الصيغة بالجداء هي الأسهل استعمالا: لا تحتاج فيها إلى تحديد أيّ الحادثتين شرط و أيّهما نتيجة، و هي متناظرة تماما بين A و B.

نقبل، دون برهان، أنّ استقلال A و B ينتقل إلى عكسيهما.

  • إذا كانت A و B مستقلتين، فإنّ Ā و B مستقلتان كذلك
  • و كذلك A و B مستقلتان
  • و كذلك Ā و B مستقلتان أيضا

2. لا تخلط بين الاستقلال و التنافي

⛔ حادثتان غير متلائمتين ذواتا احتمال غير معدوم لا يمكن أبدا أن تكونا مستقلتين: وقوع إحداهما يمنع الأخرى منعا كاملا، بينما الاستقلال يعني بالضبط أنّ وقوع إحداهما لا يغيّر شيئا في احتمال الأخرى. المفهومان متعارضان، لا متقاربان.

3. المبدأ الضربي لتجارب متتابعة و مستقلة

عندما تتكرّر تجارب عشوائية متتابعة و مستقلة بعضها عن بعض، فإنّ احتمال الحصول على قائمة معيّنة من النتائج، واحدة في كلّ تجربة، يساوي جداء احتمالات هذه النتائج، واحدة واحدة.

المبدأ الضربي
p(x₁ ; x₂ ; ... ; xₙ) = p(x₁)×p(x₂)× ... ×p(xₙ)
مثال 1: المبدأ الضربي على خمس تجارب متتابعة

نرمي قطعة نقد، ثمّ حجر نرد مرقّما من 1 إلى 6، ثمّ قطعة نقد، ثمّ قطعة نقد، و أخيرا حجر نرد رباعي الأوجه مرقّم من 1 إلى 4. التجارب الخمس متتابعة و مستقلّ بعضها عن بعض، و نرمز للوجهين بـ P و F.

🎯المطلوب: احسب احتمال الحصول على القائمة المكوّنة من الرموز الخمسة: F ثمّ 2 ثمّ P ثمّ P ثمّ 3.

📌المعطى: احتمال كلّ رمز من الرموز الخمسة على حدة
p(F) = 12 ; p(2) = 16 ; p(P) = 12 ; p(P) = 12 ; p(3) = 14
🔹الخطوة 1: جداء الاحتمالات الخمسة

نضرب الاحتمالات الخمسة، واحدا واحدا، بتطبيق المبدأ الضربي.

p((F ; 2 ; P ; P ; 3)) = 12×16×12×12×14
✅النّتيجة
p((F ; 2 ; P ; P ; 3)) = 1192
تحقّق بعدد الحالات لا بالاحتمال: جداء عدد أوجه التجارب الخمس هو ⁦2×6×2×2×4⁩ أي 192، و هو بالضبط مقام الاحتمال الذي وجدته.
مثال 2: التحقّق من الاستقلال عند سؤالين

في مسابقة يجيب الطالب عن عدد من الأسئلة، و يرمز للجواب الصحيح بالرمز 1 و للجواب الخاطئ بالرمز 0. نعتبر الحادثة A و هي أن لا يكون للجوابين نفس الإشارة، و الحادثة B و هي أن يكون جواب واحد على الأكثر إشارته 0. عدد الأسئلة هنا اثنان.

🎯المطلوب: بيّن هل الحادثتان A و B مستقلتان عندما يكون عدد الأسئلة اثنين.

📌المعطى: مجموعة النتائج الممكنة
E = {(1,1) ; (1,0) ; (0,1) ; (0,0)}
🔹الخطوة 1: عناصر الحادثة A
A = {(1,0) ; (0,1)}
🔹الخطوة 2: احتمال A

مجموعة النتائج متساوية الاحتمال، فاحتمال A هو عدد عناصره على عدد عناصر E.

p(A) = 24
🔹الخطوة 3: عناصر الحادثة B
B = {(1,1) ; (1,0) ; (0,1)}
🔹الخطوة 4: احتمال B
p(B) = 34
🔹الخطوة 5: جداء الاحتمالين

نضرب الاحتمالين لنحصل على الطرف الأوّل من المقارنة.

p(A)×p(B)=12×34
🔹الخطوة 6: قيمته
p(A)×p(B) = 38
🔹الخطوة 7: عناصر تقاطع A و B
A∩B = {(1,0) ; (0,1)}
🔹الخطوة 8: احتمال التقاطع

نحسب الطرف الثاني من المقارنة مباشرة من عناصر التقاطع.

p(A∩B) = 24
✅النّتيجة: مقارنة الطرفين
38 ≠ 12
بما أنّ جداء الاحتمالين يختلف عن احتمال التقاطع، فإنّ A و B غير مستقلتين في هذه الحالة.
مثال 3: نفس الحادثتين، لكن بثلاثة أسئلة

نعيد نفس الوضعية بحادثتيها A و B نفسيهما، لكن هذه المرّة يجيب الطالب عن ثلاثة أسئلة بدل اثنين.

