الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية (الاشتقاقية والاستمرارية) الإشتقاقية 1

تذكير: العدد المشتق، المماس و التقريب التآلفي

🔊 المعلّمة تقرأ لك

منحنى ينحني في كلّ نقطة بشكل مختلف. و مع ذلك، إذا قرّبنا النظر بما فيه الكفاية عند نقطة واحدة، بدا مستقيما تماما. فما هو ميل هذا المستقيم، و ماذا يقول عن الدالة؟

ميله هو العدد المشتق، و هو أهمّ عدد في هذه السنة: منه يُقرأ اتجاه التغيّر، و منه تُبنى دراسة كلّ دالة.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

حساب العدد المشتق لدالة عند عدد باستعمال التعريف
كتابة معادلة المماس لمنحنى عند نقطة
توظيف التقريب التآلفي لحساب قيمة مقرّبة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

حساب نهاية نسبة عند الصفر
كتابة معادلة مستقيم يمرّ بنقطة و معامل توجيهه معلوم

1. العدد المشتق

نقيس أوّلا ميل الوتر بين نقطتين، ثمّ نقرّب الثانية من الأولى. إذا استقرّ الميل على عدد محدود، فذلك العدد هو المشتق:

التعريف

النسبة هي ميل الوتر بين النقطتين ذواتَي الفاصلتين a و ⁦a+h⁩. تقريب h من الصفر يجعل الوتر يدور حتّى يستقرّ على المماس.

f'(a) = lim(h → 0) f(a + h) - f(a)h

كتابة ثانية

هي نفسها، بوضع ⁦x = a + h⁩. اختر الكتابة التي تبسّط حسابك، لا الأخرى.

f'(a) = lim(x → a) f(x) - f(a)x - a

2. المماس

إذا وُجد العدد المشتق، فالمنحنى يقبل عند تلك النقطة مماسا معامل توجيهه هو ذلك العدد:

معادلة المماس

ثلاثة عناصر لا أكثر: الفاصلة، الصورة، و العدد المشتق. من حسبها الثلاثة كتب المعادلة.

y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

مماس يلامس المنحنى عند نقطة، و مثلّث ميل قاعدته واحد و ارتفاعه العدد المشتق. — العدد المشتق ليس رمزا: هو ميل المماس، و المثلّث يجعله مرئيا.

3. التقريب التآلفي

قرب النقطة، المنحنى و مماسه لا يكادان يفترقان. و هذا يعطي طريقة لحساب قيمة مقرّبة دون حساب الدالة نفسها:

التقريب

صالح من أجل h قريب من الصفر وحده. كلّما ابتعد h، ابتعد التقريب.

f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a)

هذا التقريب هو ما تستعمله العلوم الفيزيائية تحت اسم الكتابة التفاضلية: تغيّر صغير في المتغيّر يعطي تغيّرا صغيرا في الدالة، و معامل التناسب بينهما هو المشتق.

مثال 1: العدد المشتق بالتعريف

🎯المطلوب: أدرس قابلية اشتقاق الدالة عند العدد واحد، ثمّ فسّر النتيجة بيانيا.

📌المعطى

f(x) = (x² - 2x + 3)² ; a = 1

🔹الخطوة 1: النسبة

نحسب النسبة، و نبسّط البسط قبل أيّ شيء.

f(1 + h) - f(1)h=h²(h² + 4)h

🔹الخطوة 2: التبسيط

نبسّط بـ h، و هو غير معدوم بحكم التعريف.

h(h² + 4)

🔹الخطوة 3: النهاية

lim(h → 0) h(h² + 4) = 0

✅النّتيجة: مماس موازٍ لمحور الفواصل

ميل معدوم يعني مماسا أفقيا.

f'(1) = 0

لا تحسب النهاية قبل أن تبسّط بـ h. النسبة على شكلها الأوّل تعطي دائما صفرا على صفر: التبسيط هو الخطوة، لا الحساب.

مثال 2: معادلة مماس

🎯المطلوب: عيّن معادلة المماس لمنحنى الدالة عند النقطة ذات الفاصلة ناقص اثنين.

📌المعطى

f(x) = x² + x ; x₀ = -2

🔹الخطوة 1: المشتقّة

نشتقّ أوّلا، ثمّ نُقيّم عند الفاصلة المطلوبة.

f'(x) = 2x + 1

🔹الخطوة 2: الميل

f'(-2) = -3

🔹الخطوة 3: الصورة

نحسب الصورة، و هي العنصر الثالث من الدستور.

f(-2)=4 - 2=2

🔹الخطوة 4: الدستور

y = -3(x + 2) + 2

✅النّتيجة

y = -3x - 4

انشر الدستور حتّى النهاية: المصحّح يقبل الصورة المنشورة، و كثيرون يتوقّفون عند السطر الذي قبله.

مثال 3: تقريب تآلفي في وضعية ملموسة

🎯المطلوب: احسب تغيّر حجم الكرة لمّا يرتفع نصف قطرها بميليمتر واحد.

📌المعطى

كرة حديدية نصف قطرها ثمانية سنتيمترات تتمدّد، فيرتفع نصف قطرها بميليمتر واحد.

R = 8 ; ΔR = 0,1

🔹الخطوة 1: الحجم

نكتب الحجم بدلالة نصف القطر.

V = (43)πR³

🔹الخطوة 2: المشتقّة

نشتقّ بالنسبة إلى نصف القطر.

V'(R) = 4πR²

🔹الخطوة 3: التقريب

التقريب التآلفي يحوّل المشتقّة إلى تغيّر.

ΔV ≈ 4πR² ΔR

🔹الخطوة 4: التعويض

ΔV ≈ 4π(8)²(0,1)

✅النّتيجة

ΔV ≈ 80

لم نحسب الحجم قبل و لا بعد: حسبنا الفرق مباشرة. هذا هو الربح كلّه، و هو السبب الذي يجعل الفيزياء تكتب dV بدل ΔV.

سؤال المماس يفتح كثيرا من مواضيع الباكالوريا، و هو ثلاثة أسطر: المشتقّة، الميل عند الفاصلة، الصورة عند الفاصلة. اكتب الثلاثة حتّى لو بدا أحدها بديهيا — السلّم ينقّطها منفصلة، و نسيان الصورة يُفقد نقطة كاملة.

الخلاصة: العدد المشتق هو ميل المماس، و يُحسب كنهاية نسبة. منه تُكتب معادلة المماس في ثلاثة عناصر، و منه يُبنى التقريب التآلفي الذي يعطي قيمة مقرّبة دون حساب الدالة.

الصفحة 1/7