الاحتمالات › الاحتمالات المتساوية على مجموعة منتهية
الشجرة المتوازنة و دستور الاحتمالات الكلية
الجواب يمرّ عبر أداتين تُبنيان معا في هذا الدرس: تجزئة مجموعة النتائج إلى حالات لا تتداخل، ثمّ دستور يجمع مساهمة كلّ حالة في احتمال الحادثة المطلوبة. و لهاتين الأداتين صورة واحدة نرسمها في كلّ مرّة: الشجرة المتوازنة.
- التعرّف على تجزئة لمجموعة النتائج و الشروط الثلاثة التي تحقّقها الحوادث المكوّنة لها
- معرفة دستور الاحتمالات الكلية في حالة حادثة و عكسها، ثمّ تعميمه على تجزئة من عدّة حوادث
- بناء شجرة متوازنة تترجم وضعية احتمالية معطاة بنسب مئوية
- استعمال الشجرة المتوازنة و دستور الاحتمالات الكلية معا لحساب احتمال حادثة
- الاحتمال الشرطي لحادثة علما بوقوع أخرى، و العلاقة بينه و بين احتمال تقاطعهما
- مفهوم الحادثة العكسية، و أنّ احتمالي حادثة و عكسها يجمعان إلى واحد
- قراءة شجرة الاحتمالات، و حساب احتمال مسار بضرب احتمالات فروعه المتتالية
1. تجزئة لمجموعة النتائج
نعتبر تجربة عشوائية مجموعة نتائجها الممكنة E. نقول إنّ عدّة حوادث منها تشكّل تجزئة لهذه المجموعة عندما تتحقّق معا ثلاثة شروط: كلّ واحدة منها غير خالية، أيّ اثنتين منها غير متلائمتين، و اتّحادها جميعا يساوي المجموعة الكلية.
من أجل كلّ دليلين i و j مختلفين، محصورين بين 1 و n.
2. أبسط تجزئة: حادثة و عكسها
أبسط تجزئة نلتقي بها هي حادثة و عكسها: تقاطعهما خالٍ، و اتّحادهما هو المجموعة الكلية بأكملها. فأيّ حادثة أخرى تتوزّع بالضرورة على هاتين الحالتين فقط: إمّا أن تقع مع الحادثة الأولى، و إمّا أن تقع مع عكسها، و لا حالة ثالثة.
3. دستور الاحتمالات الكلية: حالة حادثة و عكسها
نستعمل الآن الاحتمال الشرطي الذي نعرفه سلفا لنكتب كلّ جزء من الجزأين بدلالة احتمال A و احتمال عكسه.
4. تعميم الدستور على تجزئة من عدّة حوادث
نفس الفكرة تتعمّم حرفيا على تجزئة من n حادثة بدل حادثتين فقط: احتمال B يساوي مجموع مساهمات كلّ عنصر من عناصر التجزئة.
5. الشجرة المتوازنة: كيف تُبنى و كيف تُقرأ
الشجرة المتوازنة هي الصورة المرئية للتجزئة و لدستور الاحتمالات الكلية معا. مستواها الأوّل يحمل فروعا بعددها كعدد عناصر التجزئة، كلّ فرع يحمل احتمال عنصره. ثمّ من كلّ عنصر من هذه العناصر ينطلق مستوى ثانٍ نحو B و نحو عكسها، و كلّ فرع من هذا المستوى الثاني يحمل احتمالا شرطيا.
نضرب احتمال الفرع الأوّل في الاحتمال الشرطي المحمول على الفرع الثاني الذي يليه: هذا هو معنى الجداء على طول المسار.
ثانوية تستقبل تلاميذها من ثلاث متوسطات: نرمز بـ A₁ و A₂ و A₃ لحوادث القدوم من المتوسطة الأولى، الثانية، الثالثة على الترتيب.
🎯المطلوب: احسب احتمالات القدوم من كلّ متوسطة من المتوسطات الثلاث انطلاقا من النسب المئوية المعطاة.
النسبة الأولى تصبح احتمال العنصر الأوّل من التجزئة مباشرة.
و كذلك النسبة الثانية.
العنصر الثالث من التجزئة يأخذ ما تبقّى، لأنّ مجموع احتمالات فروع المستوى الأوّل يساوي واحدا.
من بين تلاميذ كلّ متوسطة نسبة تعيد السنة. نرمز للحادثة « التلميذ يعيد السنة » بالرمز B.
🎯المطلوب: اكتب الاحتمالات الشرطية الثلاث لإعادة السنة انطلاقا من كلّ متوسطة، بدلالة نسب الإعادة المعطاة.
النسبة الأولى تصبح احتمالا شرطيا معلوما بالقدوم من المتوسطة الأولى.
و كذلك النسبة الثانية.
و النسبة الثالثة، بعد تحويلها من نسبة مئوية إلى عدد عشري بقسمتها على 100.
نستعمل الآن قيم المستويين الأوّل و الثاني معا لحساب احتمال كلّ مسار على حدة.
🎯المطلوب: احسب احتمال تقاطع كلّ حادثة من حوادث التجزئة الثلاث مع الحادثة B.
قاعدة المسار: نضرب احتمال الفرع الأوّل في الاحتمال الشرطي المحمول على الفرع الثاني.
نطبّقها على المسار المارّ بالمتوسطة الأولى.
و على المسار المارّ بالمتوسطة الثانية.
و على المسار المارّ بالمتوسطة الثالثة.
بلغت احتمالات المسارات الثلاثة إلى إعادة السنة قيما مختلفة: أصغرها من المتوسطة الثالثة، و أكبرها من المتوسطة الثانية.
🎯المطلوب: احسب احتمال الحادثة B بتطبيق دستور الاحتمالات الكلية.
دستور الاحتمالات الكلية على هذه التجزئة من ثلاث حوادث.
نعوّض القيم الثلاث التي حسبناها في المثال السابق.
الصفحة 1/10
© مدرستي — هذا الدرس من تأليف مدرستي · madrassati.net