🎯المطلوب: بيّن هل الحادثتان نفساهما A و B مستقلتان عندما يصير عدد الأسئلة ثلاثة.

📌المعطى: مجموعة النتائج الممكنة
E = {(1,1,1);(1,1,0);(1,0,1);(0,1,1);(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1);(0,0,0)}
🔹الخطوة 1: احتمال A
p(A) = 68
🔹الخطوة 2: احتمال B
p(B) = 48
🔹الخطوة 3: جداء الاحتمالين

نضرب الاحتمالين المبسّطين.

p(A)×p(B)=34×12
🔹الخطوة 4: قيمته
p(A)×p(B) = 38
🔹الخطوة 5: عناصر تقاطع A و B
A∩B = {(1,1,0) ; (1,0,1) ; (0,1,1)}
✅النّتيجة: احتمال التقاطع
p(A∩B) = 38
بما أنّ جداء الاحتمالين يساوي احتمال التقاطع هذه المرّة، ثلاثة أثمان في الحالتين، فإنّ A و B مستقلتان عند ثلاثة أسئلة، على خلاف الحالة السابقة.
📌المعطى: توزيع سكّان البلدية حسب المستوى المعيشي و الجنس (نسب داخل كلّ صنف، أعداد في عمود و صفّ المجموع)
الجنسفقراء Pأغنياء Rمتوسطون Nالمجموع
ذكور M0,50,20,390
إناث F0,550,150,360
المجموع782745150
مثال 4: التحقّق من الاستقلال انطلاقا من جدول

صُنّف سكّان بلدية حسب مستوى المعيشة و الجنس في جدول: فقراء، أغنياء، و متوسّطو الحال من جهة؛ ذكور و إناث من جهة أخرى. اختير أحد المواطنين عشوائيا لتمثيل البلدية في مهرجان.

🎯المطلوب: تحقّق من استقلال الحادثتين M و N ثمّ احسب احتمال تقاطعهما.

🔹الخطوة 1: احتمال الحادثة M

عمود المجموع يعطي مباشرة احتمال الحادثة M بقسمة عدد الذكور على مجموع السكان.

p(M) = 90150
🔹الخطوة 2: قيمته
p(M) = 0,60
🔹الخطوة 3: احتمال الحادثة N

و صفّ المجموع يعطي احتمال الحادثة N.

p(N) = 45150
🔹الخطوة 4: قيمته
p(N) = 0,30
🔹الخطوة 5: الاحتمال الشرطي لِـ N علما بـ M

نقرأ الاحتمال الشرطي مباشرة من صفّ الذكور، في عمود متوسّطي الحال.

pM(N) = 0,3
🔹الخطوة 6: مقارنة الاحتمالين

نقارن هذا الاحتمال الشرطي بالاحتمال العادي الذي حسبناه في الخطوة 4.

pM(N) = p(N)
🔹الخطوة 7: احتمال تقاطع M و N

بما أنّ الاحتمال الشرطي يساوي الاحتمال العادي، فالحادثتان مستقلتان بتعريف الاستقلال.

p(M∩N) = p(M)×p(N)
🔹الخطوة 8: تعويض القيمتين
p(M∩N) = 0,60×0,30
🔹الخطوة 9: تحقّق بالرجوع إلى الأعداد

نرجع إلى الأعداد الأصلية للتحقّق: نضرب النتيجة في مجموع السكان.

0,18×150 = 27
✅النّتيجة
p(M∩N) = 0,18
⛔ في البكالوريا، للتحقّق من استقلال حادثتين احسب الطرفين كلّ على حدة في سطرين منفصلين: احتمال تقاطعهما من جهة، و جداء احتماليهما من جهة أخرى، ثمّ قارن. الاستنتاج وحده دون الطرفين لا يحصل على كامل العلامة، مهما كان صحيحا.
الخلاصة: حادثتان A و B مستقلتان عندما لا يغيّر وقوع إحداهما شيئا في احتمال وقوع الأخرى، أي عندما يكون احتمال تقاطعهما مساويا لجداء احتماليهما. الاستقلال ليس هو التنافي: حادثتان غير متلائمتين ذواتا احتمال غير معدوم لا يمكن أن تكونا مستقلتين. و في تجارب متتابعة و مستقلة، احتمال قائمة نتائج هو جداء احتمالات هذه النتائج، واحدة واحدة.

الصفحة 1/7

© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net