الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدالتان الأسية واللوغاريتمية المعادلة التفاضلية

حل معادلات تفاضلية من الشكل ⁦y′ = a·y + b⁩

🔊 المعلّمة تقرأ لك

في الفيزياء لا تُعطى الظاهرة بعبارة دالة، بل بعلاقة بين الدالة و مشتقّتها: تفريغ مكثّفة، تناقص مادّة مشعّة، تبريد جسم. في كلّ هذه الحالات نعرف كيف تتغيّر الكميّة، و نبحث عن الكميّة نفسها. فكيف نجد كلّ الدوال التي تحقّق علاقة بين الدالة و مشتقّتها، و كيف نختار واحدة منها؟

مثل هذه العلاقة تُسمّى معادلة تفاضلية. و الجواب المدهش هو أنّ حلولها كلّها معروفة، و أنّها عائلة واحدة يعيّن فيها شرط ابتدائي واحد حلاًّ وحيدا.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

ذكر مبرهنة الحلول العامّة للمعادلة التفاضلية ⁦y' = a y⁩
تعيين كلّ حلول معادلة تفاضلية من الشكل ⁦y' = a y⁩
تعيين الحلّ الوحيد الذي يحقّق شرطا ابتدائيا معطى
حلّ معادلة تفاضلية من الشكل ⁦y' = a y + b⁩ بتغيير الدالة

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

الدالة الأسّية و مشتقّتها
مشتقّة حاصل قسمة و مشتقّة دالة مركّبة

1. المعادلة ⁦y' = k y⁩

انطلقنا من الأسّية بشرطين. إذا احتفظنا بالشرط الأوّل وحده، حصلنا على عائلة كاملة:

المبرهنة الأولى

من أجل كلّ عدد حقيقي k، توجد دالة وحيدة قابلة للاشتقاق على ℝ تحقّق هذين الشرطين، و هي ⁦x ↦ exp(k x)⁩. البرهان: الوجود بالتحقّق المباشر، و الوحدانية بدراسة الدالة ⁦h = g ÷ f⁩ التي تكون مشتقّتها معدومة.

f' = k f ; f(0) = 1 ⟹ f(x) = exp(k x)

المبرهنة العامّة

حيث C عدد حقيقي ثابت. البرهان في اتّجاه: نضع ⁦g = f ÷ exp(k x)⁩ و نحسب مشتقّتها فنجدها معدومة، إذن g ثابتة، إذن f هي هذا الثابت مضروبا في الأسّية.

f' = k f ⟺ f(x) = C exp(k x)

⛔ لاحظ الفرق بين المبرهنتين: الأولى تعطي حلاّ واحدا لأنّ الشرط ⁦f(0) = 1⁩ يثبّت الثابت. الثانية تعطي عائلة لا نهائية. المعادلة التفاضلية وحدها لا تكفي: يلزمها شرط ابتدائي.

عدّة منحنيات لنفس العائلة، تختلف بقيمة الثابت، و نقطة واحدة على محور التراتيب تختار منحنى واحدا من بينها. — المعادلة التفاضلية تعطي المشط كلّه؛ الشرط الابتدائي يسحب منه سنّا واحدة.

2. المعادلة ⁦y' = a y + b⁩

الحالة العامّة تُردّ إلى السابقة بحيلة واحدة: ننقل الدالة عموديا حتّى يختفي الثابت b.

تغيير الدالة

من أجل a غير معدوم. نشتقّ: ⁦z' = y' = a y + b = a(y + b/a) = a z⁩. إذن z تحقّق معادلة من النوع الأوّل، و نعرف حلولها.

z = y + ba

الحلّ العامّ

حيث C عدد حقيقي ثابت و a غير معدوم. العدد ⁦-b/a⁩ هو الحلّ الثابت للمعادلة: الدالة التي لا تتغيّر، و التي تقترب منها كلّ الحلول الأخرى أو تبتعد.

y' = a y + b ⟺ y(x) = C exp(a x) - ba

منهجية في ثلاث خطوات، صالحة في كلّ تمرين: ① اكتب الحلّ الثابت ⁦-b/a⁩ ② أضف إليه ⁦C exp(a x)⁩ ③ إن أُعطي شرط ابتدائي، عوّض فيه لتعيين C. لا خطوة رابعة.

