الرياضيات🎓 هدف البكالوريا

الدوال العددية (النهايات)

دراسة السلوك التقاربي لدالة و المستقيم المقارب المائل

🔊 المعلّمة تقرأ لك

منحنى يبتعد عن كلّ مستقيم أفقي، و مع ذلك يلتصق بمستقيم — لكنّه مستقيم مائل. فكيف نُثبت أنّ منحنى يقترب من مستقيم ليس أفقيا و لا عموديا؟

بنفس الأداة الوحيدة التي نملكها: نهاية الفرق. إذا آل الفرق بين الدالة و المستقيم إلى الصفر، فالمنحنى يلتصق بالمستقيم. لا شيء آخر يُطلب.

🎓في نهاية هذا الدرس ستكون قادرا على:

إثبات أنّ مستقيما مائلا مقارب لمنحنى
التعرّف على المقارب المائل من كتابة الدالة نفسها
دراسة وضعية المنحنى بالنسبة إلى مقاربه

🔑يفترض هذا الدرس أنّك تتقن:

مفهوم النهاية عند اللانهاية
دراسة إشارة عبارة بسيطة

1. التعريف

المقارب المائل

القول إنّ المستقيم ذا المعادلة ⁦y = a x + b⁩ مقارب للمنحنى عند +∞ يعني بالضبط أنّ هذا الفرق يؤول إلى الصفر. و نفس الشيء عند -∞.

lim(x → +∞) [f(x) - (a x + b)] = 0

لاحظ أنّ المقارب الأفقي حالة خاصّة من هذا التعريف، بأخذ a معدوما.

2. الطريق المختصر: اقرأ الدالة

أحيانا لا حاجة إلى حساب: الكتابة نفسها تُظهر المقارب. إذا أمكن وضع الدالة على الصيغة التالية حيث الجزء الأخير يؤول إلى الصفر، فالمستقيم مقارب فورا:

الصيغة الكاشفة

f(x) = a x + b + φ(x) ; lim φ(x) = 0

ابحث دائما عن هذه الكتابة قبل أن تحسب. في الدوال الناطقة تُوجد بالقسمة الإقليدية، و توفّر عليك سطرين.

3. وضعية المنحنى بالنسبة إلى مقاربه

الفرق لا يقول أين يذهب المنحنى فحسب، بل من أيّ جهة. إشارته هي الجواب:

فرق موجب: المنحنى فوق المقارب
فرق سالب: المنحنى تحت المقارب
فرق ينعدم ثمّ يتغيّر: المنحنى يعبر مقاربه

منحنى يقترب من مستقيم مائل من تحته: الفرق بينهما كبير قرب المبدأ ثمّ يتقلّص كلّما اتّجهنا نحو اليمين، وقطعة رأسية قصيرة تُبرز هذا الفرق حيث يساوي وحدة واحدة. — إشارة الفرق تُجيب على سؤال الجهة، ولا حاجة إلى قراءة الرسم لمعرفتها.

مثال 1: المقارب يُقرأ في الكتابة

🎯المطلوب: بيّن أنّ المستقيم المائل مقارب لمنحنى الدالة عند اللانهايتين.

📌المعطى

f(x) = 2x - 3 + 1x² ; x ∈ ℝ*

🔹الخطوة 1: التفكيك

نتعرّف على الصيغة الكاشفة: جزء تآلفي زائد بقيّة.

a x + b = 2x - 3 ; φ(x) = 1x²

🔹الخطوة 2: نهاية البقيّة

البقيّة كسر مقامه ينفجر، فهي تؤول إلى الصفر في الجهتين.

lim(x → ±∞) 1x² = 0

✅النّتيجة

(D) : y = 2x - 3

لم نحسب أيّ نهاية معقّدة: قرأنا. متى رأيت دالة مكتوبة « تآلفي زائد كسر صغير »، فالمقارب أمامك.

مثال 2: من أيّ جهة يمرّ المنحنى

🎯المطلوب: أدرس وضعية المنحنى بالنسبة إلى مستقيمه المقارب.

📌المعطى

f(x) = 2x - 3 + 1x² ; (D) : y = 2x - 3

🔹الخطوة 1: الفرق

ندرس إشارة الفرق، و هي كلّ الطريقة.

f(x) - (2x - 3) = 1x²

🔹الخطوة 2: الإشارة

مقام مربّع، فهو موجب تماما في كلّ مكان تُعرَّف فيه الدالة.

1x² > 0

✅النّتيجة

f(x) - (2x - 3) > 0

سؤال الوضعية يأتي دائما بعد سؤال المقارب. لا تدرس إشارة الدالة، بل إشارة الفرق: هما شيئان مختلفان تماما.

مثال 3: تخمين ثمّ برهان

🎯المطلوب: خمّن وجود مستقيم مقارب مائل، ثمّ أثبته و أدرس وضعية المنحنى بالنسبة إليه.

📌المعطى

f(x) = x - 1 - 1/x ; x ∈ ]0 ; +∞[

🔹الخطوة 1: التخمين

التمثيل على الحاسبة يوحي بأنّ المنحنى يلتصق بمستقيم مائل. هذا تخمين، لا برهان.

(D) : y = x - 1

🔹الخطوة 2: الفرق

نحسب الفرق، و هو الأداة الوحيدة المقبولة.

f(x) - (x - 1) = -1x

🔹الخطوة 3: النهاية

lim(x → +∞) (-1x) = 0

🔹الخطوة 4: الإشارة

الفرق سالب على كامل المجال لأنّ x موجب.

-1x < 0

✅النّتيجة

lim [f(x) - (x - 1)] = 0 ; f(x) - (x - 1) < 0

الشاشة تُخمّن، النهاية تُبرهن. اكتب « نخمّن » في السطر الأوّل و « نستنتج » في الأخير: هذا الترتيب يُنقّط.

المقارب المائل هو الجزء الذي يميّز الشعب العلمية. يأتي غالبا في سؤالين متتاليين: أثبت أنّ ⁦(D)⁩ مقارب، ثمّ أدرس الوضعية. الاثنان يُحلّان بنفس الفرق، محسوبا مرّة واحدة: احسبه، ثمّ خذ نهايته، ثمّ إشارته.

الخلاصة: مستقيم مائل مقارب إذا آل الفرق بينه و بين الدالة إلى الصفر. الكتابة « تآلفي زائد بقيّة تؤول إلى الصفر » تعطي المقارب دون حساب، و إشارة الفرق تعطي وضعية المنحنى. فرق واحد يجيب على السؤالين.

الصفحة 1/7