مثال 1: معادلة بسيطة

نعتبر المعادلة التفاضلية ⁦f'(x) - 2f(x) = 0⁩ حيث f قابلة للاشتقاق على ℝ.

🎯المطلوب: عيّن كلّ الدوال f القابلة للاشتقاق على ℝ التي تحقّق هذه المعادلة.

🔹الخطوة 1: التعرّف

نكتب المعادلة على الصيغة المألوفة.

f'(x) = 2f(x)

🔹الخطوة 2: الحلّ العامّ

نطبّق المبرهنة العامّة مع ⁦k = 2⁩.

f(x) = C exp(2x)

✅النّتيجة

الثابت C يمسح كلّ الأعداد الحقيقية.

C ∈ ℝ

⛔ لا تنس كلمة « كلّ »: الجواب ليس دالة واحدة بل عائلة. من كتب ⁦f(x) = exp(2x)⁩ وحدها أجاب عن سؤال آخر.

مثال 2: الشرط الابتدائي يختار

من بين دوال المثال السابق، نبحث عن تلك التي يمرّ منحناها من النقطة ⁦A(1/2 ; e²)⁩.

🎯المطلوب: عيّن الدالة f التي يمرّ منحناها البياني من النقطة A.

🔹الخطوة 1: الحلّ العامّ

من المثال السابق نعرف صيغة الحلول.

f(x) = C exp(2x)

🔹الخطوة 2: التعويض

نعوّض الفاصلة في الصيغة.

f(12)=C exp(1)=C e

🔹الخطوة 3: تعيين الثابت

نساوي بالترتيبة المعطاة و نحلّ.

C e = e² ⟹ C = e

✅النّتيجة

نضرب و نجمع الأسّين.

f(x) = exp(2x + 1)

نقطة واحدة تكفي لتعيين الثابت، لأنّ العائلة ذات وسيط واحد. لاحظ الجمال في الأخير: ⁦e × exp(2x)⁩ يُجمع في أسّية واحدة ⁦exp(2x + 1)⁩.

مثال 3: الحالة العامّة مع ثابت

نعتبر المعادلة التفاضلية ⁦y' = -3y + 6⁩ مع الشرط الابتدائي ⁦y(0) = 5⁩.

🎯المطلوب: حلّ هذه المعادلة التفاضلية ثمّ عيّن الحلّ الذي يحقّق الشرط الابتدائي.

🔹الخطوة 1: التعرّف

نتعرّف على المعاملين.

a = -3 ; b = 6

🔹الخطوة 2: الحلّ الثابت

الحلّ الثابت هو ناقص b على a.

-ba = 2

🔹الخطوة 3: الحلّ العامّ

نضيف إليه العائلة الأسّية.

y(x) = C exp(-3x) + 2

✅النّتيجة

نعوّض بالشرط الابتدائي ⁦y(0) = 5⁩.

y(x) = 3 exp(-3x) + 2

تحقّق دائما من جوابك بالاشتقاق: مشتقّة ⁦3 exp(-3x) + 2⁩ هي ⁦-9 exp(-3x)⁩، و ⁦-3y + 6⁩ تساوي ⁦-9 exp(-3x) - 6 + 6⁩. متساويتان ✓. هذا التحقّق يكلّف سطرا و ينقذ سؤالا كاملا.

المعادلات التفاضلية تظهر في الباكالوريا مربوطة بالفيزياء: تفريغ مكثّفة، تناقص إشعاعي، تبريد. الأسئلة تتبع دائما نفس الترتيب: حلّ عامّ، ثمّ شرط ابتدائي، ثمّ نهاية عند +∞ لقراءة الحالة المستقرّة — و هي بالضبط الحلّ الثابت ⁦-b/a⁩.

الخلاصة: معادلة تفاضلية لا تعطي دالة، بل عائلة. حلول ⁦y' = a y⁩ هي ⁦C exp(a x)⁩، و حلول ⁦y' = a y + b⁩ هي هذه العائلة نفسها مزاحة بالحلّ الثابت ⁦-b/a⁩. و شرط ابتدائي واحد يكفي لاختيار حلّ وحيد من العائلة.

الصفحة 1/6